湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题（原卷及解析版）

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1. 设集合，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的包含关系，即可判断选项.
【详解】当时，，所以是集合的元素，
所以根据元素与集合的包含关系可知，，根据集合与集合的包含关系可知，.
故选：D
2. 已知集合，，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先分别求两个集合，再根据交集的定义，即可求解.
【详解】，得，
即，
，得或，即或，
所以.
故选：A
3. 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据Venn图表示的集合运算作答．
【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为，
故选：C．
4. 设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D. P与Q无包含关系
【答案】D
【解析】
【分析】首先变形两个集合的形式，再根据特殊数集，进行比较，即可判断选项.
【详解】，，
比较和，,分母相同，分子不同，
其中,表示大于等于2的正整数，，表示正奇数，
根据集合的包含关系可知，两个集合没有包含关系.
故选：D
5. 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由，得，
而，则，
故“存在集合C使得，”是“”的充分条件；
由，存在一个集合，使得，，如图，
所以“存在集合C使得，”是“”的必要条件.

故选：C
6. 若a，b，且，则的最小值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先变形等式，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】，
，
当，即时等号成立.
故选：D
7. 若x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】首先不等式等价于，再讨论的取值，根据解集中有2个整数，即可求解.
【详解】不等式，等价于，
当，即时，不等式的解集为，
若集合中有2个整数，则，得；
若，即时，不等式的解集为，
若集合中有2个整数，则，得；
当，即时，不等式的解集为，不成立；
所以实数m的取值范围是或.
故选：C
8. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式的换“1”法，进行计算化简，可得答案.
详解】∵，，，
，
，
当且仅当时等号成立.
故选：B
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知a，b，c是实数，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】举特殊值，以及根据不等式的性质和作差法，即可判断选项.
【详解】A.当，则，故A错误；
B.若，则，则，故B正确；
C.当，，则，故C错误；
D.，
因为，所以，
所以，即，故D正确.
故选：BD
10. 关于x的不等式的解集为非空集合的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先求解不等式有解时的取值范围，再根据充分，必要条件也集合的包含关系，即可判断选项.
【详解】当时，，成立
当时，不等式恒有解，
当时，不等式有解，，得，
综上可知，，
所以不等式有解的必要不充分条件表示的集合要能包含集合，选项中只有CD满足条件.
故选：CD
11. 已知集合，，，则关于集合A、B、C之间的关系，下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先求解集合再根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，即可判断选项.
【详解】由集合定义可知，，，所以.
故选：AC
12. 在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质：①对任意；②对任意；③对任意，以下正确的选项是（ ）
A.
B.
C. 对任意的，有
D. 存在，有
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定的新运算得到的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的选项.
【详解】由题设有，
对于A，
，故A错误；
对于B，
，由①中结果可知，故B正确；
对于C，
对任意
，
而
，
故，故C正确；
对于④，取，
则，
而，故，故D正确.
故答案为：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义背景下命题真假的判断，此题的关键是根据给出的运算规则得到的运算方法，本题属于较难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 不等式的解集是____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意将化为，利用分式不等式的解法解分式不等式即可.
【详解】可化为，
，等价于，
解得，
所以不等式的解集是，
故答案为：.
14. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至少参加一个至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_________人.
【答案】8
【解析】
【分析】利用韦恩图，根据容斥原理，即可求解.
【详解】设集合分别表示参加数学、物理、化学课外小组，
其中分别表示集合每部分的人数，其中
，化简为
所以

所以同时参加数学和化学小组的有8人.
故答案为：8
15. 已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围.
【详解】由题意，因为当，不等式恒成立，
可转化为关于a的函数，
则对任意恒成立，
则满足，
解得，
即x的取值范围为．
故答案为：
16. 设,称为的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段____的长度是a,b的几何平均数，线段___的长度是a,b的调和平均数．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】证明，可得，代入数据可得CD长度为a，b的几何平均数；根据a，b与OC之间的关系，表示出OC的长度，根据的面积可算出，继而算出，即可得到结果
【详解】解：因为是直径，所以，
因为，，
所以，所以即，
∴，即线段CD长度为a，b几何平均数，
因为，所以，
将代入，
可得，
故，
∴，
∴DE的长度为a，b的调和平均数，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，且，求实数m的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】转化条件为方程没有正根，或者无解，运算可得解.
【详解】，且，
即没有根或者没有正根，
设其两根分别为
有解但没有正根时，则，即，;
当其没有根时，即
综上，所以实数m的取值范围为
18. 设全集是实数集，，.
（1）当时，求和；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】⑴，.⑵.
【解析】
【详解】本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式的求解的综合运用．
（1）因为全集是实数集R，，得到，当时，，故，.．
（2）由于,得到集合的关系在求解参数的范围．
解析：⑴，当时，，故，.
⑵由，知．
①，；
②当时，，，，只要满足，则；综上所述.
19. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．
（1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【答案】（1）每间虎笼的长，宽时，可使每间虎笼面积最大；（2）每间虎笼的长，宽时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设每间虎笼长，宽为，得到，设每间虎笼面积为，得到，利用基本不等式，即可求解结论；（2）依题知，设钢筋网总长为，则，即可利用基本不等式求解结论．
试题解析：（1）设每间虎笼长，宽为，∴则由条件知，即，
设每间虎笼面积为，则，
由于当且仅当时，等号成立，即
由，∴，
∴每间虎笼的长，宽时，可使每间虎笼面积最大；
（2）依题知，设钢筋网总长为，则，
∴当且仅当时，等号成立，
∴，
由，∴，每间虎笼的长，宽时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小．
考点：基本不等式的应用．
20. 已知函数（a∈R）.
（1）若关于x的不等式<0的解集为（1，b），求a和b的值;
（2）若对任意x∈，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）a=3，b=4
（2）
【解析】
【分析】（1）由根与系数的关系即可求得a与b的值；
（2）讨论x=1和1【小问1详解】
解：因为不等式<0的解集为（1，b），即的解集为（1，b），
所以1，b为的两根，
所以由根与系数的关系知1+b=a+2且=4，所以a=3，b=4；
【小问2详解】
解：∵对任意x∈，恒成立，
∴对任意的x∈[1，4]恒成立，
当x=1时，0≤4恒成立，符合题意，所以a∈R；
当x∈时，问题等价于a≤恒成立，即a≤，
∵，且，
∴，当且仅当，即x=3时取等号，
∴a≤4，
综上，a的取值范围为.
21. 若正数a，b，c满足.
（1）求的最大值；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，应用基本不等式求最大值，注意取值条件；
（2）利用基本不等式求、、，即可证结论，注意等号成立条件.
【小问1详解】
由，
所以，即，仅当时等号成立，
综上，的最大值为.
【小问2详解】
由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
由，仅当，即时等号成立，
综上，，仅当时等号成立
22. 设数集A由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明A中还有另外两个元素；
（2）集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由；
（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.
【答案】（1）证明见解析
（2）否，理由见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可；
（2）根据条件求出元素间的规律即可；
（3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可.
【小问1详解】
由题意，若，则，
则，
若，则，
所以集合A中还有另外两个元素和.
【小问2详解】
否，理由如下：
由题意，若（且），则，
则，
若，则，
所以集合A中应包含，，，而，
所以集合的元素个数为3的倍数，
故集合A不是只含有两个元素的集合.
【小问3详解】
由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数，
因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，
所以集合的元素个数为6，其中一个元素为，
由结合已知条件可得，，
由，
解得或或，
所以.