初中数学北师大版（2024）九年级上册1 菱形的性质与判定一等奖第二课时教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册1 菱形的性质与判定一等奖第二课时教学设计，共3页。

第2课时 菱形的判定
教学目标
1.能够用综合法证明菱形的判定定理.
2.通过探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力.
3.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.
教学重难点
重点：掌握菱形的判定定理以及证明方法.
难点：运用综合法证明菱形的判定定理.
教学过程
导入新课
1.温故知新
（1）菱形的定义？（2）菱形的性质（边、角、对角线、对称性）？
2.请学生展示课下制作好的菱形，说明自己制作的过程，教师从中抓住“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”、“四边相等的四边形是菱形”和“利用长方形纸剪折菱形”等实例资源，引导学生认识到理论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系.
探究新知
小组活动理论证明：组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”和“四边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流.
（一）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
已知:如图,在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.求证:ABCD是菱形.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA＝OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ 直线BD是线段AC的垂直平分线，
∴ BA＝BC，
∴ 四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
（二）四边相等的四边形是菱形
已知:如图,在四边形ABCD中,AB＝BC＝CD＝DA.
求证: 四边形ABCD是菱形.
证明:∵ AB＝CD,AD＝BC ，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
又∵ AB＝BC，
∴ 四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判定的关系有一定的认识，再对比性质定理的证明进行，同时，通过教师引导和独立思考，培养学生遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯.在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风.采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，鼓励发现更多的方法来证明这些定理，在合作中让学生相互帮助共同进步.
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理 四边相等的四边形是菱形.
判定四边形是菱形共有哪几种方法？
方法一：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
方法三：四边相等的四边形是菱形.
例2 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形.

证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥FC（平行四边形的对边平行），∴ ∠EAC＝∠FCA.
∵ EF垂直平分AC，∴ AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∴ △AOE ≌△COF（ASA），∴ EO＝FO，
∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
又∵ EF⊥AC，
∴ 四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
课堂练习
1.下列命题中正确的是( )
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2.如图，下列条件能使ABCD是菱形的是( )
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.
A.①③ B.②③ C.③④ D.①③④
3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是( )
A.菱形 B.长方形 C.正方形 D.以上都不对
(2题) (3题) (4题)
4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：AF＝DB；
（2）求证：四边形ADCF是菱形.
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.证明：（1）∵ AF∥BC，∴ ∠AFE＝∠DBE.
∵ △ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴ AE＝DE，BD＝CD.
在△AFE和△DBE中，∠AFE＝∠DBE, ∠FEA＝∠BED,AE＝DE，
∴ △AFE≌△DBE,∴ AF＝BD.
（2）由（1）知，AF＝BD,∵ BD＝CD,∴ AF＝CD.
∵ AF∥BC，∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∵ ∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴ AD＝DC，∴ 四边形ADCF是菱形.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
课堂小结
判定四边形是菱形的方法
方法一：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
方法三：四条边相等的四边形是菱形.
布置作业
课本习题1.2 知识技能 1，2 数学理解 3
板书设计
1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.