北师大版（2024）九年级上册2 用配方法求解一元二次方程获奖第一课时教学设计

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第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程
教学目标
1.根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程.
2.理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程.
3.把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2＝n(n≥0)的形式，体会转化的数学思想.
教学重难点
重点：利用配方法解一元二次方程.
难点：把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式.
教学过程
导入新课
试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1)x2＝4; (2) x2＝0; (3) x2+1＝0.
解:根据平方根的意义，得（1）x1＝2,x2＝-2 ;（2）x1＝x2＝0 ;
（3）x2＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.
探究新知
思考：如果我们把x2＝4，x2＝0，x2+1＝0变形为x2＝p，各方程的解会是什么情形？
老师总结：一般地，对于方程x2＝p：
（1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不相等的实数根x1＝
−p ，x2＝p ；
（2）当p＝0 时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
（3）当p<0 时，因为对任何实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根.
例1：利用直接开平方法解下列方程:
（1）x2＝25; (2) x2-900＝0; (3)(x+2)2＝7; (4)2(1−3x)2-18＝0.
解：(1) x2＝25 直接开平方，得x＝±5,即x1＝5，x2＝-5.
（2）x2-900＝0，移项，得x2＝900，直接开平方，得x＝±30，
即x1＝30，x2＝-30.
（3）(x+2)2＝7，直接开平方，得x+2＝±7，即x1＝-2+7，x2＝-2-7.
（4）2(1−3x)2-18＝0，移项，得2(1−3x)2＝18，则(1−3x)2＝9，直接开平方，得1-3x＝±3, 即1-3x＝3或1-3x＝ -3，解得x1＝−23，x2＝43.
注意：（1）采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2＝p或（mx＋n）2＝ p（p≥0）的形式的方程，可得方程的根为x＝±p 或mx＋n＝±p.
（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正”“负”两种情况.
做一做：填上适当的数，使下列等式成立.
（1）x2＋12x＋36＝(x＋6)2 (x＋6)2＝ x2+12x＋36；
（2）x2―4x＋4＝(x―2)2 (x―2)2＝ x2―4x＋4；
（3）x2＋8x＋16＝(x＋4)2 (x＋4)2＝x2＋8x＋16；
（4）a2+2ab+b2＝( a+b )2 (a+b)2＝ a2+2ab+b2；
（5）a2-2ab+b2＝( a-b )2 (a-b)2＝ a2-2ab+b2.
问题：上面左侧等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？
老师总结：二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
对于形如 x2+ax+a22的式子如何配成完全平方式？
老师总结：x2+ax+a22＝x+a22.
将不是平方形式的方程，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
例2：用配方法解方程：x2＋8x―9＝0.
分析：先把它变成（x+m)2＝n的形式再用直接开平方法求解.
解：移项，得x2＋8x＝9.两边同时加上一次项系数8的一半的平方,得x2＋8x+42＝9+42，即（x+4)2＝25.两边开平方，得x+4＝±5，即x+4＝5或x+4＝-5，所以x1＝1，x2＝−9.
用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
(1)移 —— 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项.
(2)配 —— 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式.
(3)开 —— 如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得x＋m＝±n；当n<0时，原方程无解.
(4)解 —— 方程的解为x＝－m±n.
即
用配方法解方程的基本思路:把方程化为（x+n)2＝p的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解.
问题解决：
上节课梯子底部滑动问题：x2+12x-15＝0.（让学生仿照例2，独立解决）
解：x2+12x－15＝0，移项，得x2+12x＝15.两边同时加上一次项系数12的一半的平方，得x2+12x+62＝15+62，即(x+6)2＝51.两边开平方，得x+6＝±51.所以x1＝51―6，x2＝―51―6(不合实际).
注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性.
课堂练习
1.一元二次方程x2-16＝0的根是( )
A.x＝2 B.x＝4 C.x1＝2,x2＝2 D.x1＝4,x2＝-4
2.一元二次方程x2-6x-6＝0配方后为 ( )
A.(x-3)2＝15 B.(x-3)2＝3 C.(x+3)2＝15 D.(x+3)2＝3
3.用配方法解方程x2-3x-3＝0时，配方结果正确的是( )
A.(x−3)2＝3 B.x−322＝3 C. (x−3)2＝34 D.x−322＝214
4.若一元二次方程x2+bx+5＝0配方后为(x−3)2＝k，则b，k的值分别为（ ）
A. 6，13 B.6，4 C.-6，4 D.-6，13
5.用配方法解方程:
(1)x2-2x＝4; (2)x2+4x-1＝0.
参考答案
1.D 2.A 3.D 4.C
5.解：(1)方程两边都加上1,得x2-2x+1＝5,即(x-1)2＝5，
所以x-1＝±5,
所以原方程的解是x1＝1+5，x2＝1-5.
(2)移项，得x2+4x＝1.
配方,得x2+4x+4＝1+4，
即(x+2)2＝5.开方，得 x+2＝±5.
所以x1＝-2+5,x2＝-2-5.
课堂小结
1. 配方法：x2+ax+a22＝x+a22.
2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
布置作业
课本习题2.3 知识技能 1 问题解决 2，3
板书设计
2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程
1.配方法：
x2+ax+a22＝x+a22.
2. 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
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