初中数学北师大版（2024）九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系公开课教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系公开课教案设计，共4页。教案主要包含了预习新知，合作探究，练习巩固，拓展提高，典型例题等内容，欢迎下载使用。


教学目标
1.掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用根与系数的关系求已知一元二次方程两根之和与两根之积，并会解一些简单的问题.
2.通过一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力以及解决问题的能力，渗透整体的数学思想.
3.通过学生自己探究、发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神.
教学重难点
重点：能理解、推导一元二次方程根与系数的关系.
难点：能应用一元二次方程根与系数的关系解决问题.
教学过程
导入新课
1.一元二次方程的求根公式是什么？
x＝－b±b2－4ac2a（b2－4ac≥0）.
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac<0 时，方程没有实数根.
想一想：方程的两根x1，x2与系数a，b，c还有其他关系吗？
设计意图：复习前面的知识，有利于学生熟练正确地掌握一元二次方程根与系数的关系，从而有利于学生衔接前后知识，以问题形式引出本节课要研究的课题，从而激发学生学习的积极性.
探究新知
一、预习新知
解下列方程，将得到的根填入下面的表中：
（1）x2＋3x－4＝0; (2)x2－5x＋6＝0; (3)2x2＋3x＋1＝0.
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
2x2＋3x＋1＝0
观察表中x1＋x2, x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
设计意图：通过让学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的规律，渗透特殊到一般的思想方法.
二、合作探究
（学生自主完成，教师巡视指导）
（1）根据上面教师提出的问题让学生尝试独立完成.
（2）然后找三位同学到黑板上分别板演解方程的过程，并且写出两根之和与两根之积.
（3）教师点评三位同学的结果，最后学生以小组为单位猜想方程的两根与系数之间的关系.
学生总结，教师点评：猜想一元二次方程根与系数的关系为
x1＋x2＝－ba, x1·x2＝ca.
提出问题：这个猜想对于任何一个一元二次方程都成立吗？我们又该如何证明呢？引导学生利用求根公式证明这一关系.
然后教师归纳总结：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，有两根，分别为
x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.
于是，两根之和为
x1＋x2＝－b＋b2－4ac2a＋－b－b2－4ac2a
＝－b＋b2－4ac－b－b2－4ac2a
＝－2b2a＝－ba.
x1·x2＝－b＋b2－4ac2a·－b－b2－4ac2a
＝b2－b2＋4ac4a2
＝4ac4a2＝ca.
由此得到一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，
那么x1＋x2＝－ba, x1·x2＝ca.
注意：满足上述关系的前提 b2－4ac≥0.
三、练习巩固，拓展提高
求下列方程的两根之和与两根之积.
(1)3x2－9x－15＝0； (2)5x－1＝4x2；
(3)2x2＝7； (4)3x2＝8x.
解：(1)x1＋x2＝3，x1·x2＝－5.
(2)x1＋x2＝54，x1·x2＝14.
(3)x1＋x2＝0，x1·x2＝－72.
(4)x1＋x2＝83，x1·x2＝0.
四、典型例题
【例1】x1，x2是方程2x2－3x－5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
(1)x12＋x22； (2)|x1-x2|；
(3) x12＋3x22－3x2.
【问题探索】根据一元二次方程的根与系数的关系可以得出什么关系式？怎样将有关x1，x2的代数式转化为含两根的和与两根的积的形式？
【解】由一元二次方程的根与系数的关系可得
x1＋x2＝32，x1·x2＝－52.
(1) x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝714.
(2)|x1-x2|＝(x1+x2)2−4x1x2＝312.
(3)x12＋3x22－3x2＝(x12＋x22)＋(2x22－3x2)＝714＋5＝1214.
【总结】解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程两根的和与两根的积，整体代入即可求解.
【例2】已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
【问题探索】一元二次方程有解的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？
【解】设方程 5x2＋kx－6＝0的两个根分别是x1，x2，其中x1＝2，
∴ x1·x2＝2x2 ＝－65，
即x2＝－35.
∵ x1＋x2＝2＋－35＝－k5,
∴ k＝-7.
∴ 方程的另一个根是－35，k＝-7.
【总结】根据一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值一定要注意关系的正确运用.
课堂练习
1.若x1，x2是一元二次方程x2＋5x－9＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )
A.－5 B.5
C.－9 D.9
2.已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1·x2＝( )
A.－10 B.－1
C.1 D.4
3.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为 x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是( )
A.－10 B.10
C.－6 D.2
4.已知实数x1，x2满足x1＋x2＝11，x1·x2＝30，则以x1，x2为根的一元二次方程是______.
5.已知x1，x2是方程2x2+2kx+k-1＝0的两个根，且（x1+1)(x2+1)＝4.
（1）求k的值；
（2）求(x1-x2)2的值.
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.x2－11x＋30＝0
5.解：根据根与系数的关系，得
x1＋x2＝－k，x1·x2＝k－12,
所以(x1＋1) (x2＋1) ＝x1x2+(x1＋x2)+1＝k－12－k＋1＝4,
解得k＝－7.
故x1＋x2＝7，x1·x2＝－4.
(2)因为x1＋x2＝7，x1·x2＝－4，
所以x1－x22＝x1＋x22－4x1x2＝72－4×（－4）＝65.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1.一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数的关系为
x1＋x2＝－ba, x1·x2＝ca.
2.常见的变形：
1x1+1x2＝x1+x2x1x2；
x1x2+x2x1＝x12＋x22x1x2；
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(x1＋1) (x2＋1) ＝(x1＋x2) ＋x1x2＋1；
x1－x2＝x1－x22＝x1＋x22－4x1x2.
布置作业
课本习题2.8 知识技能 1，2 数学理解 3
板书设计
*5 一元二次方程的根与系数的关系
根与系数关系式的推导
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，有两根
x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.
于是，两根之和为
x1＋x2＝－b＋b2－4ac2a＋－b－b2－4ac2a
＝－b＋b2－4ac－b－b2－4ac2a
＝－2b2a＝－ba.
x1·x2＝－b＋b2－4ac2a·－b－b2－4ac2a
＝b2－b2＋4ac4a2
＝4ac4a2＝ca.
由此得到一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，
那么x1＋x2＝－ba, x1·x2＝ca.