九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件优秀第四课时教案设计

这是一份九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件优秀第四课时教案设计，共6页。教案主要包含了预习新知，合作探究等内容，欢迎下载使用。

第4课时 黄金分割
教学目标
1.知道黄金分割的定义和黄金比，并会找一条线段的黄金分割点.
2.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
3.通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
教学重难点
重点：了解黄金分割的意义，并能运用.
难点：找黄金分割点和画黄金矩形.
教学过程
知识回顾
通过前面的学习，三角形相似的判定方法有哪些？
相似三角形的定义、判定定理1，2，3.
导入新课
欣赏图片.
第一组：建筑中的黄金分割

文明古国古埃及的金字塔，形似方锥，大小各异，但这些金字塔的高与底面的边长之比都接近于0.618.
东方明珠广播电视塔，塔高约468米，设计师在约289米处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.
第二组：人体与黄金分割

芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？
设计意图：通过建筑、摄影、艺术上的实例初步感受黄金分割，体会黄金分割在现实生活中的广泛应用和文化价值.
探究新知
一、预习新知

师：在五角星图案中，大家动手量一量线段AC，BC的长度，然后计算，,它们的值相等吗？
生：相等.
师：也就是.
由此得到结论：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（glden sectin）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.
一条线段有两个黄金分割点.
计算黄金比
若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的两条线段AC，BC间需满足.下面请大家进行验证，自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.
解：由=，得AC2=AB·BC.
设AB=1，AC=x，则BC=1－x.
∴x2=1×（1－x），
∴x2+ x－1=0，
解得[＝，＝（不合题意，舍去）.
所以，黄金比＝≈0.618.[
二、合作探究
古希腊时期的巴台农神庙，将图①中的虚线表示的矩形，画成如图②中的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，.

②
师：点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
生：因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE.又,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比.
学, 师：在上面这个矩形中，其宽与长的比是黄金比，所以这个矩形叫做黄金
矩形.,
巩固练习
若点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列说法中正确的是( )
A．AB＝ B．AC＝eq \f(3－\r(5),2)AB
C．AB∶AC＝AC∶BCD．AC≈0.618BC
答案：C
典型例题
【例】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D.试证明点D是线段AC的黄金分割点．
【问题探索】要证明点D是线段AC的黄金分割点，根据黄金分割的定义即可证明.
【证明】∵ AB＝AC，∠A＝36°，
∴ ∠ACB＝∠ABC＝(180°－36°)＝72°.
∵ BD平分∠ABC，交AC于点D，
∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×72°＝36°，
∴ ∠A＝∠DBC＝∠ABD，
∴ ∠BDC＝72°，∴ AD＝BD＝BC.
又∠C＝∠C，∴ △BCD∽△ACB，
∴ ＝，∴ BC2＝AC·CD，
∴ AD2＝AC·CD.
即点D是线段AC的黄金分割点．
【总结】本题是先证明AD＝BD＝BC，然后根据相似三角形对应边成比例得到＝，进而得到AD2＝AC·CD，这样就可以证明点D是线段AC的黄金分割点．来源:学+
课堂练习
1.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论中错误的是( )

A.∠C＝2∠A B.BD平分∠ABC
C.S△BCD＝S△BOD D.点D为线段AC的黄金分割点
2.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB＝
10 cm，则AC的长约为 cm.(结果精确到0.1 cm)
3.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB.若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，那么S1 S2(填“>”“＝”或“<”).
4.如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC＝10，求AB·BC的值.

参考答案
1.C 2.6.2 3.＝
4.解：∵ 点C是线段AB的黄金分割点，
∴ ，∴ AB·BC＝AC2＝100.
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1.黄金分割的定义及黄金比.
2.一条线段有两个黄金分割点.
3.黄金比：≈0.618.
布置作业
习题4.8第1题
板书设计
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
黄金分割的定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.