专题01 实数及其运算（知识串讲+10大考点）-2024年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）实数的分类
（1）实数分类

（2）无理数的几种常见类型
①开方开不尽的数，如，等；
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数；
（二）实数的相关概念
（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
（2）相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
（3）倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
（4）数轴：①数轴的三要素为原点、正方向和单位长度，数轴上的点与实数构成一一对应．
②数轴上a，b两点之间的距离=
（三）科学计数法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数
（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成， 1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）
（四）实数的大小比较
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
（五）开方运算
（1）平方根、算数平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（2）立方根：
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
（六）实数运算
常考的运算法则：
（1）乘方：（-2）3=-8
（2）-1的奇偶次幂：（偶次为1，奇次为-1）
（3）零次幂：a0=1（a≠0）
（4）负指数幂：a-n=（按正指数，再倒数）
（5）绝对值运算：
（6）特殊角的三角函数：sin30°=等
实数的运算顺序：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
运算律：
（1）加法交换律：a+b=b+a．
（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
（3）乘法交换律：ab=ba．
（4）乘法结合律：（ab）c=a（bc）．
（5）分配律：a（b+c）=ab+ac．
考点一遍过
考点1：实数的分类
典例1：（22·23下·长沙·模拟预测）在实数−5，0，1，3中，为负数的是（ ）
A．−5B．0C．1D．3
【变式1】（22·23下·温州·三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（ ）

A．−2；−πB．9；−17C．−9；−38D．2；−5
【变式2】（22·23下·金华·三模）在实数−2，137，5，0.1122中，无理数的是（ ）
A．−2B．137C．5D．0.1122
【变式3】（22·23下·长沙·模拟预测）实数−2023.2023，7，0，364，−π，411，0.15中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a−b的值是（ ）
A．1B．3C．5D．7
考点2：数轴的相关计算
典例2：（22·23下·朔州·模拟预测）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列数量关系中正确的是（ ）

A．ab<0B．a−b<0C．a+b<0D．|a|>|b|
【变式1】（22·23下·安徽·二模）数轴上表示数m+2和3m−10的点到原点的距离相等，则m为（ ）
A．2B．−2C．6D．6或2
【变式2】（22·23下·西城·二模）实数a在数轴上的位置如图所示，则a，−a，a2，1a中最大的是( )

A．aB．−aC．a2D．1a
【变式3】（22·23上·昆明·期中）已知数a,b,c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac>0；②−a−b+c<0；③aa+bb+cc=−1；④若x为数轴上任意一点，则x−b+x−a的最小值为a−b．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
考点3：相反数
典例3：（22·23下·广州·模拟预测）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．−+5和−5B．+−5和−5
C．+−8和−+8D．+−8和−−8
【变式1】（22·23下·西安·二模）下列各组数中，互为相反数的组是( )
A．−2023和−2023B．2023和12023
C．−2023和2023D．−2023和12023
【变式2】（22·23下·包头·三模）若a，b互为相反数，c的倒数是2，则3a+3b−4c的值为（ ）
A．−8B．−5C．−2D．16
【变式3】（22·23上·江苏·专题练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．+1与−1B．−−1与1C．−−3与−−3D．−+2与+−2
考点4：绝对值
典例4：（22·23上·成都·期末）若|m|=5，n=2，且m，n异号，则m−n的值为（ ）
A．7B．3或−3C．3D．7或3
【变式1】（22·23下·呼伦贝尔·三模）已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简y−x+x−y2的结果是（ ）

A．2xB．2yC．2y−2xD．2x−2y
【变式2】（23·24上·包头·期末）若a+13+(b−3)2=0，则(ab)2021的值为（ ）
A．1B．−1C．0D．2
【变式3】（22·23下·济南·三模）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若a−b=8，则点A表示的数为（ ）

A．−4B．0C．4D．−8
考点5：科学计数法
典例5：（22·23下·深圳·模拟预测）国家统计局2022年12月12日发布公告，2022年全国粮食总产量13731亿斤，粮食产量连续8年稳定在1.3万亿斤以上，其中1.3万亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×1012B．13×1011C．1.3×1011D．0.13×1012
【变式1】（23·24下·深圳·模拟预测）2023年4月4日，从南方电网深圳供电局了解到，今年一季度，深圳市全社会用电量205.4亿千瓦时，同比增长2.1%，反映出深圳经济活力正全面恢复．将205.4亿用科学记数法表示为（ ）
A．205.4×108B．2.054×102C．2.054×1010D．0.2054×1011
【变式2】（22·23·滁州·一模）中央财政给某市投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应是（ ）
A．0.1692×1012B．1.692×1012
C．1.692×1011D．16.92×1010
【变式3】（22·23下·河北·模拟预测）据央广网2023年5月19日报道：山东莱州市西岭村金矿勘查项目通过专家评审，初步认定西岭金矿新增金金属量近200吨，累计金金属量达580吨，按照5月18日国内黄金价格448.1元/克，以此计算，西岭金矿的潜在经济价值为（ ）元．
A．2598.4×107B．2598.4×108C．2598.4×109D．2598.4×1010
考点6：近似数
典例6：（22·23下·长沙·二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（ ）
A．万位B．十万位C．百万位D．亿位
【变式1】（22·23·青岛·中考真题）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ）．
A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字
【变式2】（21·22下·沧州·一模）网聚正能量，构建同心圆．以“奋斗的人民 奋进的中国”为主题的2021中国正能量“五个一百”网络精品征集评选展播活动进入火热的展播投票阶段．截至2021年11月26日18点，“五个一百”活动投票量累计13909615次，数据13909615用科学记数法表示并精确到百万位为（ ）
A．0.139×108B．1.39×107C．0.14×108D．1.4×107
【变式3】（22·23上·十堰·期中）下列结论：①−24的底数是−2；②若有理数a，b互为相反数，那么a+b=0；③把1.804精确到0.01约等于1.80；④−2xy2+2xy2=0；⑤式子a+2+6的最大值是6，其中正确的个数有（ ）
A．3个B．2个C．5个D．4个
典例7：（21·22下·烟台·一模）下列各数：−−2，−5，0，−8，3−64，其中比－3小的数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（22·23·深圳·二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较2+1与5的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较2+3与17的大小，以下数形结合正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式2】（22·23下·泰州·二模）下列各数中，比5大，比13小的数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3】（22·23下·中山·一模）在3，12，0，−2这四个数中，最小的数是（ ）
A．3B．12C．0D．−2
考点8：平方根、算术平方根、立方根
典例8：（22·23下·深圳·模拟预测）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把A0纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为2:1的纸张；沿A0纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张A1纸；再沿A1纸两条长边中点的连线裁切得A2纸…依此类推，得A3，A4，A5等等的纸张（如图所示）．若设A4纸张的宽为x米，则x应为（ ）

A．216B．216的算术平方根C．232D．232的算术平方根
【变式1】（22·23下·省直辖县级单位·阶段练习）若51的整数部分为m，则m的算术平方根的值最接近整数（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2】（21·22下·凉山·阶段练习）已知点（a+2，a-16）在x轴上，则a的平方根等于（ ）
A．2B．-4C．±4D．±2
【变式3】（21·22下·闵行·期中）下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1B．3次方根是本身的数有0和1
C．−m的3次方根是−3mD．a<0时，−a的平方根为±a
考点9：无理数的估算
典例9：（22·23·巴南·一模）估算27+3的值在（ ）
A．8和9之间B．7和8之间C．6和7之间D．5和6之间
【变式1】（22·23下·沙坪坝·二模）估计228−7的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【变式2】（22·23下·珠海·一模）设10的整数部分为a，小数部分为b，则10+ab的值是（ ）
A．6B．2−10C．−1D．1
【变式3】（22·23·广东·中考真题）设6−10的整数部分为a，小数部分为b，则2a+10b的值是（ ）
A．6B．210C．12D．910
考点10：实数的运算
典例10：（22·23下·遂宁·一模）计算：−32+π−20220−2cs45°−2+−12−1．
【变式1】（22·23下·湘西·模拟预测）计算：−12−2−4+2sin30°+2023−π0+1−2．
【变式2】（22·23下·惠州·二模）计算：2cs60°−3−2+3.14−π0−−122．
【变式3】（22·23下·深圳·模拟预测）计算：2−2+2cs45°−−12023+12−1．
【变式4】（22·23·楚雄·二模）计算：1327−2−2+(π−5)0+3−3
【变式5】（22·23下·昆明·三模）计算：−14−1+2cs30°+2−3+π−20230．
【变式6】（22·23下·娄底·一模）计算：4×sin45°−−8−170+−12003．
【变式7】（21·22·西城·模拟预测）计算：(π−2019)0+3−1+(−12)−1−2tan30°．