新高考数学一轮复习(举一反三)重难点题型精练专题2.17 函数与方程（2份打包，原卷版+解析版）

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1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．
(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
【题型1 函数零点所在区间的判断】
【方法点拨】
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.
若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【例1】（2022春•新兴区校级期末）函数的零点所在区间是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【解题思路】根据函数零点的判定定理，求解即可．
【解答过程】解：f（1）＝lg1+1＝0+1＝1＞0，f（2）＝lg210，
所以，函数的零点所在区间为（1，2）．
故选：B．
【变式1-1】（2022春•湖南月考）函数f（x）＝2x+3x﹣3的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由函数解析式可得函数的单调性，再由0，f（1）＞0得结论．
【解答过程】解：由f（x）＝2x+3x﹣3，可知f（x）是R上的增函数，
∵，∴f（x）的零点在区间内．
故选：B．
【变式1-2】（2022春•祥符区月考）函数的一个零点所在的区间是（ ）
A．（0，1）B．（2，3）C．（2，e）D．（1，2）
【解题思路】首先判断函数为（0，+∞）上的增函数，再结合f（1）＜0，f（2）＞0得结论．
【解答过程】解：函数是（0，+∞）上的增函数，
又f（1）0，f（2）0，
∴函数的一个零点所在的区间是（1，2），
故选：D．
【变式1-3】（2022春•贵池区校级月考）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，0）D．（0，1）
【解题思路】直接利用函数零点存在性定理判断即可．
【解答过程】解：易知函数f（x）在R上单调递减，且，，则f（﹣2）•f（﹣1）＜0，
故由零点存在性定理可知，函数f（x）在（﹣2，﹣1）上存在一个零点．
故选：B．
【题型2 函数零点个数的判定】
【方法点拨】
函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与
性质确定函数零点个数；
(3)数形结合法，作出两函数图象，观察两函数图象的交点个数，即得函数的零点个数．
【例2】（2022•泾县校级开学）已知函数则函数g（x）＝2xf（x）﹣1在（0，32）上的零点个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解题思路】函数零点个数可转化为函数y＝2f（x）与的图象交点的个数，根据函数解析式作出函数图象，数形结合求解即可．
【解答过程】解：由g（x）＝2xf（x）﹣1＝0，可得，
故函数g（x）的零点个数即函数y＝2f（x）与的图象交点的个数，
∵，∴可将函数的定义域分段为（1，2]，（2，4]，（4，8]，（8，16]，（16，32），
并且f（x）在（2n﹣1，2n]上的图象是将f（x）在（2n﹣2，2n﹣1]上图象的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，
纵坐标缩短为原来的后得到，作出y＝2f（x）与的图象，如图所示，
由图象可知，共有5个交点，
故函数函数g（x）＝2xf（x）﹣1在（0，32）上零点个数为5个．
故选：B．
【变式2-1】（2021秋•贵阳期末）借助信息技术画出函数y＝lnx和y＝x|x﹣a|（a为实数）的图象，当a＝1.5时图象如图所示，则函数y＝x|x﹣1.5|﹣lnx的零点个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【解题思路】根据函数与方程的关系进行转化求解即可．
【解答过程】解：由y＝x|x﹣1.5|﹣lnx＝0，得x|x﹣1.5|＝lnx，
由图象知y＝lnx和y＝x|x﹣1.5|两个图象的交点有2个，故函数y＝x|x﹣1.5|﹣lnx的零点个数为2个，
故选：B．
【变式2-2】（2022春•昌图县校级期末）已知函数则函数y＝f（f（x））﹣3的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】数形结合，把零点问题转化为对应方程的根或函数图象的交点即可求解．
【解答过程】解：作出f（x）的图象，如图所示：
则f（x）的值域为R，求y＝f（f（x））﹣3的零点，即求f（f（x））﹣3＝0，即f（f（x））＝3，对应方程的根，
设m＝f（x），则m∈R，则f（f（x））＝3等价于f（m）＝3，
如图所示：
f（m）＝3有3个交点，则m有三个解，
当m≤1时，有3﹣m2﹣2m＝3，解得m＝0或m＝﹣2，
当m＞1时，有m2＝3，解得m＝4或m＝1（舍），
故m的值分别为﹣2，0，4，则m＝f（x）对应解如下图：
m＝f（x）对应5个交点，分别为点Q，M，K，E，T，
综上所述：y＝f（f（x））﹣3的零点个数为5个．
故选：D．
【变式2-3】（2022春•湖北月考）设函数f（x），若f（﹣2）＝f（0），f（﹣3）＝1，则函数y＝f（x）﹣x的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据条件先求得每段函数的零点，其中当x≤时，由f（﹣2）＝f（0）得f（x）的对称轴x＝﹣1，再解之．
【解答过程】解：当x≤0时，f（x）＝x2+bx+c，f（﹣2）＝f（0），f（﹣3）＝1，∴，∴b＝2，c＝﹣2，
f（x）＝x2+2x﹣2，令f（x）﹣x＝0，即x2+x﹣2＝0，解得，x＝﹣2或x＝1（舍去），
当x＞0时，2﹣x＝0，得x＝2，
综上，函数y＝f（x）﹣x的零点为﹣2和2，
故选：B．
【题型3 根据零点的个数（或范围）求参数】
【方法点拨】
根据函数零点的情况求参数的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建方程（不等式），再通过解方程（不等式）求参数．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数的最值或值域问题，加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
【例3】（2022•河南模拟）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣k在区间（0，3）存在零点，则k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）B．[﹣4，+∞）C．（﹣4，0]D．[﹣4，0）
【解题思路】把问题转化为y＝k与g（x）＝x3﹣3x2在区间（0，3）存在交点，研究g（x）＝x3﹣3x2在（0，3）上的值域即可求解结论．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x2﹣k在区间（0，3）存在零点，
即y＝k与g（x）＝x3﹣3x2在区间（0，3）存在交点，
∵g′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），
∴0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减，
2＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）递增，
又g（0）＝0，g（2）＝﹣4，g（3）＝0，
∴﹣4≤k＜0，
故选：D．
【变式3-1】（2021秋•和平区期末）已知函数y＝a|x|+m﹣1（0＜a＜1）有零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．[0，1）D．[1，2）
【解题思路】问题转化为a|x|＝1﹣m有根，求出a|x|的范围，即可求得实数m的取值范围．
【解答过程】解：函数y＝a|x|+m﹣1（0＜a＜1）有零点，即方程a|x|+m﹣1＝0有根，
也就是a|x|＝1﹣m有根，
∵|x|≥0，0＜a≤1，∴a|x|∈（0，1]．
则1﹣m∈（0，1]，可得0≤m＜1．
即实数m的取值范围是[0，1）．
故选：C．
【变式3-2】（2022春•成都期末）已知函数，若函数y＝f（x）﹣2只有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）B．（﹣3，4）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣3]∪{6}
【解题思路】判断函数零点的位置与个数，然后转化求解a的范围即可．
【解答过程】解：函数，函数y＝f（x）﹣2只有两个零点，
当x≥1时，方程f（x）＝2，可得lnx+1＝2，解得x＝e，函数有一个零点．
当x＜1时，函数有一个零点，即a＝﹣x2﹣4x+2，x＜1，有一个解．
设（x＜1），g2（x）＝a，则g1（x）与g2（x）的图象有且仅有一个交点．
故a≤﹣3或a＝6．
故选：D．
【变式3-3】（2021秋•光明区期末）已知函数且a≠1）在上无零点，在上有零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】将问题转化成研究方程在上无实数根，在上有实数根，即考查函数 的交点情况，作出函数图像数形结合即可得到答案．
【解答过程】解：函数f（x）在上无零点，在上有零点，
即方程f（x）＝0在上无实数根，在上有实数根，
即在 上无实数根，在上有实数根，
设，
函数h（x）在R上单调递增，且，
h（x）＝4x﹣1＞0恒成立，
若a＞1，则在x∈（0，1）时，g（x）＝lgax＜0，故不满足条件．
由于g（x）与 h（x）的图象在上无交点，在上有交点，
根据函数的图象可知，
解得，
故选：D．
【题型4 求函数所有零点的和】
【例4】（2022•克拉玛依三模）函数f（x）＝1﹣（x﹣π）sinx在区间上的所有零点之和为（ ）
A．0B．2πC．4πD．6π
【解题思路】易知y＝sinx关于点（π，0）对称，也关于点（π，0）对称，作出y＝sinx与的图象，观察在区间上的交点个数，根据对称性即可得解．
【解答过程】解：令f（x）＝0，则，
又y＝sinx关于点（π，0）对称，也关于点（π，0）对称，作出两函数的图象如下图所示，
由图象可知，y＝sinx与在区间上共有四个交点，且关于点（π，0）对称，每对的横坐标之和为2π，
∴函数f（x）在区间上的所有零点之和为2×2π＝4π．
故选：C．
【变式4-1】（2022•萍乡二模）已知函数，则y＝f（x）的所有零点之和为（ ）
A．B．C．2D．0
【解题思路】根据零点定义求出零点后可得．
【解答过程】解：当x≥0时，由（x﹣1）20，得x＝1±，当x＜0时，由|x+1|0，得x或x，
所以四个零点和为110．
故选：D．
【变式4-2】（2022•怀仁市校级二模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x），若关于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A．﹣4B．4C．8D．﹣4或8
【解题思路】设f（x）＝t，则关于[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）的方程等价于t2﹣（a+1）t+a＝0，解得t＝a或t＝1，结合图象，分两种情况：（1）t＝a，（2）t＝a，讨论f（x）＝a的实数根的和，即可得到结论．
【解答过程】解：当x＝0时，f（0）＝0，此时不满足方程，
若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）f（x﹣2）（2|x﹣3|﹣1），
若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）f（x﹣2）（2|x﹣5|﹣1），
作出函数x≥0的图象，如图所示：
设f（x）＝t，则关于[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）的方程等价于t2﹣（a+1）t+a＝0，
解得t＝a或t＝1，
当t＝1时，即f（x）＝1对应一个交点为x1＝2，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1）t＝a，即f（x）对应3个交点，且x2+x3＝2，x4＝4，
此时4个实数根的和为8，
（2）t＝a，即f（x）对应3个交点，且x2+x3＝﹣2，x4＝﹣4，
此时4个实数根的和为﹣4，
故选：D．
【变式4-3】（2021春•泸县月考）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，则函数g（x）＝f（x）﹣sin（x﹣1）在区间[﹣1，3]内的所有零点之和为（ ）
A．3B．5C．4D．6
【解题思路】求出函数f（x）的解析式及函数的周期，利用数形结合判断函数的图象的交点个数，即可求出所有零点之和．
【解答过程】解：∵f（x+2）＝f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（0）＝0
当x∈（0，1]时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|，
可得x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，
f（﹣x）＝1﹣|﹣2x﹣1|＝1﹣|2x+1|＝﹣f（x），
可得f（x）＝﹣1+|2x+1|，
∵g（x）＝f（x）﹣sin（x﹣1）＝0，
分别画出y＝f（x）与y＝sin（x﹣1）在[﹣1，3]上的图象，
当x时，y＝f（x）＝1，g（）＝sin（）＜sin（）＝1，
当x时，y＝f（x）＝1，g（﹣1）＝sin（）＞sin（）＝﹣1，
∴结合图象可知，函数的交点有5个，
设这5个零点分别为x1＜x2＜x3＜x4＜x5，
其中x3＝1，x1+x2＝﹣1，x3+x4＝5
故零点之和为﹣1+1+5＝5，
故选：B．
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0