福建省福州市2021_2022学年高一数学下学期期中试卷

这是一份福建省福州市2021_2022学年高一数学下学期期中试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则（ ）
A．2B．C．4D．5
2．已知向量，，若，则实数（ ）．
A．1B．C．D．
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．P是所在平面内一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知正方体棱长为2，M，N，P分别是棱、、的中点，则平面截正方体所得的多边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
7．表面积为的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于（ ）
A．567B．576C．240D．
8．中，已知，设D是边的中点，且的面积为，则等于( )
A．2B．4C．-4D．-2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．m，n是空间中不同的直线，，，y是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若l，m是两条异面直线，且，，，，则
10．设，，为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．在的仿射坐标系中，，．则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
12．在中，，，，为所在平面内的一点，，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若平面向量、满足，，则的取值范围是_________．
14．在中，，，若此三角形恰有两解，则边长度的取值范围为_________．
15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为______.
16．已知等边，D是外的一点，且，，则平面四边形的面积的最大值是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数，若存在实数，使成立．
(1)求的值；
(2)求的最小值
18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求与所成角的余弦值．
20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．
(1)求证：平面；
(2)求证：F为的中点；
(3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边上，为的角平分线．．
(1)求；
(2)若，求的大小．
22．如图为一块边长为8km的等边三角形地块，为改善市民生活环境，当地政府有计划对这块地进行改造，在、、上分别选取点D、E、F使，在四边形区域内种植草坪，其余区域修建停车场，设．
(1)当D为中点且时，求草坪的面积；
(2)若在改造的过程中，因实际需要，D与B、C的距离都不少于2km，求草坪的面积的最大值，并求出此时的值．
答案
1-8 BCBAB CBA 9.ACD 10.ABC 11.AD 12.BD
13．
14．
15．
16．
17．(1)，
，解得
(2)即的最小值为
18．(1)选①：由正弦定理得：，而，
所以，
整理得：，又，可得，
而，则.
选②：由正弦定理得：，而，
所以，
则，而，可得，
而，则.
选③：由正弦定理得：，而且，
则，又，
所以，则，即.
(2)由，则，故，
而，则，可得，
又，整理得，
则，可得，
所以的面积为.
19．（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点
则
又由可得，
（2）是与所成的角，设向量与所成的角为
，则
，则
则，
因为
所以
所以与所成角的余弦值为.
20．（1）连接交于，连接，如下图：
由为平行四边形，则为中点，又E为棱的中点，
所以为中位线，则，
又面，面，故平面；
（2）由题设知：，面，面，
所以面，又面，面面，
所以，又E为棱的中点，即是△的中位线，
故F为的中点；
（3）存在N使得平面且，理由如下：
为中点，连接，
由题设且，由（2）知且，
所以且，即为平行四边形，
所以，而面，面，
所以面，故所求点即为点，
则上存在点N使得平面，且.
21．（1），，即
由正弦定理可得
，
即
（2），即
设，则
，解得
22．（1）因为为等边三角形，且边长为8，D为中点，
所以,，又,
所以，
在由正弦定理可得，
所以，
又，
所以，
所以的面积，
因为，，所以,
在由正弦定理可得，
所以，所以，
所以的面积，
所以草坪的面积
（2）设，则，
因为D与B、C的距离都不少于2km，所以，
在由正弦定理可得，
所以，故，
所以的面积，
在由正弦定理可得，
所以，所以
所以的面积，
所以
所以，当且仅当时等号成立，
当或时，函数取最小值，最小值为，
又草坪的面积
所以草坪的面积的最大值为，此时，化简得，