新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第02讲 充要条件与量词（2份打包，原卷版+解析版）

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四种命题、充要条件
充要条件
四种命题及其关系
互为逆否关系的命题等价
充分、必要、充要、既不充分也不必要
简易逻辑
逻辑联结词词
简单命题与复合命题
全称量词、存在量词
或、且、非
【基础知识全通关】
一、命题
能判断真假的语句叫做命题．
二、复合命题的真假
口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。
三、全称命题与特称命题
1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”表示。
2、全称命题：含有全称量词的命题。其结构一般为： SKIPIF 1 < 0
3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”表示。
4、特称命题：含有存在量词的命题。其结构一般为： SKIPIF 1 < 0
四、全称命题与特称命题的否定
1、命题的否定和命题的否命题的区别
命题 SKIPIF 1 < 0 的否定 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，指对命题 SKIPIF 1 < 0 的结论的否定。
命题 SKIPIF 1 < 0 的否命题，指的是对命题 SKIPIF 1 < 0 的条件和结论的同时否定。
2、全称命题的否定
全称命题 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 全称命题 SKIPIF 1 < 0 的否定（ SKIPIF 1 < 0 ）： SKIPIF 1 < 0
特称命题 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 特称命题的否定 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
五、常见结论的否定形式
六．量词
(1)全称量词与全称命题
①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
②全称命题：含有全称量词的命题．
③全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题
①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
②特称命题：含有存在量词的命题．
③特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．
(3)命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【注】原命题与命题的否定真假性相反
七、充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
【注】集合中，子集可以推出另一个集合.
【考点研习一点通】
考点01：四种命题及其关系
例1. 写出命题“已知 SKIPIF 1 < 0 是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。
【解析】逆命题：已知 SKIPIF 1 < 0 是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题；
否命题：已知 SKIPIF 1 < 0 是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题；
逆否命题：已知 SKIPIF 1 < 0 是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。
【点评】
1.“已知 SKIPIF 1 < 0 是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；
2. 互为逆否命题的两个命题同真假；
3. 注意区分命题的否定和否命题.
考点02：全称命题与特称命题真假的判断
2. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.
（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ； （4） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
(1)由于 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为真命题；
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为假命题
(2) 因为不存在一个实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 为假命题；
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为真命题.
(3)因为只有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 满足方程， SKIPIF 1 < 0 为假命题；
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为真命题.
(4) 由于使 SKIPIF 1 < 0 成立的数有 SKIPIF 1 < 0 ，且它们是有理数， SKIPIF 1 < 0 为真命题；
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为假命题.
【点评】
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素 SKIPIF 1 < 0 ，验证 SKIPIF 1 < 0 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 不成立即可；
2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
考点03：判定复合命题的真假
3.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．
【解析】 (1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．
否命题：若q≥1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．
逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若实数x、y满足x2＋y2≠0，则x、y不全为零，真命题．
逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
考点04：全称命题与特称命题真假的判断
4. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.
（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ； （4） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
(1)由于 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为真命题；
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为假命题
(2) 因为不存在一个实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 为假命题；
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为真命题.
(3)因为只有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 满足方程， SKIPIF 1 < 0 为假命题；
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为真命题.
(4) 由于使 SKIPIF 1 < 0 成立的数有 SKIPIF 1 < 0 ，且它们是有理数， SKIPIF 1 < 0 为真命题；
SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为假命题.
【点评】：
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素 SKIPIF 1 < 0 ，验证 SKIPIF 1 < 0 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 不成立即可；
2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.
考点05：在证明题中的应用
5.若 SKIPIF 1 < 0 均为实数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 中至少有一个大于0．
【解析】：假设 SKIPIF 1 < 0 都不大于0，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，这与 SKIPIF 1 < 0 相矛盾．
因此 SKIPIF 1 < 0 中至少有一个大于0．
【点评】：
1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.
2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．
考点06：充要条件的判断
6.设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；
SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：对命题p：a1，a2，…，an成等比数列，则公比且an≠0；
对命题q，①当an=0时，成立；
②当an≠0时，根据柯西不等式，等式成立，
则，所以a1，a2，…，an成等比数列，所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件. 故选A
【点评】
1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；
2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换.
考点07：求参数的取值范围
7.已知m∈R，设P：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x1－
x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋eq \f(4,3)有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围.
【解析】：
由题设x1＋x2＝a，x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq \r(a2＋8).
当a∈[1,2]时，eq \r(a2＋8)的最小值为3.
要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.
由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋eq \f(4,3)＝0的判别式
Δ＝4m2－12(m＋eq \f(4,3))＝4m2－12m－16>0，
得m<－1或m>4.
综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即
SKIPIF 1 < 0
解得实数m的取值范围是(4,8].
【点评】
从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。
【考点易错】
易错点1 A是B的充分条件与A的充分条件是B的区别
1.设 SKIPIF 1 < 0 ,则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【错解】选A．
【错因分析】充分必要条件的概念混淆不清致错.
【试题解析】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，但当 SKIPIF 1 < 0 时也有 SKIPIF 1 < 0 ，故本题选B．
【变式训练】
已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的一个充分不必要条件是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由基本不等式得， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 的一个充分不必要条件是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
易错点2 命题的否定与否命题的区别
2.命题“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的否定形式是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【错因分析】错解1对命题的结论否定错误，没有注意逻辑联结词；
对于错解2，除上述错误外，还没有否定量词；
错解3的结论否定正确，但忽略了对量词的否定而造成错选．
【试题解析】全称命题的否定为特称命题，因此命题“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的否定形式是“ SKIPIF 1 < 0 ”．故选D．
【巩固提升】
1.命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A．
【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A。
2.设函数 SKIPIF 1 < 0 (e为自然底数)，则使 SKIPIF 1 < 0 成立的一个充分不必要条件是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
又“ SKIPIF 1 < 0 ”可以推出“ SKIPIF 1 < 0 ”，
但“ SKIPIF 1 < 0 ”不能推出“ SKIPIF 1 < 0 ”，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ” 充分不必要条件.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题.
3.“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示双曲线，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A．
4.已知平面 SKIPIF 1 < 0 内一条直线l及平面 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由面面垂直的定义知，当“l⊥β”时，“α⊥β”成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不一定成立，
即“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，
故选：B．
【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.
5.已知直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由线面垂直的判定定理得：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”不能推出“ SKIPIF 1 < 0 ”，
由“ SKIPIF 1 < 0 ”，根据线面垂直的性质定理，可得“ SKIPIF 1 < 0 ”，
即“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的判定，以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，其中解答中熟记线面垂直的判定定理和性质定理，合理利用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6.命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是：
“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”，故选C.
【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.
7.命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】根据命题否定的定义可得结果为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选B.
8.设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，两条直线的方程分别为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时两条直线平行；
若两条直线平行，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，经检验，两者均符合，
综上，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行” 的充分不必要条件，故选A.
【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ”是真命题，“若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ”是假命题，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件；若“若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ”是真命题，“若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ”是真命题，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分必要条件；若“若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ”是假命题，“若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ”是真命题，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件；若“若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ”是假命题，“若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ”是假命题，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的既不充分也不必要条件.
9.设m,n为非零向量，则“存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则两向量 SKIPIF 1 < 0 反向，夹角是 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，那么两向量的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，并不一定反向，即不一定存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以是充分而不必要条件，故选A．
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：
（1）根据定义，若 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，同时 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为充要条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，那么就是既不充分也不必要条件.
（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，同时 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件；若 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.
（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 条件的判断，转化为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 条件的判断.
10.设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分而不必要条件，故选A．
【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分条件，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要条件，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件；从集合的角度看，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分条件，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要条件，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的真子集，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分而不必要条件，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的真子集，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要而不充分条件．
11．设命题p: SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】命题p: SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .故选C．
12．“若 SKIPIF 1 < 0 QUOTE ，则 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立”的逆否命题是
A． SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由原命题与逆否命题的关系可得：“若 SKIPIF 1 < 0 QUOTE ，则 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立”的逆否命题是“ SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 ”.本题选择D选项.
13．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据题意可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意 SKIPIF 1 < 0 ，所以集合 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 故选C．
14.设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可知： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件.
故选A．
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
15.已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 是空间不过同一点的三条直线，
当 SKIPIF 1 < 0 在同一平面时，可能 SKIPIF 1 < 0 ，故不能得出 SKIPIF 1 < 0 两两相交.
当 SKIPIF 1 < 0 两两相交时，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据公理 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 确定一个平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，根据公理 SKIPIF 1 < 0 可知，直线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在同一平面.
综上所述，“ SKIPIF 1 < 0 在同一平面”是“ SKIPIF 1 < 0 两两相交”的必要不充分条件.
故选B.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 SKIPIF 1 < 0 和公理 SKIPIF 1 < 0 的运用，属于中档题.
16.已知 SKIPIF 1 < 0 ，则“存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 时，
若 SKIPIF 1 < 0 为偶数，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 为奇数，则 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
亦即存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以，“存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件.
故选C．
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.
17.已知命题 SKIPIF 1 < 0 ：“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”，命题 SKIPIF 1 < 0 ：“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ””若“ SKIPIF 1 < 0 ”是真命题，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】若命题 SKIPIF 1 < 0 ：“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，为真命题，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若命题 SKIPIF 1 < 0 ：“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为真命题，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
若命题“ SKIPIF 1 < 0 ”为真命题，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是真命题，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题，的等价条件是解决本题的关键．
18.下列命题中错误的是
A．若 SKIPIF 1 < 0 为假命题，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为假命题
B．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件
C．命题“若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”的逆否命题是“若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”
D．命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”
【答案】B
【解析】若“ SKIPIF 1 < 0 ”为假命题，则p与q均为假命题，正确；
已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件，所以B不正确；
命题“若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的逆否命题为“若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”，满足逆否命题的形式，正确；
命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”满足命题的否定形式，正确；
故选B．
【点睛】本题考查亩土地真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，复合命题的真假，充要条件等知识，是基本知识的考查．
19.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l SKIPIF 1 < 0 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 SKIPIF 1 < 0 的真假；利用三点共线可判断命题 SKIPIF 1 < 0 的真假；利用异面直线可判断命题 SKIPIF 1 < 0 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 SKIPIF 1 < 0 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题 SKIPIF 1 < 0 ，可设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，这两条直线确定的平面为 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交，则交点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，
同理， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 也在平面 SKIPIF 1 < 0 内，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，命题 SKIPIF 1 < 0 为真命题；
对于命题 SKIPIF 1 < 0 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 SKIPIF 1 < 0 为假命题；
对于命题 SKIPIF 1 < 0 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 SKIPIF 1 < 0 为假命题；
对于命题 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 垂直于平面 SKIPIF 1 < 0 内所有直线，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，
命题 SKIPIF 1 < 0 为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
SKIPIF 1 < 0 真命题， SKIPIF 1 < 0 为假命题，
SKIPIF 1 < 0 为真命题， SKIPIF 1 < 0 为真命题.
故答案为①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有 SKIPIF 1 < 0 个
至多有（ SKIPIF 1 < 0 ）个
小于
不小于
至多有 SKIPIF 1 < 0 个
至少有（ SKIPIF 1 < 0 ）个
对所有 SKIPIF 1 < 0 ，
成立
存在某 SKIPIF 1 < 0 ，
不成立
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
对任何 SKIPIF 1 < 0 ，
不成立
存在某 SKIPIF 1 < 0 ，
成立
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0