新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第11讲 指数与对数的运算（2份打包，原卷版+解析版）

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知识点01 根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
知识点02 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
知识点03 对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
知识点04 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：lgbN＝eq \f(lgaN,lgab)(a，b均大于零且不等于1).
【考点研习一点通】
考点01 指数幂的运算
1.化简eq \f(5,6)aeq \s\up6(\f(1,3))·b－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3a－\f(1,2)b－1))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a\s\up6(\f(2,3))·b－3))eq \s\up6(\f(1,2))(a，b>0)
【解析】原式＝－eq \f(5,2)a－eq \f(1,6)b－3÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a\s\up6(\f(2,3))·b－3))eq \s\up6(\f(1,2))
＝－eq \f(5,4)a－eq \f(1,6)b－3÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a\s\up6(\f(1,3))b－\f(3,2)))＝－eq \f(5,4)a－eq \f(1,2)·b－eq \f(3,2)
＝－eq \f(5,4)·eq \f(1,\r(ab3))＝－eq \f(5\r(ab),4ab2).
【答案】eq \f(5\r(ab),4ab2).
【方法技巧】
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式】若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4B．2a－3＝eq \f(1,2a3)
C．(－2)0＝－1D．(aeq \s\up8(－eq \f(1,4)))4＝eq \f(1,a)
【答案】D
【解析】对于A，(－2)－2＝eq \f(1,4)，故A错误；对于B,2a－3＝eq \f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(aeq \s\up8(－eq \f(1,4)))4＝eq \f(1,a)，故D正确。
考点02 比较指数式的大小
2．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选D．
【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
【变式2】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b【答案】C
【解析】因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，
即b0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.综上，b考点03 解简单的指数方程或不等式
3.若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0
【答案】A
【解析】(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y，
令f (x)＝2x－3－x，则f (x)在R上单调递增，且f (x)＜f (y)，
所以x＜y，即y－x＞0，由于y－x＋1＞1，
故ln(y－x＋1)＞ln 1＝0.
(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，
此时ln(y－x＋1)＝ln 2＞0，ln|x－y|＝ln 1＝0，可排除BCD．
【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；
【变式3】设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)－7，x<0，,\r(x)，x≥0 ，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【答案】C
【解析】当a<0时，不等式f(a)<1可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)－7<1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)<8，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)－3，此时－3考点04 对数的化简与求值
4．已知55<84，134<85．设a=lg53，b=lg85，c=lg138，则
A．aC．b【答案】A
【解析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
【方法技巧】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【变式】计算：若a＝lg43，则2a＋2－a＝________
【答案】eq \f(4\r(3),3)
【解析】因为a＝lg43＝lg223＝eq \f(1,2)lg23＝lg2eq \r(3)，
所以2a＋2－a＝2lg2eq \r(3)＋2－lg2eq \r(3)
＝eq \r(3)＋2lg2eq \f(\r(3),3)
＝eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)
＝eq \f(4\r(3),3).
考点05 比较对数值的大小
5．若2x−2y<3−x−3−y，则
A．ln(y−x+1)>0B．ln(y−x+1)<0
C．ln|x−y|>0D．ln|x−y|<0
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则A正确，B错误；
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A．
【变式】已知a＝lg52，b＝lg0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为a＝lg52＜lg5eq \r(5)＝eq \f(1,2)，b＝lg0.50.2＞lg0.50.5＝1，c＝0.50.2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(1,5))＞eq \f(1,2)，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故选A。
【方法技巧】
（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较
（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较
（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较
【变式】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选B．
考点06 解简单的对数不等式
6.设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg\s\d9(\f(1,2))（－x），x<0.))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)
【解析】由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,lg2a>－lg2a))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,lg\s\d9(\f(1,2))（－a）>lg2（－a），))
解得a>1或－1【答案】C
【方法技巧】解决此类问题时应注意两点：(1)真数大于0；(2)底数a的值．
【变式】若lga(a2＋1)＜lga2a＜0，则a的取值范围是________．
【答案】(eq \f(1,2)，1)
【解析】由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，
又lga(a2＋1)＜lga2a＜0，所以0＜a＜1，
同时2a＞1，所以a＞eq \f(1,2).综上，a∈(eq \f(1,2)，1)．
【考点易错】
1.计算：．
【答案】 QUOTE .
【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.
详解： ．
【规律方法】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
【变式1】计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－
【答案】
【解析】原式＝.
【变式2】计算：×0＋×－＝________.
【答案】
【解析】原式＝×1＋×－.
【易错提醒】
1.根式：
（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
（2）eq \r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．
（3）有限制条件的根式化简的步骤
2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
3.把根式eq \r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq \f(m,n)进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如eq \r(8,a2)，a∈R，化成分数指数幂应为a eq \s\up4(\f(2,8)) ，a∈R，而a eq \s\up4(\f(1,4)) ＝eq \r(4,a)，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．
4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
2.已知则的值为__________．
【答案】
【解析】
题意，∴，
∴，
故答案为．
3.设，求 的值．
【答案】7
【解析】
,
.
【总结提升】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．
【变式3】已知，求下列各式的值.
（1）；（2）；（3）
【答案】
【解析】（1）将两边平方得，所以.
（2）将两边平方得，所以.
（3）由（1）（2）可得
4.对数式lg（a－2）（5－a）＝b中，实数a的取值范围是
A．（－∞，5）B．（2,5）
C．（2，＋∞）D．（2,3）∪（3,5）
【答案】D
【错解】由题意，得5－a>0，∴a<5.故选A．
【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．
【试题解析】由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－a>0，,a－2>0，,a－2≠1，))∴2【巩固提升】
1．（2022·山西省忻州一中模拟）实数lg 4＋2lg 5的值为( )
A．2 B．5
C．10 D．20
【答案】A
【解析】lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.
2．(2022·江西上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝(eq \r(4,3))3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【答案】A
【解析】因为c＝(eq \r(4,3))3＝3eq \f(3,4)＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a＜b＜c.
3．(2022·湖北省沙市模拟)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
【答案】B
【解析】A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>
4.(2022·辽宁沈阳模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－1，x≤0，,lg2x，x＞0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝( )
A．－1 B．1
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
【答案】A
【解析】feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.
5．(2022·四川宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－2
【答案】C
【解析】因为函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.
6．（2022·辽宁省锦州模拟若实数a满足lgaeq \f(2,3)＞1＞lgeq \f(1,4)a，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))
【答案】A
【解析】由lgaeq \f(2,3)>1>lgeq \f(1,4)a，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga\f(2,3)>1， ①,lg\f(1,4)a<1， ②))
由①得，当a>1时，aeq \f(2,3)，则eq \f(2,3)eq \f(1,4).因此eq \f(2,3)7．(2022·广西百色模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,2a－x，x＜0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
【答案】B
【解析】当a＜1时，41－a＝21，所以a＝eq \f(1,2)；当a＞1时，4a－1＝2a－(1－a)，无解．故选B.
8．(2022·云南曲靖模拟)设a＝lg0.30.4，b＝lg30.4，则( )
A．ab＜a＋b＜0 B．a＋b＜ab＜0
C．ab＜0＜a＋b D．a＋b＜0＜ab
【答案】A
【解析】因为a＝lg0.30.4＞lg0.31＝0，b＝lg30.4＜lg31＝0，所以ab＜0，又eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg0.40.3＋lg0.43＝lg0.40.9∈(0,1)，所以0＜eq \f(a＋b,ab)＜1，所以ab＜a＋b＜0.
9．（2022·安徽省阜阳一中模拟设函数f(x)＝lgeq \s\d3(\f(1,2))(x2＋1)＋eq \f(8,3x2＋1)，则不等式f(lg2x)＋f(lgeq \s\d3(\f(1,2))x)≥2的解集为( )
A．(0，2] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
C．[2，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)
【答案】B
【解析】因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝lgeq \s\d3(\f(1,2))(x2＋1)＋eq \f(8,3x2＋1)＝f(x)，所以f(x)为R上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，
令t＝lg2x，所以lgeq \s\d3(\f(1,2))x＝－t，
则不等式f(lg2x)＋f(lgeq \s\d3(\f(1,2))x)≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2，
即2f(t)≥2，所以f(t)≥1，
又因为f(1)＝lgeq \s\d3(\f(1,2))2＋eq \f(8,3＋1)＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，在R上为偶函数，所以－1≤t≤1，即lg2x∈[－1，1]，所以x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，故选B.
10．（2022·江西省新余一中模拟设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【解析】设2x＝3y＝5z＝k>1，
所以x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k.
因为2x－3y＝2lg2k－3lg3k＝eq \f(2,lgk2)－eq \f(3,lgk3)＝eq \f(2lgk3－3lgk2,lgk2·lgk3)＝eq \f(lgk32－lgk23,lgk2·lgk3)＝eq \f(lgk\f(9,8),lgk2·lgk3)>0，
所以2x>3y；因为3y－5z＝3lg3k－5lg5k＝eq \f(3,lgk3)－eq \f(5,lgk5)＝eq \f(3lgk5－5lgk3,lgk3·lgk5)＝eq \f(lgk53－lgk35,lgk3·lgk5)＝eq \f(lgk\f(125,243),lgk3·lgk5)<0，所以3y<5z；因为2x－5z＝2lg2k－5lg5k＝eq \f(2,lgk2)－eq \f(5,lgk5)＝eq \f(2lgk5－5lgk2,lgk2·lgk5)＝eq \f(lgk52－lgk25,lgk2·lgk5)＝eq \f(lgk\f(25,32),lgk2·lgk5)<0，所以5z>2x.所以5z>2x>3y，故选D.
11．(2022·北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y＝lg2x＋2的图象上，点C在函数y＝lg2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为(m，n)，则m＝( )
A．2 B．3
C.eq \r(2) D.eq \r(3)
【答案】D
【解析】因为直线BC∥y轴，所以B，C的横坐标相同；又B在函数y＝lg2x＋2的图象上，点C在函数y＝lg2x的图象上，所以|BC|＝2.即正三角形ABC的边长为2.由点A的坐标为(m，n)，得B(m＋eq \r(3)，n＋1)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝lg2m＋2，,n＋1＝lg2m＋\r(3)＋2，))所以lg2m＋2＋1＝lg2(m＋eq \r(3))＋2，所以m＝eq \r(3).
12．(2022·湖北宜昌模拟)若函数f(x)＝lg0.9(5＋4x－x2)在区间(a－1，a＋1)上单调递增，且b＝lg 0.9，c＝20.9，则( )
A．cC．a【答案】B
【解析】由5＋4x－x2>0，得－1