新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第12讲 指数函数（2份打包，原卷版+解析版）

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指数与指数函数
图象与性质
指数运算性质
指数函数的图像与性质
指数的概念
【基础知识全通关】
一、指数与指数幂的运算
1．根式
（1） SKIPIF 1 < 0 次方根的概念与性质
（2）根式的概念与性质
【注】速记口诀：
正数开方要分清，根指奇偶大不同，
根指为奇根一个，根指为偶双胞生．
负数只有奇次根，算术方根零或正，
正数若求偶次根，符号相反值相同．
负数开方要慎重，根指为奇才可行，
根指为偶无意义，零取方根仍为零．
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是 SKIPIF 1 < 0 .
于是，在条件 SKIPIF 1 < 0 下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 SKIPIF 1 < 0 且
SKIPIF 1 < 0 .
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（2）有理数指数幂
规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数 SKIPIF 1 < 0 ，均有下面的运算性质：
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 .
（3）无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.
一般地，无理数指数幂 SKIPIF 1 < 0 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
二、指数函数的图象与性质
1．指数函数的概念
一般地，函数 SKIPIF 1 < 0 叫做指数函数，其中 SKIPIF 1 < 0 是自变量，函数的定义域是 SKIPIF 1 < 0 .
【注】指数函数 SKIPIF 1 < 0 的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.
2．指数函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与性质
【注】速记口诀：
指数增减要看清，抓住底数不放松；
反正底数大于0，不等于1已表明；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过(0，1)点．
3．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域与值域
形如 SKIPIF 1 < 0 的函数的定义域就是 SKIPIF 1 < 0 的定义域．
求形如 SKIPIF 1 < 0 的函数的值域，应先求出 SKIPIF 1 < 0 的值域，再由单调性求出 SKIPIF 1 < 0 的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如 SKIPIF 1 < 0 的函数的值域，要先求出 SKIPIF 1 < 0 的值域，再结合 SKIPIF 1 < 0 的性质确定出 SKIPIF 1 < 0 的值域．
(2)判断复合函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性
令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的单调性相同，那么复合后的函数 SKIPIF 1 < 0 在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数 SKIPIF 1 < 0 在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子 SKIPIF 1 < 0 与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
提示 c>d>1>a>b>0.
【考点研习一点通】
考点01指数运算、化简、求值
1.已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值。
【解析】
SKIPIF 1 < 0
【总结】运算顺序(能否应用公式)；
2.计算下列各式：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)原式 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)原式= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
3．计算： SKIPIF 1 < 0 －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,8)))0＋eq \r(4,3－π4)＋ SKIPIF 1 < 0 ＝______.
【答案】 π＋8
【解析】 原式＝ SKIPIF 1 < 0 －1＋|3－π|＋ SKIPIF 1 < 0
＝4－1＋π－3＋23
＝π＋8.
4．计算： SKIPIF 1 < 0 ＝________.(a>0，b>0)
【答案】 eq \f(8,5)
【解析】 原式＝ SKIPIF 1 < 0 .
5．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝________.
【答案】 eq \f(1,3)
【解析】 由 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方，得x＋x－1＝7，
再平方得x2＋x－2＝47.
∴x2＋x－2－2＝45.
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,3).
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
6．已知 SKIPIF 1 < 0 则a，b，c的大小关系是________．
【答案】 c1，
又 SKIPIF 1 < 0 ∴c