新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第16讲 函数模型及其运用（2份打包，原卷版+解析版）

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1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0).
(2)反比例函数模型：y＝eq \f(k,x)(k≠0).
(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).
(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).
(5)对数函数模型：y＝mlgax＋n(a>0，a≠1，m≠0).
2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
【重点总结】
解答函数应用题的一般步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③求模：求解数学模型，得出数学结论；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
【考点研习一点通】
考点01 ：一次函数与分段函数模型
1.某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 SKIPIF 1 < 0 及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 SKIPIF 1 < 0 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，(只要写出的函数满足在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 即可.答案不唯一)
【解析】
由题意，个数越高，系数 SKIPIF 1 < 0 越大，因此在 SKIPIF 1 < 0 上的函数是增函数即可，初始值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设出函数式代入求解．
【详解】
由题意函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
注：在 SKIPIF 1 < 0 上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 等等．
【规律方法】
1.确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
2.分段函数模型的求解策略
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
【变式1-1】某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ）
A．1180元B．1230元C．1250元D．1152元
【答案】A
【解析】
计算第③种方案的优惠折扣，可得先以第②种方案购票 SKIPIF 1 < 0 张，再以第③种方案购买 SKIPIF 1 < 0 张可得答案.
【详解】
由第③种方案可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则第③种方案约为84折，所以先以第②种方案购票 SKIPIF 1 < 0 张：
SKIPIF 1 < 0 (元)，再以第③种方案购买余下的 SKIPIF 1 < 0 张： SKIPIF 1 < 0 (元)，
所以共需要 SKIPIF 1 < 0 (元).
故选：A.
【变式探究1-2】某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：
（1）若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；
（2）若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；
（3）若购买饲料超过5000元，其5000元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠.
某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；
方案二：一次性付款购买.
若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元
A．540B．620C．640D．800
【答案】C
【解析】
依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，
因为，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为元；
第二次付款4850元时，
因为，所以其原来的价格为元.
所以分两次购买饲料的原价为元.
方案二：若一次性付款，则应付款为：元，
所以节省元.
故选：C
【总结提升】
1.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
2.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．
3.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
考点02：二次函数模型
2、山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）（2）将这批香菇存放天后出售（3）存放天后出售可获得最大利润为元.
【解析】
（1）由题意得，与之间的函数关系式为：
.
（2）由题意得，；
化简得，；
解得，，（不合题意，舍去）；
因此，李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放天后出售.
（3）设利润为，则由（2）得，
；
因此当时，；
又因为，所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润为元.
【易错提醒】
二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
【变式2-1】共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2，0＜x≤400，,80 000，x＞400，))其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．
【答案】
【解析】(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x)元，则
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋300x－20 000，0＜x≤400，,60 000－100x，x＞400.))
(2)当0＜x≤400时，y＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000，故当x＝300时，ymax＝25 000；当x＞400时，y＝60 000－100x是减函数，故y＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．
考点03：指数函数模型
3、“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位： SKIPIF 1 < 0 ）满足函数关系 SKIPIF 1 < 0 （a，b为常数），若该果蔬在6 SKIPIF 1 < 0 的保鲜时间为216小时，在24 SKIPIF 1 < 0 的保鲜时间为8小时，那么在12 SKIPIF 1 < 0 时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时．
A．72B．36C．24D．16
【答案】A
【解析】
根据题意列出 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后即可计算出 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的值，则对应保鲜时间可求.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
【规律方法】
1．指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．
2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
3．y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
4．对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：
直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．
【变式3-1】一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变,剩余质量为原来的.若该物质余下质量不超过原有的，则至少需要的年数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的，两年后变为原来的，依此类推，得到年后质量是原来的，只需要 故结果为4.
故答案为：B.
考点04：对数函数模型
4、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，
令，
则
从而.
故选A.
【总结提升】
指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧
(1与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
【变式4-1】科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设 SKIPIF 1 < 0 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级 SKIPIF 1 < 0 可定义为 SKIPIF 1 < 0 .2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏 SKIPIF 1 < 0 级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏 SKIPIF 1 < 0 级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（ ）倍．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
根据给定的公式结合对数的运算性质可求两者之间的倍数关系.
【详解】
设自贡地震所散发出来的能量为 SKIPIF 1 < 0 ，余江地震所散发出来的能量 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
【变式4-2】声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为 SKIPIF 1 < 0 （瓦/平方米）.对于一个声音的声强 SKIPIF 1 < 0 ，用声强 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 比值的常用对数的10倍表示声强 SKIPIF 1 < 0 的声强级，单位是“分贝”，即声强 SKIPIF 1 < 0 的声强级是 SKIPIF 1 < 0 （分贝）.声音传播时，在某处听到的声强 SKIPIF 1 < 0 与该处到声源的距离 SKIPIF 1 < 0 的平方成反比，即 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）.若在距离声源15米的地方，听到声音的声强级是20分贝，则能听到该声音（即声强不小于 SKIPIF 1 < 0 ）的位置到声源的最大距离为（ ）
A．100米B．150米C．200米D． SKIPIF 1 < 0 米
【答案】B
【解析】
根据题设中的条件，列出方程，求得实数 SKIPIF 1 < 0 的值，再由题设中的条件，即可求解.
【详解】
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据人耳能听到的足校声强为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 米.
故选：B.
考点05：分式函数模型
5、上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当 SKIPIF 1 < 0 时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当 SKIPIF 1 < 0 时，载客量会减少，减少的人数与 SKIPIF 1 < 0 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为 SKIPIF 1 < 0 （元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 分钟.
【解析】
(1) SKIPIF 1 < 0 时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解；
(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.
【详解】
（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，（k为常数），
因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 等号成立；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在[10，20]上递减，当 SKIPIF 1 < 0 时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为 SKIPIF 1 < 0 分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
【易错点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【变式5-1】某工厂有旧墙一面长 SKIPIF 1 < 0 ，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为 SKIPIF 1 < 0 的厂房．工程条件是：①建 SKIPIF 1 < 0 新墙的费用为 SKIPIF 1 < 0 元；②修 SKIPIF 1 < 0 旧墙的费用是 SKIPIF 1 < 0 元；③拆去 SKIPIF 1 < 0 旧墙，用所得的材料建 SKIPIF 1 < 0 新墙的费用为 SKIPIF 1 < 0 元．利用旧墙的一段 SKIPIF 1 < 0 为矩形厂房的一面边长：
（1）向如何利用旧墙，即 SKIPIF 1 < 0 为多少时建墙费用最省，最省费用是多少？
（2）由于地理位置的限制，厂房另一边长（旧墙的临边）不能超过 SKIPIF 1 < 0 ，如何利用旧墙使总费用最省？
【答案】（1）答案见解析；（2）当 SKIPIF 1 < 0 （米）时，建墙费用最省.
【解析】
（1）求得总费用为 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值及其对应的 SKIPIF 1 < 0 值，由此可得出结论；
（2）由已知条件可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用定义证明函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，由此可得出结论.
【详解】
（1）设利用旧墙的一面的矩形边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则矩形的另一面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
利用旧墙的一段 SKIPIF 1 < 0 为矩形的一面边长，则修旧墙费用为 SKIPIF 1 < 0 元，
将剩余的旧墙拆得所得材料建新墙的费用为 SKIPIF 1 < 0 元，
其余建新墙费用为 SKIPIF 1 < 0 元，
总费用为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 （米）时，等号成立，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 （米）时，建墙费用最省，最省费用是 SKIPIF 1 < 0 元；
（2）下面利用定义证明函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性.
任取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因此，当 SKIPIF 1 < 0 （米）时，即厂房另一边长（旧墙的临边）为 SKIPIF 1 < 0 米时，建墙费用最省.
【总结提升】
分式函数模型的应用技巧
1.利用“配凑法”，创造应用基本不等式的条件.注意“一正、二定、三相等”.
2.应用“对勾函数”的单调性.
【考点易错】
1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元,设该公司一年内生产该产品x千件(0(1)写出年利润f(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)
【解析】(1)当0当10故f(x)=
(2)当0得当x∈(0,9)时,f '(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(9,10)时,f '(x)<0,f(x)单调递减.
故f(x)max=f(9)=81×9-×93-100=386.
当10综上得当x=9时,年利润取最大值386.
所以当年产量为9千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.
2.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与肥料费用10x(单位:元)满足如下关系:W(x)=其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场价大约为
15元/千克,且销路畅通供不应求.记该珍稀水果树的单株利润为f(x)(单位:元).
(1)求f(x)的函数关系式;
(2)当投入的肥料费用为多少时,该珍稀水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【解析】(1)由已知得
f(x)=15W(x)-20x-10x=15W(x)-30x==
(2)由(1)得f(x)==
当0≤x≤2时,f(x)max=f(2)=390;
当2当且仅当=1+x,即x=4时等号成立.
因为390<480,所以当x=4时,f(x)max=480.
故当投入的肥料费用为40元时,该珍稀水果树的单株利润最大,最大利润是480元.
3.某公司计划投资开发一种新能源产品,预计能获得10万元~1 000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:资金y(单位:万元)随收益x(单位:万元)的增加而增加,且资金总数不超过9万元,同时资金总数不超过收益的20%.
(1)若建立奖励方案的函数模型为y=f(x),试研究这个函数的定义域、值域和的取值范围;
(2)现有两个奖励方案的函数模型:①y=+2;②y=4lg x-3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求,并说明理由.
【解析】(1)y=f(x)的定义域是[10,1 000],值域是(0,9],∈(0,0.2].
(2)①不符合要求,②符合要求,理由如下.
当y=+2时,=+的最大值是>0.2, 不符合要求.
当y=4lg x-3时,该函数在定义域上为增函数,最大值为9.
≤0.2⇔y-0.2x≤0.令g(x)=4lg x-3-0.2x,则g'(x)=<0.所以g(x)≤g(10)=-1<0,即≤0.2.故函数y=4lg x-3符合公司的要求.
4.某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下.方式一:每天到该商场领取奖品,价值为40元.方式二:第一天领取的奖品的价值为10元,以后每天比前一天多10元.方式三:第一天领取的奖品的价值为0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.若三种领奖方式对应的奖品总价值均不超过1 200元,则促销奖的领奖活动最长设置为几天?在领奖活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益最多?
【解析】设促销奖的领奖活动为x天,三种方式对应的奖品总价值分别为f(x),g(x),h(x)(f(x),g(x),h(x)的单位均为元).
则f(x)=40x;g(x)=10+20+30+…+10x=5x2+5x;
h(x)=0.4+0.4×2+0.4×22+…+0.4×2x-1=0.4·2x-0.4.
要使奖品总价值不超过1 200元,则
即解得x<12,x∈N.
又f(11)=400,g(11)=660,h(11)=818.8,所以h(11)>g(11)>f(11).
故促销奖的领奖活动最长设置为11天,在这11天内选择方式三会让领奖者受益最多.
【巩固提升】
1．一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg，才有疗效；而低于500mg，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时 SKIPIF 1 < 0 的比例衰减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
求出药物保有量随时间 SKIPIF 1 < 0 的关系式，列不等式求解可得．
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 小时保有量为 SKIPIF 1 < 0 mg，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
2.视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
现有如下函数模型：① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示小数记录数据， SKIPIF 1 < 0 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为 SKIPIF 1 < 0 ，则小明同学的小数记录数据为（附 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
根据表格中可知函数的单调性，可选择合适的函数模型，然后令 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可得解.
【详解】
由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量 SKIPIF 1 < 0 （单位：mg）与时间 SKIPIF 1 < 0 （单位：年）近似满足数学函数关系式 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为抗生素的残留系数．经测试发现，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则抗生素的残留系数 SKIPIF 1 < 0 的值约为（ ） SKIPIF 1 < 0
A．10B． SKIPIF 1 < 0 C．100D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入给定的函数关系，解指数方程即得.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4.某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（ ）
A．0.33米B．0.42米C．0.39米D．0.43米
【答案】B
【解析】
根据到1.84米得90分，先求得该女生训练前立定跳远距离，再求得训练后立定跳远距离，两者相减即可.
【详解】
该女生训练前立定跳远距离为 SKIPIF 1 < 0 （米），
训练后立定跳远距离为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （米），
则该女生训练后，立定跳远距离增加了 SKIPIF 1 < 0 （米）.
故选：B．
5．在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为环境最大容量.当 SKIPIF 1 < 0 时，标志着已初步遏制疫情，则 SKIPIF 1 < 0 约为（ ）
A．63B．65C．66D．69
【答案】B
【解析】
由给定模型计算出P(t0)，建立方程，求解即得.
【详解】
由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为： SKIPIF 1 < 0 （其中常数 SKIPIF 1 < 0 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅； SKIPIF 1 < 0 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． SKIPIF 1 < 0 （单位：焦耳），其中M为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 SKIPIF 1 < 0 倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ）
A．2AB．10AC．100AD．1000A
【答案】C
【解析】
设甲地地震震级为 SKIPIF 1 < 0 ，乙地地震震级为 SKIPIF 1 < 0 ，首先根据题意求得 SKIPIF 1 < 0 ，代入里氏震级的计算公式为： SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】
设甲地地震震级为 SKIPIF 1 < 0 ，乙地地震震级为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 SKIPIF 1 < 0 倍，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ，
又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
7.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.
【详解】
设此户居民本月用水量为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,缴纳的水费为 SKIPIF 1 < 0 元,
则当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 元,不符合题意;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,不符合题意.
综上所述: 此户居民本月用水量为15 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8. SKIPIF 1 < 0 年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y（元）=1200+ SKIPIF 1 < 0 年扶贫资金（元）+ SKIPIF 1 < 0 年自投资金（元） SKIPIF 1 < 0 自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力， SKIPIF 1 < 0 年自投资金 SKIPIF 1 < 0 元，以后每年的自投资金均比上一年增长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 年获得的扶贫资金为 SKIPIF 1 < 0 元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少 SKIPIF 1 < 0 元，则该贫困户在 SKIPIF 1 < 0 年的年总收入约为 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 元B． SKIPIF 1 < 0 元C． SKIPIF 1 < 0 元D． SKIPIF 1 < 0 元
【答案】B
【解析】
根据题意，分别求得 SKIPIF 1 < 0 年的自投资金和扶贫资金，进而求得该贫困户 SKIPIF 1 < 0 年的年总收入，得到答案.
【详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 年的自投资金为 SKIPIF 1 < 0 （元），
SKIPIF 1 < 0 年的扶贫资金为 SKIPIF 1 < 0 （元），
所以该贫困户 SKIPIF 1 < 0 年的年总收入约为 SKIPIF 1 < 0 （元）．
故选：B.
9.声强级 SKIPIF 1 < 0 （单位：dB）由公式 SKIPIF 1 < 0 给出，其中 SKIPIF 1 < 0 为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（ ）
A．104倍B．105倍C．106倍D．107倍
【答案】C
【解析】
根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果.
【详解】
设一般正常人听觉能忍受的最高声强为 SKIPIF 1 < 0 ，平时常人交谈时声强为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故选：C
10.砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形 SKIPIF 1 < 0 截去同心扇形 SKIPIF 1 < 0 所得部分．已知扇环周长 SKIPIF 1 < 0 ，大扇形半径 SKIPIF 1 < 0 ，设小扇形半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 弧度，则
① SKIPIF 1 < 0 关于x的函数关系式 SKIPIF 1 < 0 _________．
②若雕刻费用关于x的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】
利用弧长公式求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 根据扇环周长可得 SKIPIF 1 < 0 关于x的函数关系式；根据扇形面积公式求出扇环面积，进而得出砖雕面积与雕刻费用之比，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
扇环周长 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
砖雕面积即为图中环形面积，记为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即雕刻面积与雕刻费用之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时（即 SKIPIF 1 < 0 ）取等号，
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
11.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据： SKIPIF 1 < 0 )
【答案】60
【解析】
设湿地公园某种珍稀鸟类的数量为 SKIPIF 1 < 0 ，可得不等式 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数解不等式，即可得到答案；
【详解】
设湿地公园某种珍稀鸟类的数量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来天内,这种水果每箱的销售利润(单位:元)与时间,单位:天)之间的函数关系式为, 且日销售量 (单位:箱)与时间之间的函数关系式为
①第天的销售利润为__________元;
②在未来的这天中,公司决定每销售箱该水果就捐赠元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大,则的最小值是__________．
【答案】1232 5
【解析】
①因为，，所以该天的销售利润为；
②设捐赠后的利润为元，则，
化简可得，．
令，因为二次函数的开口向下，对称轴为，为满足题意所以，
，解得．
故答案为：①1232；②5．
13.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： SKIPIF 1 < 0 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（ ）
A．1.2天B．1.8天C．2.7天D．3.6天
【答案】D
【解析】
根据所给模型求得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据条件可得方程 SKIPIF 1 < 0 ，然后解出 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
14.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
【答案】B
【解析】
由图形可知，三点都在函数的图象上，
所以，解得，
所以，因为，所以当时，取最大值，
故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.
15.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.
【答案】24
【解析】
由题意得：，所以时，.
16.为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入可变成本 SKIPIF 1 < 0 万元，在年产量不足8万件时， SKIPIF 1 < 0 （万元）；在年产量不小于8万件时， SKIPIF 1 < 0 （万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．
（1）写出年利润 SKIPIF 1 < 0 （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润 SKIPIF 1 < 0 年销售收入 SKIPIF 1 < 0 固定成本 SKIPIF 1 < 0 可变成本）；
（2）年产量x为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）年产量x为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
【解析】
（1）由题意列出解析式，再写成分段函数的结构；
（2）分别求出每一段的最大值，即可得到利润的最大值，及取最大值时的产量.
【详解】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大；
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当x=10时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时x=10.
即年产量x为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
17.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.
【解析】
（1）由题意知，当时，
，
即，
解得或，
∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当时，
；
当时，
；
∴；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为时，人均通勤时间最少．
函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgax小数记录 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
五分记录 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
每户每月用水量
水价
不超过 SKIPIF 1 < 0 的部分
3元/ SKIPIF 1 < 0
超过 SKIPIF 1 < 0 但不超过 SKIPIF 1 < 0 的部分
6元/ SKIPIF 1 < 0
超过 SKIPIF 1 < 0 的部分
9元/ SKIPIF 1 < 0