新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第19讲 利用导数研究函数的极值和最值（2份打包，原卷版+解析版）

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函数极值点条件
函数的极值
求函数极值
函数的极值和最值
函数在闭区间上的最大值和最小值
函数极值点条件
【基础知识全通关】
1.函数的极值
函数的极值的定义
一般地，设函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 及其附近有定义，
（1）若对于 SKIPIF 1 < 0 附近的所有点，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极大值，记作 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若对 SKIPIF 1 < 0 附近的所有点，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个极小值，记作 SKIPIF 1 < 0 .
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
2、求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数 SKIPIF 1 < 0 ；
③求方程 SKIPIF 1 < 0 的根；
④检查 SKIPIF 1 < 0 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
3、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理
若函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上连续，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上必有最大值和最小值；在开区间 SKIPIF 1 < 0 内连续的函数 SKIPIF 1 < 0 不一定有最大值与最小值.如 SKIPIF 1 < 0 .
注意：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 有定义，在开区间 SKIPIF 1 < 0 内有导数，则求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内的导数 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内的根；
（3）求在 SKIPIF 1 < 0 内使 SKIPIF 1 < 0 的所有点的函数值和 SKIPIF 1 < 0 在闭区间端点处的函数值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值，最小者为函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值.
【考点研习一点通】
考点01利用倒数解决函数的极值等问题
1.已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，试求 SKIPIF 1 < 0 的值，并求 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
【解析】 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 处取得极值
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 。
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1-1】设 SKIPIF 1 < 0 为实数，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值；
(2)求证：当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．于是当 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，极小值为 SKIPIF 1 < 0
(2)证明：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由(1)知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0
于是对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在R内单调递增．
于是当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ，从而对任意 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1-3】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为区间（a，b），导函数 SKIPIF 1 < 0 在（a，b）内的图如图所示，则函数 SKIPIF 1 < 0 在（a，b）内的极小值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，故选A。
考点02利用导数解决函数的最值问题
2、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(Ⅰ)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(Ⅱ)求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：当 SKIPIF 1 < 0 时，恒有 SKIPIF 1 < 0 成立．
【解析】（Ⅰ）由 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
经检验，满足题意，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以在区间上单调递增，最小值为；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
综上当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间上的最小值为；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅲ）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
欲证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
【变式2-1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ), SKIPIF 1 < 0 .
(1)若曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在它们的交点(1, SKIPIF 1 < 0 )处具有公共切线,求 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间,并求其在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值.
【解析】(1)由为公共切点可得: SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ①
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
代入①式可得: SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 原函数在 SKIPIF 1 < 0 单调递增,在 SKIPIF 1 < 0 单调递减,在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
①若 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,最大值为 SKIPIF 1 < 0 ;
②若 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,最大值为 SKIPIF 1 < 0
③若 SKIPIF 1 < 0 时,即 SKIPIF 1 < 0 时,最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述:当 SKIPIF 1 < 0 时,最大值为 SKIPIF 1 < 0 ;当 SKIPIF 1 < 0 时,最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2-2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ SKIPIF 1 < 0 与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（ SKIPIF 1 < 0 ）＝ SKIPIF 1 < 0 ，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝ SKIPIF 1 < 0 ，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
函数f（x）的单调区间如下表：
所以函数f（x）的递增区间是（－，－ SKIPIF 1 < 0 ）与（1，＋），递减区间是（－ SKIPIF 1 < 0 ，1）
（2）f（x）＝x3－ SKIPIF 1 < 0 x2－2x＋c，x〔－1，2〕，
当x＝－ SKIPIF 1 < 0 时，f（x）＝ SKIPIF 1 < 0 ＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，
解得c－1或c2。
【变式2-3】已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若b＝c-a(实数c是a与无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是 SKIPIF 1 < 0 ，求c的值.
【解析】(1)f′(x)＝3x2+2ax，令f′(x)＝0，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当a＝0时，因为f′(x)＝3x2＞0，(x≠0)，所以函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递增；
当a＞0时， SKIPIF 1 < 0 时，f′(x)＞0， SKIPIF 1 < 0 时，f′(x) ＜0，所以函数f(x)在 SKIPIF 1 < 0 ，(0，+∞)上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当a＜0时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在(-∞，0)， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b， SKIPIF 1 < 0 ，
则函数f(x)有三个零点等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
又b＝c-a，所以当a＞0时， SKIPIF 1 < 0 或当a＜0时， SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为函数f(x)有三个零点时，
a的取值范围恰好是 SKIPIF 1 < 0 ，
则在(-∞，-3)上g(a)＜0，且在 SKIPIF 1 < 0 上g(a) ＞0均恒成立，
从而g(-3)＝c-1≤0，且 SKIPIF 1 < 0 ，因此c＝1．
此时， SKIPIF 1 < 0 ，
因函数有三个零点，则 SKIPIF 1 < 0 有两个异于-1的不等实根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上c＝1．
考点03导数在研究实际问题中最值问题的应用
4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 SKIPIF 1 < 0 立方米，且 SKIPIF 1 < 0 ．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为 SKIPIF 1 < 0 千元．设该容器的建造费用为 SKIPIF 1 < 0 千元．
(1)写出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)设容器的容积为V，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ．
所以建造费用 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则m＞0，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时，建造费用最小时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，建造费用最小时 SKIPIF 1 < 0 ．
【考点易错】
1、 设函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，已知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则有（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是1，最小值是 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 是周期函数，且周期为2
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数，B错误，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 是增函数，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数可知当 SKIPIF 1 < 0 时最大值为 SKIPIF 1 < 0 、最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期函数可知当 SKIPIF 1 < 0 时，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 是增函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
所以根据函数 SKIPIF 1 < 0 周期为 SKIPIF 1 < 0 可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，C正确，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D错误，
故选：AC.
2、.已知函数f(x)=x+(a>0)的最小值为2,则实数a=( )
【答案】B
【解析】由2x-a≥0得x≥lg2a,故函数f(x)的定义域为[lg2a,+∞),易知函数f(x)在[lg2a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(lg2a)=lg2a=2,解得a=4.故选B.
3、设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
经验证 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
①当 SKIPIF 1 < 0 时,即 SKIPIF 1 < 0 ,
对于任意 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
对于任意 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
因此当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 成立.
②当 SKIPIF 1 < 0 时,即 SKIPIF 1 < 0 ,
对于任意 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
综上, SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查导函数的几何意义的应用,考查利用导函数求函数的最值,考查分类讨论思想和运算能
【巩固提升】
1、已知 SKIPIF 1 < 0 为正实数，若函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值为0，则 SKIPIF 1 < 0 的值为
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【解析】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即函数在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值0，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选A．
【点睛】本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档题.
2、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，极大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 (舍)或 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 (舍)或 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选C.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查运算求解能力，求出函数的极大值与极小值是解决本题的关键，属于中档题.
3、若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的极值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的定义域是(0，+∞)，
SKIPIF 1 < 0 ，
若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的极值点，
则 SKIPIF 1 < 0 在(0，+∞)由2个不同的实数根，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选D．
【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
4、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数．
(Ⅰ)当 SKIPIF 1 < 0 时，
(i)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(ii)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间和极值；
(Ⅱ)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证：对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(Ⅰ)(i)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
(ii)依题意， SKIPIF 1 < 0 ．从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 的变化情况如下表：
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值．
(Ⅱ)证明：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ． ①
令 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ． ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ． ③
由①②③可得 SKIPIF 1 < 0 ．所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ．
5、设函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 存在极值，对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；
(2)由 SKIPIF 1 < 0 存在极值知 SKIPIF 1 < 0 ，
“对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立”等价于
“对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立”，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.
6、已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，总有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)对于 SKIPIF 1 < 0 中任意 SKIPIF 1 < 0 恒有 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)1；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 满足条件；
若 SKIPIF 1 < 0 存在单调递减区间 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 与已知条件矛盾，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为1.
(2)由(1)知 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
下面证明 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不恒成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，则一定存在区间 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 )，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不恒成立.
综上所述：实数 SKIPIF 1 < 0 取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.
7、已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求a；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极大值点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)a=1；(2)见解析.
【解析】(1)因为f(x)＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x(ax﹣a﹣lnx)(x＞0)，
则f(x)≥0等价于h(x)＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′(x)＝a SKIPIF 1 < 0 ．
则当a≤0时h′(x)＜0，即y＝h(x)在(0，+∞)上单调递减，
所以当x0＞1时，h(x0)＜h(1)＝0，矛盾，故a＞0．
因为当0＜x SKIPIF 1 < 0 时h′(x)＜0、当x SKIPIF 1 < 0 时h′(x)＞0，
所以h(x)min＝h( SKIPIF 1 < 0 )，
又因为h(1)＝a﹣a﹣ln1＝0，
所以 SKIPIF 1 < 0 1，解得a＝1；
另解：因为f(1)＝0，所以f(x)≥0等价于f(x)在x＞0时的最小值为f(1)，
所以等价于f(x)在x＝1处是极小值，
所以解得a＝1；
(2)证明：由(1)可知f(x)＝x2﹣x﹣xlnx，f′(x)＝2x﹣2﹣lnx，
令f′(x)＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t(x)＝2x﹣2﹣lnx，则t′(x)＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
令t′(x)＝0，解得：x SKIPIF 1 < 0 ，
所以t(x)在区间(0， SKIPIF 1 < 0 )上单调递减，在( SKIPIF 1 < 0 ，+∞)上单调递增，
所以t(x)min＝t( SKIPIF 1 < 0 )＝ln2﹣1＜0，从而t(x)＝0有解，即f′(x)＝0存在两根x0，x2，
且不妨设f′(x)在(0，x0)上为正、在(x0，x2)上为负、在(x2，+∞)上为正，
所以f(x)必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，
所以f(x0) SKIPIF 1 < 0 x0﹣x0lnx0 SKIPIF 1 < 0 x0+2x0﹣2 SKIPIF 1 < 0 x0 SKIPIF 1 < 0 ，
由x0 SKIPIF 1 < 0 可知f(x0)＜(x0 SKIPIF 1 < 0 )max SKIPIF 1 < 0 ；
由f′( SKIPIF 1 < 0 )＜0可知x0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0， SKIPIF 1 < 0 )上单调递减，
所以f(x0)＞f( SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，f(x)存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f(x0)＜2﹣2．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．
8、已知函数： SKIPIF 1 < 0
(I)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(II)对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的取值范围．
【答案】(I)答案不唯一，见解析(II) SKIPIF 1 < 0
【解析】(I) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 递减，
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 递增，
所以 SKIPIF 1 < 0
综上，当 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0
(II)因为对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 的值域的子集.
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0
(i)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在[1,e]上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
(ii)当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递减， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以只需 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
(iii)当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不合题意.
综合以上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题.
解题方法总结:
像”对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，”已知条件,一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.
9、已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 极值点的个数.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 极值点的个数为0个； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 极值点的个数为2个
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时，函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以此时 SKIPIF 1 < 0 极值点的个数为0个；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，
(i)当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以此时 SKIPIF 1 < 0 极值点的个数为0个；
(ii)当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，记方程 SKIPIF 1 < 0 的两根分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都大于0，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有2个左右异号的零点，
所以此时 SKIPIF 1 < 0 极值点的个数为2.
综上所述 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 极值点的个数为0个；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 极值点的个数为2个.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的性质，确定函数的最大值和极值点的个数，考查了分类讨论思想、逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
10、已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1 )若b=0，曲线f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与直线y= 2x平行,求a的值;
(2)若b=2，且函数f(x)的值域为 SKIPIF 1 < 0 求a的最小值.
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 恰为切线，故舍去，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ， 此时，函数的 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
问题转化为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有解，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
－
0
+
SKIPIF 1 < 0
单调递减
SKIPIF 1 < 0
单调递增
x
（－，－ SKIPIF 1 < 0 ）
－ SKIPIF 1 < 0
（－ SKIPIF 1 < 0 ，1）
1
（1，＋）
f（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）

极大值

极小值

SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
↘
极小值
↗