新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第30讲 平面向量的数量积（2份打包，原卷版+解析版）

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一、平面向量的数量积
1．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，我们把数量 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量积(或内积)，记作 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中θ是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影的概念
设非零向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是θ，则 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )叫做向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上( SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影的情形，其中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，它的意义是，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影长是向量 SKIPIF 1 < 0 的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到 SKIPIF 1 < 0 的几何意义：数量积 SKIPIF 1 < 0 等于 SKIPIF 1 < 0 的长度 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 的乘积.
2．平面向量数量积的运算律
已知向量 SKIPIF 1 < 0 和实数 SKIPIF 1 < 0 ,则
①交换律： SKIPIF 1 < 0 ；
②数乘结合律： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
③分配律： SKIPIF 1 < 0 .
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角.
（1）数量积： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（2）模： SKIPIF 1 < 0 .
（3）夹角： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（4）垂直与平行： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；a∥b⇔a·b=±|a||b|.
【注】当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向时, SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向时, SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔ SKIPIF 1 < 0 .
【考点研习一点通】
例1． 计算下列各式：
（1） SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )― SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ― SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ；
（2）2(3 SKIPIF 1 < 0 ―4 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )―3(2 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ―3 SKIPIF 1 < 0 )；
（3） SKIPIF 1 < 0 ．

【变式1-1】计算：
（1）6(3 SKIPIF 1 < 0 ―2 SKIPIF 1 < 0 )+9(―2 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3）6( SKIPIF 1 < 0 ― SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )―4( SKIPIF 1 < 0 ―2 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )―2(―2 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 )．
典例2若向量与向量共线,则
A．B．
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2-1】 已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为45°，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
典例3 在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例4．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（ ）
① SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =±| SKIPIF 1 < 0 |·| SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 反向 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =－| SKIPIF 1 < 0 |·| SKIPIF 1 < 0 |；③ SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 |=| SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 |；④| SKIPIF 1 < 0 |=| SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 |=| SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 |．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例5．已知| SKIPIF 1 < 0 |=4，| SKIPIF 1 < 0 |=5，当（1） SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，（2） SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，（3） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为30°时，分别求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量积．
例6．（1）若| SKIPIF 1 < 0 |=4， SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =6，求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影；
（2）已知| SKIPIF 1 < 0 |=6， SKIPIF 1 < 0 为单位向量，当它们之间的夹角 SKIPIF 1 < 0 分别等于60°、90°、120°时，求出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的正投影，并画图说明．
例7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向， SKIPIF 1 < 0 =（1，2）， SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =10．
（1）求向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 =（2，－1）．求（ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ）· SKIPIF 1 < 0 ．
例8.已知 SKIPIF 1 < 0 =（1，1）， SKIPIF 1 < 0 =（0，―2）当k为何值时，
（1）k SKIPIF 1 < 0 ― SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 共线；
（2）k SKIPIF 1 < 0 ― SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 的夹角为120°．
【考点易错】
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别满足下列条件，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 .
(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 ； (3) SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0
2.已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的大小为_________.
3.若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为________
4.已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，| SKIPIF 1 < 0 |=1，| SKIPIF 1 < 0 |=2， SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =1．若 SKIPIF 1 < 0 为平面单位向量，则| SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 |+| SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 |的最大值是______．
5.设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 .
【巩固提升】
1.已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足4│ SKIPIF 1 < 0 │=3│ SKIPIF 1 < 0 │，cs< SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 >=.若 SKIPIF 1 < 0 ⊥（t SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ），则实数t的值为（ ）
（A）4 （B）–4 （C） （D）–
2. 平面向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°， SKIPIF 1 < 0 =（2，0）， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4 D．12
3. 在△OAB中，已知OA=4，OB=2，点P是AB的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 上的任一点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6 B．―6 C．12 D．―12
4.若平面向量=（﹣1，2）与的夹角是180°，且||=3，则坐标为（ ）
A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）C．（﹣3，6）D．（3，﹣6）
5. 对于非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，定义运算“*”： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角，有两两不共线的三个向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6. 平面上O，A，B三点不共线，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则△OAB的面积等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 .