新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第35讲 数列的求和（2份打包，原卷版+解析版）

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1．等差数列的前n项和
首项为 SKIPIF 1 < 0 ，末项为 SKIPIF 1 < 0 ，项数为n的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和公式： SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是关于n的二次函数，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的图象上一系列孤立的点；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是关于n的一次函数 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或常函数 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．
2．用前n项和公式法判定等差数列
等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，那么当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列；当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列．
3．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 具有如下性质：
（1）通项公式的推广： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
特别地，①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
SKIPIF 1 < 0
（3）下标成等差数列的项 SKIPIF 1 < 0 组成以md为公差的等差数列．
（4）数列 SKIPIF 1 < 0 是常数 SKIPIF 1 < 0 是公差为td的等差数列．
（5）若数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则数列 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是常数 SKIPIF 1 < 0 仍为等差数列．
（6）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
4．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 （公差为d）和 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
（1）数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 构成公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
（3）若数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（4）若数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（5） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
5.等比数列的前n项和公式
首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和的公式为 SKIPIF 1 < 0
（1）当公比 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是关于n的正比例函数，则数列 SKIPIF 1 < 0 的图象是正比例函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的一群孤立的点．
（2）当公比 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则上式可写成 SKIPIF 1 < 0 的形式，则数列 SKIPIF 1 < 0 的图象是函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和 SKIPIF 1 < 0 是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
6、等比数列及其前n项和的性质
若数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则有如下性质：
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
推广： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
（3）数列 SKIPIF 1 < 0 仍是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列；
数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列；
数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列；
若数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，则数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列．
（4） SKIPIF 1 < 0 成等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ．
（5）连续相邻 SKIPIF 1 < 0 项的和（或积）构成公比为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的等比数列．
（6）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
（7） SKIPIF 1 < 0 ．
（8）若项数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若项数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
（9）当 SKIPIF 1 < 0 时，连续 SKIPIF 1 < 0 项的和（如 SKIPIF 1 < 0 ）仍组成等比数列（公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．注意：这里连续m项的和均非零．
【考点研习一点通】
考点一 求解等差数列的通项及前n项和
1.已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
两边同时取倒数，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1-1】已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
考点二 数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和的求解
2.已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）请问数列 SKIPIF 1 < 0 是否为等差数列？如果是，请证明；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0
于是由 SKIPIF 1 < 0 可知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列.
（2）记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2-1】设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设，且数列的前项和为，则有.
当时，；
当时，.
从而，即，解得.
（2）设数列的前项和为，当时，，所以有
当时，；
当时，
.
综上， SKIPIF 1 < 0 .
考点三 求解等比数列的通项及前n项和
3.若等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 5，则 SKIPIF 1 < 0 等于
A．5 B．16
C．17 D．25
【答案】C
【解析】当公比 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 故公比不为1，
当公比 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选C.
【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n项和，注意对公比 SKIPIF 1 < 0 的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比 SKIPIF 1 < 0 进行分类讨论，利用前n项和公式及条件，求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到结果.
【变式3-1】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵a2＝6，a3＋a4＝72，
∴6q＋6q2＝72，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4．
又∵an＞0，
∴q＞0，
∴q＝3， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
考点四 等比数列的性质的应用
4.在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．2
C．1 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由等比数列的性质知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
【变式4-1】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】140
【解析】方法1：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易得公比 SKIPIF 1 < 0 ，
根据等比数列前n项和的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
方法2：根据等比数列前n项和的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
方法3：根据等比数列前n项和的性质，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
【考点易错】
1.等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前30项之和为50，前50项之和为30，求 SKIPIF 1 < 0 。
【思路】根据等差数列前n项公式 SKIPIF 1 < 0 ，整体代入，或者应用公式 SKIPIF 1 < 0 。
【解析】法一: ∵ SKIPIF 1 < 0 为等差数列， ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
(2)-(1)有 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 。
法二: ∵ SKIPIF 1 < 0 为等差数列， ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
∴ (2)-(1)有： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 , ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 。
法三:∵ SKIPIF 1 < 0 为等差数列， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,…, SKIPIF 1 < 0 也为等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【总结】法一、二均可用方程思想求出A、B、 SKIPIF 1 < 0 、d来，然后求未知，运算量则相对很大，此时要注意整体思想的运用。
2.设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 .求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列．
【思路】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。
证明：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，又得 SKIPIF 1 < 0
相减并整理得: SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是个等差数列
3.设{an}是等差数列,证明以bn= SKIPIF 1 < 0 (n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.
证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),
当n≥2时，
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 (常数)
∴{bn}是等差数列.
证法二:等差数列{an}的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ,
∴bn= SKIPIF 1 < 0
∴{bn}是等差数列.
【总结】判断或证明数列是等差数列的方法有:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*) SKIPIF 1 < 0 {an}是等差数列;
(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*) SKIPIF 1 < 0 {an}是等差数列;
(3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*) SKIPIF 1 < 0 {an}是等差数列;
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*) SKIPIF 1 < 0 {an}是等差数列.
4．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
（1）求公差d的取值范围；
（2）n为何值时，Sn最大，并说明理由。
【解析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0
又由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 代入不等式组
∴ SKIPIF 1 < 0 ， 解出 SKIPIF 1 < 0
（2）方法一：由（1）知： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 中最后一个正数项是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 开始为负数项
∴当n=6时， SKIPIF 1 < 0 最大.
方法二：由（1）知： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，
若要 SKIPIF 1 < 0 最大，需确定数列中最后一个非负数项是第几项.
由 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 , ∴ SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 , 即 SKIPIF 1 < 0 , ∴ SKIPIF 1 < 0 , ∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 中最后一个正数项是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 开始为负数项
∴当n=6时， SKIPIF 1 < 0 最大.
方法三： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵ d<0, ∴当 SKIPIF 1 < 0 最小时 SKIPIF 1 < 0 有最大值，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
∴当n=6时 SKIPIF 1 < 0 最小，即 SKIPIF 1 < 0 最大，
方法四： SKIPIF 1 < 0 是等差数列，故设 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示
∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点在n=12与n=13之间。
∴对称轴l的位置在6与6.5之间，
易知n=6对应的A点与对称轴的距离比n=7对应的点B与对称轴的距离要近，
故A为最高点， SKIPIF 1 < 0 最大。
5.若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为“平方递推数列”．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是“平方递推数列”，且数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）在（2）的条件下，记 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求使 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最小值．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则是“平方递推数列”．
对 SKIPIF 1 < 0 两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 （3）由（2）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故使 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
6.若数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，计算得出 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，根据题意得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为−2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
【名师点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和的常用方法；数列求和的常用方有：分组求和，用于当数列中相邻两项的和或者差是定值的；错位相减法，用于一个等比数列和等差数列乘到一起；裂项相消法主要用于分式型的通项.
7.已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，依题意，有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
两式相减，得
SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
【名师点睛】本题主要考查了数列通项的求法以及数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的求法.数列通项的求法常用的方法有：公式法、累加、累乘等.求数列前 SKIPIF 1 < 0 项和的常用的方法有：错位相减、裂项相消、分组求和等.
（1）把 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的关系即可.
（2）首先利用裂项把 SKIPIF 1 < 0 计算出来，再根据错位相减即可得出 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.
【巩固提升】
1． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是两个等差数列，其中 SKIPIF 1 < 0 为常值， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 的值，利用等差中项的性质可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2.已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】显然可知， SKIPIF 1 < 0 ，利用倒数法得到 SKIPIF 1 < 0 ，再放缩可得 SKIPIF 1 < 0 ，由累加法可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而由 SKIPIF 1 < 0 局部放缩可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用累乘法求得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据裂项相消法即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得解．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
根据累加法可得， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由累乘法可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 SKIPIF 1 < 0 的不等关系，再由累加法可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由题目条件可知要证 SKIPIF 1 < 0 小于某数，从而通过局部放缩得到 SKIPIF 1 < 0 的不等关系，改变不等式的方向得到 SKIPIF 1 < 0 ，最后由裂项相消法求得 SKIPIF 1 < 0 ．
3.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 SKIPIF 1 < 0 的长方形纸，对折1次共可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两种规格的图形，它们的面积之和 SKIPIF 1 < 0 ，对折2次共可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三种规格的图形，它们的面积之和 SKIPIF 1 < 0 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 SKIPIF 1 < 0 次，那么 SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0 .
【答案】5 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据错位相减法得结果.
【详解】（1）由对折2次共可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三种规格的图形，所以对着三次的结果有： SKIPIF 1 < 0 ，共4种不同规格（单位 SKIPIF 1 < 0 ；
故对折4次可得到如下规格： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，首项为120 SKIPIF 1 < 0 ,第n次对折后的图形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 SKIPIF 1 < 0 种（证明从略），故得猜想 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式作差得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，其中 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，利用分组求和法；
（4）对于 SKIPIF 1 < 0 结构，其中 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法求和.
4.已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
5.定义数列：对实数p，满足：①，；②；③，．
（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由；
（2）若是数列，求的值；
（3）是否存在p，使得存在数列，对？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
【答案】（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．
【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；
(3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.
【详解】(1)由性质③结合题意可知，
矛盾，故前4项的数列，不可能是数列.
(2)性质①，
由性质③，因此或，或，
若，由性质②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因为或，所以或.
若，则，
不满足，舍去.
当，则前四项为:0，0，0，1，
下面用纳法证明：
当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，
当时：
若，则，利用性质③：
，此时可得：；
否则，若，取可得：，
而由性质②可得：，与矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因为，有
即当时命题成立，证毕.
综上可得：，.
(3)令，由性质③可知：
，
由于，
因此数列为数列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此时，，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
6.已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求.
【详解】（1）由题设可得
又，，
故，即，即
所以为等差数列，故.
（2）设的前项和为，则，
因为，
所以
.
【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
7.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和与项的关系，数列的前n项积与项的关系，其中由,得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前n项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.