云南省昭通市云天化中学教研联盟2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份云南省昭通市云天化中学教研联盟2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共23页。

1．答题前为生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在符图卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动.用像皮擦干净后，再选涂其它符案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等差数列的前项和为，若，则 （ ）
A. 288B. 144C. 96D. 25
5. 抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．
A. B. C. 4D. 5
6. 已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
7. 下列说法错误的是（ ）
A. 若随机变量满足且，则
B. 已知随机变量～，若，则
C. 若事件相互独立，则
D. 若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）

A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 如图为函数的部分图象，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于点成中心对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于轴对称
10. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的图象关于直线对称B. 4是函数的周期
C. D. 方程恰有4个不同根
11. 如图，正方体棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 三棱锥的体积为
D. 以点为球心，为半径的球面与平面的交线长
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．
13. 盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为__________.
14. 如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________．

四、解答题（本大题共77分）
15. 在中，所对的边分别为，且满足．
（1）求;
（2）点在线段AC延长线上，且，若，求的面积．
16. 四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点.
（1）求证：平面平面BDE；
（2）当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小.
17. 随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份.
（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由）
（2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01)
（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?
参考公式与数据:， ，，其中.
18 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明：当时，恒成立．
19. 已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．云天化中学教研联盟2024年春季学期期末考试
高二数学试卷
注意事项：
1．答题前为生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在符图卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动.用像皮擦干净后，再选涂其它符案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标可得答案．
【详解】，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积.
【详解】由，则，
，所以在处切线的方程为，即，
令，得；令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故选：A
4. 已知等差数列前项和为，若，则 （ ）
A. 288B. 144C. 96D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的前项和列方程组求出，进而即可求解.
【详解】由题意，即，解得.
于是.
故选：B.
5. 抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．
A. B. C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和，等于此点到焦点的距离与到直线的距离之和，其最小值为焦点到直线的距离，求值即可.
【详解】抛物线，焦点，准线方程为，
抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，则有，
其最小值为焦点到直线的距离．
即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为.
故选：A.
6. 已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差中项的性质及等比数列基本量的计算求通项公式即可.
【详解】设的公比为q，
则依题意有，
解方程得或（舍去），所以.
故选：C
7. 下列说法错误的是（ ）
A. 若随机变量满足且，则
B. 已知随机变量～，若，则
C. 若事件相互独立，则
D. 若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的性质判断A，根据二项分布的期望和方差的计算公式判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D.
【详解】对于A：因且，所以，故A正确；
对于B：随机变量～，则，解得：，故B正确；
对于C：若事件、相互独立，则，
所以，故C正确；
对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，
因为，所以组数据的相关性更强，故D错误.
故选：D
8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可
【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长，
在中，，
由正弦定理得：
，
所以，

故选：D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 如图为函数的部分图象，则下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的图象关于点成中心对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于轴对称
【答案】BC
【解析】
【分析】根据图象直接求出周期可判断A；利用周期求，代点求，然后代入法验证即可判断B；根据正弦函数单调性，利用整体代入法求解可判断C；根据周期变换和平移变换，求出变换后的解析式即可判断D.
【详解】对于A，由图可知，所以，A错误；
对于B，因为，图象过点，所以，
所以，即，
所以，
因为，
所以点为函数的一个对称中心，B正确；
对于C，，由解得，
所以为函数的一个单调递增区间，
所以，在区间上单调递增，C正确；
对于D，将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得，
再向右平移得，为奇函数，D错误.
故选：BC
10. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的图象关于直线对称B. 4是函数的周期
C. D. 方程恰有4个不同的根
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用是偶函数，可得，关于对称，又因为是奇函数，即是双对称函数，从而可证明是周期函数，这样可以由的图象，根据关于对称，作出，再根据关于点对称, 作出,这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用周期为4进行不断的延伸，这样后面的选项就可以利用数形结合来分析解决.
【详解】对于A：令是偶函数，则，即，
所以关于对称，故A正确；
对于B：因为，所以，
即，即周期，故B正确；
对于C：，，
所以，故C错误；
对于D：因为，，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，可知关于点对称，又可作出上的图象，
又的周期，作出的图象与的图象，
如图所示：所以与有4个交点，故D正确，
故选：ABD．
11. 如图，正方体棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 三棱锥的体积为
D. 以点为球心，为半径的球面与平面的交线长
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用三角形的高可判定A，利用展开图形可判定B，利用体积公式可求C，利用球的截面圆的半径可判定D.
【详解】对于A，在中，，P是直线上的一个动点，
所以的最小值为高，最小值为，A正确.
对于B，将沿翻折，使与矩形在同一个平面内，如图，
当三点共线时，取到最小值，
中，，，由余弦定理可得，
所以，所以的最小值为，B不正确.
对于C，易知三棱锥为正四面体，且棱长为，如图，
作平面于，则为的中心，由正弦定理可得，即，
所以，所以三棱锥的体积为，C正确.
对于D，设点到平面的距离为，因为，所以,
所以，解得；
以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，其周长为,D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．
【答案】10
【解析】
【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.
【详解】令，，即，解得，
所以的展开式通项公式为，令，则，
．
故答案为：10．
13. 盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】运用全概率公式进行求解即可.
【详解】设事件A表示第一次抽取的是黄球，则，，
事件表示第二次抽取的是黄球，因此有，
所以.
故答案为：
14. 如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________．

【答案】
【解析】
【分析】利用双曲线的几何定义，设就可以来研究各焦半径的长度，再利用两个勾股定理就可以求出离心率.
【详解】
设另一个焦点，连接，设则
再根据双曲线的定义可知：
由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点，
所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得，
所以由勾股定理得：，
化简得：，
再由勾股定理得：，
代入得：，
故答案为：.
四、解答题（本大题共77分）
15. 在中，所对的边分别为，且满足．
（1）求;
（2）点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理和倍角公式可求答案；
（2）利用直角三角形的知识得出为正三角形，结合面积公式可求答案.
【小问1详解】
因为，所以由正弦定理得
因为，所以，则，
因为，所以，
又因为，所以;
【小问2详解】
在中，，可得，
又，可得，又，，可得正三角形，
故面积为.
16. 四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点.
（1）求证：平面平面BDE；
（2）当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而得到平面PAC，从而得到面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两平面的法向量，求出二面角的大小.
【小问1详解】
底面ABCD是正方形，
，
平面ABCD，平面ABCD，
，又平面PAC，
平面PAC，又平面BDE，
平面平面BDE.
【小问2详解】
平面ABCD，平面ABCD，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面ABE的法向量为，则，
解得，令得，故，
设平面DBE的法向量为，
则，
解得，令得，故，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，所以锐二面角为.
17. 随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份.
（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由）
（2）（i）根据（1）判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01)
（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?
参考公式与数据:， ，，其中.
【答案】（1）模型②
（2）（i）；（ⅱ）预测12月份的销售量大约是13.9万件
【解析】
【分析】（1）根据散点图结合一次函数以及二次函数图象特征分析判断；
（2）（i）令，根据题中数据和公式求回归方程；
（ⅱ）令，代入回归方程运算求解即可.
【小问1详解】
由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，
结合图象故选模型②.
【小问2详解】
（i）令，则，
可得，，
则，，
所以关于的回归方程为，
即关于的回归方程；
（ⅱ）令，可得，
预测12月份的销售量大约是13.9万件.
18. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明：当时，恒成立．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.
【小问1详解】
定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
，且时，，
令，下证即可.
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
19. 已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
【答案】（1）；
（2）直线过定点.
【解析】
【分析】（1）由圆，可知圆心为，半径为1，圆，圆心为，半径为3．设动圆的半径为，根据动圆与圆外切并与圆内切，可得，由椭圆的定义即可求解；
（2）①当直线斜率存在时,设直线:，设，与椭圆方程联立可得，根据，可得，代入，可得，可求直线所过的定点.同理，当直线斜率不存在时,设直线:,且，根据求出即可得直线所过的定点，综合即可求解.
【小问1详解】
设动圆的半径为，
因为动圆与圆外切,所以.
因为动圆于圆外切,所以,
则,
由椭圆的定义可知,曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆.
设椭圆方程为,
则，故,
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
①当直线斜率存在时,设直线:，
联立，消去可得,
则，化简得.
设，则.
由题意知，因为,
所以,
所以,
所以,
即,
，
即，
即.
因为，所以，即，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
②当直线斜率不存在时，设直线:，且,
则点.
所以 ,解得,
所以直线的方程为，也过定点.
综上所述, 直线过定点.
【点睛】方法点睛:圆锥曲线中定点问题的两种解法:
（1）引进参数法:先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；
（2）特殊到一般法:先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.