江苏省南菁高级中学2023-2024学年高二上学期9月调研数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南菁高级中学2023-2024学年高二上学期9月调研数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．数列，，，，，…的一个通项公式为( )
A.B.C.D.
2．若数列满足，且，则( )
A.13B.14C.15D.16
3．已知数列满足，，则的通项公式为( )
A.B.C.D.
4．已知数列的首项为2，且数列满足，数列的前n项的和为，则
等于( )
A.504B.294C.D.
5．若数列的前n项和为，则等于( )
A.15B.35C.66D.100
6．已知等比数列的各项均为正数，公比，，则( )
A.12B.15C.18D.21
7．等比数列的前n项和为，，，则等于( )
A.8B.12C.16D.24
8．已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知是等差数列，其前n项和为，若，则下列判断正确的是( )
A.B.C.D.
10．设等差数列的前n项和为，公差为d.已知，，，则( )
A.B.
C.时，n的最小值为14D.数列中最小项为第7项
11．已知数列满足，，则下列结论正确的是( )
A.为等比数列B.的通项公式为
C.为递增数列D.的前n项和
12．对于数列，设其前n项和，则下列命题正确的是( )
A.若数列为等比数列，，，成等差，则，，也成等差
B.若数列为等比数列，则
C.若数列为等差数列，且，则
D.若数列为等差数列，且，，则中任意三项均不能构成等比数列
三、填空题
13．已知数列满足，数列满足，且，则________.
14．在等比数列中，若，，则________.
15．将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是________.
16．数列满足，，其前n项和为，若，则正整数m的值为________.
四、解答题
17．已知等差数列，为其前n项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
18．记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和.
19．已知数列的前n项和为，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前n项和为，求证：.
20．已知数列的前n项和为，，，且，若对任意都成立，求
（1）数列的通项公式；
（2）求实数的最小值.
21．设公差不为0的等差数列的首项为，且，，构成等比数列.
（1）求数列的通项公式，并求数列的前n项和为；
（2）令，若对恒成立，求实数t的取值范围.
22．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列为“速增数列”.且任意项，，，，求正整数k的最大值；
(3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：分子为偶数，即为，分母为，则数列，，，，，的一个通项公式为.
故选:A.
2．答案：A
解析：，，，
故选:A.
3．答案：C
解析：由得，
，
，当时也符合，
数列的通项公式为，
故选：C.
4．答案：C
解析：因为，，
所以，，
又，
所以，
所以数列的周期为4，，
因为，
所以.
故选:C.
5．答案：C
解析：当时，，
当时，
又不满足上式，所以，
所以
故选:C.
6．答案：D
解析：因为等比数列的各项均为正数，公比，
，
，
又，
所以，
所以，即，
解得或(舍去)，
所以.
故选:D
7．答案：C
解析：设等比数列的公比为q，
则，即，解得，
所以.故选:C.
8．答案：B
解析：数列是单调递减数列，
则
当n为偶数时，，即，
由于为递增数列，则数列的最小值20，
，即，
当n为奇数时，，即，
由于为递减数列，则数列的最大值，
，
综上所述实数的取值范围是.
故选:B
9．答案：AC
解析：因为是等差数列，，
所以，即，即，故A正确;
所以
，的值无法确定，故B错误;
，则，故C正确;
，故D错误.
故选:AC.
10．答案：ABD
解析：等差数列的前n项和为，首项为，公差为d.由，可得，则，
又，则，则选项A判断正确;
由，，，可得，
解之得，则选项B判断正确;
由可得或(舍)
由，可得，
则时，n的最小值为13.则选项C判断错误;
由时，，时，，
时，，时，，
可得时，，，，
时，，
二次函数开口向下，过原点，对称轴，
则在时，单调递减，且，
又时，为递减数列，为递增数列，为递减数列，
则在时，数列为递增数列，则时取得最小值，
则数列中最小项为第7项，则选项D判断正确.
故选:ABD.
11．答案：AD
解析：数列满足，，整理得:，
转换为，
故:(常数)，所以是以为首项，2为公比的等比数列.
故:，整理得.则:为递减数列.
进一步整理得：，
所以的前n项和:
故选:AD.
12．答案：ACD
解析：对于A，若数列为等比数列，，，成等差，则，
若公比，则，故，
所以由，可得
整理得，结合，可知，
所以，
即，故，，也成等差，故A正确;
对于B，若数列为等比数列，若公比，，，此时，所以B错误;
对于C，不妨设，则，即，
所以，化简得，
结合，得，故C正确;
对于D，若数列为等差数列，且，，则公差，
所以，假设等差数列中的三项，，构成等比数列，，
且p，q，r互不相等，则，
所以
，即，因为，
则，其中，
则，得，这与p，q，r互不相等矛盾，故假设不成立，则中任意三项均不能构成等比数列，故A正确.
故选:ACD.
13．答案：10
解析：依题意，由两边同时乘以，
可得，即，
故数列是以3为公差的等差数列，
解得.
故答案为:10.
14．答案：或
解析：
和是方程的两个根，求得或3，
，或，，
或，或，
故答案为:或
15．答案：
解析：由题意知，前99组数共包含个数，
则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，
即。
故答案为:.
16．答案：251
解析：由，可得，
所以，所以，
所以，
又由
当m为奇数时，，得，
当m为偶数时，
，得，
因为，所以为奇数，所以m为偶数时无解.
综上所述，.
故答案为:251.
17．答案：(1)；
(2)，其前n项和为
解析：(1)设等差数列的公差为d，则，，
解得所以.
(2)，数列是首项为3，公比为9的等比数列，所以数列的前n项和为.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由是公差为的等差数列，且，则，
即，当时，，两式相减可得：，整理可得，
故，
将代入上式，，
故的通项公式为.
（2）由，则
.
19．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）因为，
所以当时，，
两式相减，得到，
整理得，
又因为，所以，
所以数列是公差为3的等差数列.
当时，，解得或，
因为，所以，
由（1）可知，即公差，
所以；
（2），
所以.
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）数列的前n项和为，，，且，
所以：，故：，
因为，所以
所以：，，，，
则：，故：.
（2）由（1）得所以：
所以：，
因为对任意都成立，所以
设则
当时，当时，
因此，即，故的最小值为.
21．答案：（1），；
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，首项，由题意，
则，解得.
则.
①，
②，
①-②得.
（2），
当n为奇数时，，
.
，，
，.
当n为偶数时，，
.
，，，
.
综上所述，.
22．答案：（1）数列是“速增数列”，理由见解析；
（2）63；
（3）证明见解析
解析：（1）因为，则，，
又，故，数列是“速增数列”.
（2），，，
当时，，
即，，
当时，，当时，，
故正整数k的最大值为63.
（3），故，即；
，故，
即，
同理可得：，，，
故，
故，，得证.