新高考数学一轮复习第5章 第03讲 平面向量的数量积 (精讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
角度2：平面向量数量积的几何意义
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：用定义求数量积
角度2：向量模运算
角度3：向量的夹角
角度4：已知模求数量积
角度5：已知模求参数
高频考点三：平面向量的综合应用
高频考点四：极化恒等式
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平面向量数量积有关概念
1.1向量的夹角
已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
( SKIPIF 1 < 0 )叫做向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，记作 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)范围：夹角 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，两向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线且同向；
当 SKIPIF 1 < 0 时，两向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相互垂直，记作 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，两向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线但反向．
1.2数量积的定义：
已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，我们把数量 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量积(或内积)，记作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，其中θ是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，记作： SKIPIF 1 < 0 ．
规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作： SKIPIF 1 < 0 .
1.3向量的投影
①定义：在平面内任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 .过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 就是向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量.
②投影向量计算公式:
当 SKIPIF 1 < 0 为锐角（如图（1））时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相同， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为直角（如图（2））时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为钝角（如图（3））时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相反，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
综上可知，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
2、平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的夹角：
2.1数量积 SKIPIF 1 < 0
2.2模： SKIPIF 1 < 0
2.3夹角： SKIPIF 1 < 0
2.4非零向量 SKIPIF 1 < 0 的充要条件： SKIPIF 1 < 0
2.5三角不等式： SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
3、平面向量数量积的运算
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0
4、极化恒等式
①平行四边形形式：若在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，则 SKIPIF 1 < 0
②三角形形式：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0
5、常用结论
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·全国·高一专题练习）判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）
（1）两个向量的数量积仍然是向量.( )
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .( )
（3） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线⇔ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 =| SKIPIF 1 < 0 || SKIPIF 1 < 0 |.( )
（4）若 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ，则一定有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .( )
（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.( )
2．（2021·全国·高二课前预习）已知两个向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°.( )
二、单选题
3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
4．（2022·全国·模拟预测（文））在边长为2的正三角形 SKIPIF 1 < 0 中，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
5．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 －定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量数量积的定义
角度1：平面向量数量积的定义及辨析
例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．2C．3D．4
例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0
A．1B．2C．3D．4
例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是锐角D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是钝角
例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为___________.
角度2：平面向量数量积的几何意义
例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影数量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆 SKIPIF 1 < 0 中弦 SKIPIF 1 < 0 的长度为8，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．8B．16C．24D．32
例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为120°，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为（ ）
A．4B．－4C．2D．－2
例题4．（2022·吉林一中高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边上 SKIPIF 1 < 0 的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，中心为 SKIPIF 1 < 0 ，四个半圆的圆心均在正方形 SKIPIF 1 < 0 各边的中点（如图2，若点 SKIPIF 1 < 0 在四个半圆的圆弧上运动，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型归类练
1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）已知△ABC的外接圆圆心为O，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的正射影的数量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·北京市第十九中学高一期中）如图，已知四边形ABCD为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AB=1，AD=3， SKIPIF 1 < 0 ，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 方向相同的单位向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·河南河南·三模（理））在△ SKIPIF 1 < 0 中，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“△ SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）在圆 SKIPIF 1 < 0 中弦 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
7．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）如图，直径 SKIPIF 1 < 0 的半圆，D为圆心，点C在半圆弧上， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上有动点P，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_________．
高频考点二：平面向量数量积的运算
角度1：用定义求数量积
例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．-6B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．6
例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C． SKIPIF 1 < 0 D．2
例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，单位向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为___________.
例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______
角度2：向量模运算
例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面内的两个向量， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．2D．4
例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
角度3：向量的夹角
例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的夹角为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是单位向量，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为_____.
例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小为______．
例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 所成角为钝角．则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______．
例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______
角度4：已知模求数量积
例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．－2
例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____.
例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
角度5：已知模求参数
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．-2D．2
例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
题型归类练
1．（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高一单元测试）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P为CD上一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若AC＝3，AB＝4，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·广东·模拟预测）已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设 SKIPIF 1 < 0 为非零向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为___________.
8．（2022·广东广州·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
9．（2022·山东济宁·三模）在边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
高频考点三：平面向量的综合应用
例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．24B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
题型归类练
1．（2022·浙江·高一阶段练习）已知P是 SKIPIF 1 < 0 的外心，且 SKIPIF 1 < 0 ，则csC=（ ）
A．- SKIPIF 1 < 0 B．- SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或- SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或- SKIPIF 1 < 0
2．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））在△ SKIPIF 1 < 0 中，点D满足 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·山东淄博·高一期中）如图， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________
4．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC中，点D在边BC上，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
5．（2022·浙江·高一阶段练习）平面内的三个向量 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数k的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数k的值.
6．（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
7．（2022·湖北·高一阶段练习）已知平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AE和BF交于点P.
(1)试用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 .
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
8．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知 SKIPIF 1 < 0 ，c＝1且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求b边的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
高频考点四：极化恒等式
例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的两个三等分点.
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
例题2．（2022·河北唐山·高三期末） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
例题3．（2022届高三开年摸底联考 新高考）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为：（ ）
SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
题型归类练
1．设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
2．如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点是线段 SKIPIF 1 < 0 一动点，若以 SKIPIF 1 < 0 为圆心半径为1的圆与线段 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
3．已知 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 内一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是( )
A．－2 B．－eq \f(3,2) C．－eq \f(4,3) D．－1
4．如图放置的边长为1的正方形 SKIPIF 1 < 0 ，顶点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴正半轴（含原点）滑动，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______________.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
2．（2021·全国·高考真题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 _______．
3．（2021·全国·高考真题（文））若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
4．（2021·全国·高考真题（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， SKIPIF 1 < 0 且交AB于点E． SKIPIF 1 < 0 且交AC于点F,则 SKIPIF 1 < 0 的值为____________； SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________．
6．（2021·北京·高考真题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
SKIPIF 1 < 0 ________； SKIPIF 1 < 0 ________.