新高考数学一轮复习第5章 第04讲 正弦定理和余弦定理 (精练）（2份打包，原卷版+教师版）

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1．（2022·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】D
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是钝角三角形.
故选：D.
2．（2022·江苏·高一课时练习）已知正三角形的边长为2，则该三角形的面积（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】B
根据三角形面积公式可得该三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．（2022·江苏·高一课时练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ﹒
故选：B﹒
4．（2022·河南·高二阶段练习（文））如图，在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5．（2022·江苏·南京市第九中学高一期中）图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则△ABC的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
6．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．9D．11
【答案】C
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
7．（2022·重庆八中高一期中）如图，四边形ABCD四点共圆，其中BD为直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，定义 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的“向量积”： SKIPIF 1 < 0 ．可知 SKIPIF 1 < 0 是一个向量，它的模为 SKIPIF 1 < 0 ．已知在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
由余弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式得，
SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、多选题
9．（2022·山东淄博·高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，如下判断正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
选项A. 在 SKIPIF 1 < 0 中, 若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰或直角三角形. 故A 不正确.
选项B. 在 SKIPIF 1 < 0 中, 若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.
选项C. 若 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,故C正确.
选项D. 在 SKIPIF 1 < 0 中,若 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BCD
10．（2022·全国·高一单元测试）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形
【答案】ACD
对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
故C正确；
对于D， 由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的角平分线与 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形
又 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，故D正确；
故选：ACD
11．（2022·山东菏泽·高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．△DBC的面积为3
C． SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形
【答案】ABD
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 为最大边，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
所以 SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 最小值为___________.
【答案】9
由题意画图如下：
因为AD为 SKIPIF 1 < 0 的角平分线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以
SKIPIF 1 < 0 化简得
SKIPIF 1 < 0 利用基本不等式“1的代换”得 SKIPIF 1 < 0
故答案为：9.
13．（2022·全国·高三专题练习）一艘渔船航行到A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为 SKIPIF 1 < 0 海里，灯塔C在A的北偏西45°，距离为 SKIPIF 1 < 0 海里，该船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东45°方向，则 SKIPIF 1 < 0 ______海里.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
如图，在△ABD中，因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为 SKIPIF 1 < 0 海里，
货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔 B在南偏东45°方向上，
所以B＝180°−75°−45°＝60°
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 海里；
在△ACD中，AD＝ SKIPIF 1 < 0 ，AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，∠CAD＝45°，
由余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以CD＝ SKIPIF 1 < 0 海里；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
14．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
(2)由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，设 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，S有最大值 SKIPIF 1 < 0
15．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在锐角 SKIPIF 1 < 0 中内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)在（1）的条件下， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)由题 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，代入数据得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
16．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的2倍.求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
(1)解： SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形， SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
(2)解：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 .
由题意得 SKIPIF 1 < 0 .
由余弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时“ SKIPIF 1 < 0 ”成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .