新高考数学一轮复习第7章 第05讲 空间向量及其应用 (讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：空间向量的线性运算
题型二：共线、共面向量定理的应用
题型三：空间向量的数量积及其应用
角度1：求空间向量的数量积
角度2：利用数量积求长度
角度3：利用数量积求夹角
角度4：利用向量解决平行和垂直问题
角度5：向量的投影和投影向量
题型四：利用空间向量证明平行与垂直
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：空间向量的有关概念
1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
2、几类特殊的空间向量
知识点二：空间向量的有关定理
1、共线向量定理：
对空间任意两个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的充要条件是存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）共线向量定理推论：如果 SKIPIF 1 < 0 为经过点 SKIPIF 1 < 0 平行于已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 的直线,那么对于空间任一点 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的充要条件是存在实数 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 ①，若在 SKIPIF 1 < 0 上取 SKIPIF 1 < 0 ，则①可以化作： SKIPIF 1 < 0
（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点 SKIPIF 1 < 0 ，空间中三点 SKIPIF 1 < 0 共线的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
2、共面向量定理
如果两个向量 SKIPIF 1 < 0 不共线，那么向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
（1）空间共面向量的表示
如图空间一点 SKIPIF 1 < 0 位于平面 SKIPIF 1 < 0 内的充要条件是存在有序实数对 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．
或者等价于：对空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，空间一点 SKIPIF 1 < 0 位于平面 SKIPIF 1 < 0 内（ SKIPIF 1 < 0 四点共面）的充要条件是存在有序实数对 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，该式称为空间平面 SKIPIF 1 < 0 的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
（2）拓展
对于空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 ，四点 SKIPIF 1 < 0 共面（其中 SKIPIF 1 < 0 不共线）的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）．
3、空间向量基本定理
如果向量三个向量 SKIPIF 1 < 0 不共面，那么对空间任意向量 SKIPIF 1 < 0 存在有序实数组 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0
知识点三：空间向量的数量积
1、空间两个向量的夹角
（1）定义：如图已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，在空间任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则么 SKIPIF 1 < 0 叫做向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角，记 SKIPIF 1 < 0 .（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
（2）范围： SKIPIF 1 < 0 ．
特别地，（1）如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么向量 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，记作 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ) SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定 SKIPIF 1 < 0 与任何向量 SKIPIF 1 < 0 都是共线的，即 SKIPIF 1 < 0 ．两非零向量的夹角是唯一确定的．
（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量 SKIPIF 1 < 0 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)向量夹角的范围是0<< SKIPIF 1 < 0 >< SKIPIF 1 < 0 ，异面直线的夹角 SKIPIF 1 < 0 的范围是0< SKIPIF 1 < 0 < SKIPIF 1 < 0 ，
(2)当两向量的夹角为锐角时， SKIPIF 1 < 0 ；当两向量的夹角为 SKIPIF 1 < 0 时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时， SKIPIF 1 < 0 .
2、空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的数量积，记作 SKIPIF 1 < 0 ；即 SKIPIF 1 < 0 ．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
3、向量 SKIPIF 1 < 0 的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量 SKIPIF 1 < 0 向向量 SKIPIF 1 < 0 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 SKIPIF 1 < 0 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 SKIPIF 1 < 0 共线的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 向量 SKIPIF 1 < 0 称为向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量．类似地，可以将向量 SKIPIF 1 < 0 向直线 SKIPIF 1 < 0 投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量 SKIPIF 1 < 0 向平面 SKIPIF 1 < 0 投影，就是分别由向量 SKIPIF 1 < 0 的起点 SKIPIF 1 < 0 和终点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 称为向量 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量．这时，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角就是向量 SKIPIF 1 < 0 所在直线与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角．
4、空间向量数量积的几何意义：向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的数量积等于 SKIPIF 1 < 0 的长度 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 的乘积或等于 SKIPIF 1 < 0 的长度 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 的乘积.
5、数量积的运算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 (交换律)．
（3） SKIPIF 1 < 0 (分配律).
知识点四：空间向量的坐标表示及其应用
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
知识点五：直线的方向向量和平面的法向量
1、直线的方向向量
如图①, SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量,在直线 SKIPIF 1 < 0 上取 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点,则点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的充要条件是存在实数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
2、平面法向量的概念
如图，若直线 SKIPIF 1 < 0 ，取直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，我们称 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量；过点 SKIPIF 1 < 0 且以 SKIPIF 1 < 0 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 SKIPIF 1 < 0 ．
3、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0
选向量：选取两不共线向量 SKIPIF 1 < 0
列方程组：由 SKIPIF 1 < 0 列出方程组
解方程组：解方程组 SKIPIF 1 < 0
赋非零值：取其中一个为非零值（常取 SKIPIF 1 < 0 )
得结论：得到平面的一个法向量.
知识点六：空间位置关系的向量表示
1、空间中直线、平面的平行
设直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的方向向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则
2、空间中直线、平面的垂直
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二课时练习）若平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一个法向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交但不垂直 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合
2．（2022·全国·高二课时练习）设平面 SKIPIF 1 < 0 法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则k等于( )
A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C．4 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高二单元测试）若直线l的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l与平面 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是__________________．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是直线 SKIPIF 1 < 0 的一个方向向量．若 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高二课时练习）若 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：空间向量的线性运算
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，给出下列各式：
① SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
② SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
③ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
④ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
其中运算结果为向量 SKIPIF 1 < 0 的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））如图，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型归类练
1．（2022·全国·高二期末）如图所示，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 可表示为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
3．（2022·全国·高二开学考试）如图，在三棱锥P—ABC中， M是侧棱PC的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则x＋y＋z的值为______．
题型二：共线、共面向量定理的应用
典型例题
例题1．（2022·天津·南开中学高一期末）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·山西太原·高一期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在BC上，且 SKIPIF 1 < 0 ，过D的直线分别交直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为空间任意两点，如果有 SKIPIF 1 < 0 ，那么点 SKIPIF 1 < 0 必在平面_________内.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）对于空间任意一点 SKIPIF 1 < 0 和不共线的三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有如下关系： SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．四点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必共面
B．四点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必共面
C．四点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必共面
D．五点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 必共面
题型归类练
1．（2022·全国·高二）已知空间 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面，且其中任意三点均不共线，设 SKIPIF 1 < 0 为空间中任意一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江苏·高二课时练习）A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若 SKIPIF 1 < 0 ，则P，A，B，C四点（ ）
A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断是否共面
3．（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈ABB．P∉AB
C．点P可能在直线AB上D．以上都不对
4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期中）在△ABC中，点M是 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，P为 SKIPIF 1 < 0 上一点，向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．16B．12C．8D．4
题型三：空间向量的数量积及其应用
角度1：求空间向量的数量积
典型例题
例题1．（2022·全国·高二）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
例题2．（2022·上海长宁·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
例题3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
例题4．（2022·福建·莆田第二十五中学高二期中）如图，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．12B．8C．6D．4
题型归类练
1．（2022·广东·高三阶段练习）已知正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 两两垂直， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高二单元测试）已知 SKIPIF 1 < 0 是长方体外接球的一条直径，点 SKIPIF 1 < 0 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面 SKIPIF 1 < 0 内有两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．3C．2D．1
5．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．-5
6．（2022·吉林·长春市第二十九中学高二阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =________.
角度2：利用数量积求长度
典型例题
例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是底面 SKIPIF 1 < 0 内的动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为3， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
例题4．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（ ）．
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·河南平顶山·高二期末（理））在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C． SKIPIF 1 < 0 D．3
3．（2022·江苏连云港·高二期中）已知空间中非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B．97C． SKIPIF 1 < 0 D．61
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．9D．3
5．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））在空间直角坐标系中，已知点A SKIPIF 1 < 0 ，若点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
6．（2022·浙江·玉环市玉城中学高二期中）若 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 __________________
4．（2022·全国·高二）设空间向量 SKIPIF 1 < 0 是一组单位正交基底，若空间向量 SKIPIF 1 < 0 满足对任意的 SKIPIF 1 < 0 的最小值是2，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
角度3：利用数量积求夹角
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为______________.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ______．
例题3．（2022·江苏宿迁·高二期中）若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型归类练
1．（2022·全国·高二）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．17或 SKIPIF 1 < 0
5．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
角度4：利用向量解决平行和垂直问题
典型例题
例题1．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．0
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值是________.若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值是________.
题型归类练
1．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则m的值为（ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－2B．2C．1D．－1
4．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，则k的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高二课时练习）如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点在同一直线上，那么 SKIPIF 1 < 0 __________， SKIPIF 1 < 0 __________．
角度5：向量的投影和投影向量
典型例题
例题1．（2022·全国·高二）已知空间三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的模是______.
例题2．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型归类练
1．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·广东惠州·高二期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高一）已知 SKIPIF 1 < 0 为标准正交基底， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为（ ）
A．1B．－1
C． SKIPIF 1 < 0 D．－ SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的方向上的数量投影为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型四：利用空间向量证明平行与垂直
典型例题
例题1．（2022·福建莆田·高二期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
例题2．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图在边长是2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
例题3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）在如图所示的五面体 SKIPIF 1 < 0 中，面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
例题4．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
题型归类练
1．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））如图， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面CDE；
2．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中侧棱与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC1，BC，AB， SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证：PN∥面ACC1A1；
3．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）如图，已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别为AC和 SKIPIF 1 < 0 的中点，D为棱 SKIPIF 1 < 0 上的一点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
4．（2022·江西赣州·高二期中（理））如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，且 SKIPIF 1 < 0 ，E为BC的中点.
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面PBD.
5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
2．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
3．（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，D为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点． SKIPIF 1 < 0
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为 SKIPIF 1 < 0
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量 SKIPIF 1 < 0 长度相等而方向相反的向量，称为 SKIPIF 1 < 0 的相反向量，记为 SKIPIF 1 < 0
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
数量积
SKIPIF 1 < 0
共线（平行）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
垂直
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均非零向量）
模
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
夹角
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
线线平行
SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )
线面平行
SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0
面面平行
SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0
线线垂直
SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0
线面垂直
SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0
面面垂直
SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ⇔ SKIPIF 1 < 0