新高考数学一轮复习第8章 第06讲 双曲线 (精讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：双曲线的定义及其应用
题型二：双曲线的标准方程
题型三：双曲线的简单几何性质
角度1：渐近线
角度2：离心率
题型四：与双曲线有关的最值和范围问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 SKIPIF 1 < 0 )的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: SKIPIF 1 < 0 .
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是靠近定点 SKIPIF 1 < 0 的那一支;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是靠近定点 SKIPIF 1 < 0 的那一支.
知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质
知识点三：等轴双曲线
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）当 SKIPIF 1 < 0 时称双曲线为等轴双曲线
① SKIPIF 1 < 0 ； ②离心率 SKIPIF 1 < 0 ； ③两渐近线互相垂直，分别为 SKIPIF 1 < 0 ；
④等轴双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
知识点四：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 渐近线方程： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
2、若双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 渐近线方程： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
3、若渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线方程可设为 SKIPIF 1 < 0 ，
4、若双曲线与 SKIPIF 1 < 0 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ​， 则该双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ​B． SKIPIF 1 < 0 ​
C． SKIPIF 1 < 0 ​D． SKIPIF 1 < 0 ​
3．（多选）（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）若方程 SKIPIF 1 < 0 所表示的曲线为 SKIPIF 1 < 0 ，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 为椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 为双曲线，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C．曲线 SKIPIF 1 < 0 可能是圆D．若 SKIPIF 1 < 0 为椭圆，且长轴在 SKIPIF 1 < 0 轴上，则 SKIPIF 1 < 0
4．（2022·贵州遵义·高二期末（理））过点 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线： SKIPIF 1 < 0 的渐近线垂直的直线方程为__________．
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距等于虚轴长的3倍，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：双曲线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其一条渐近线倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，若点P在双曲线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
例题2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个公共点，且 SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·全国·高二专题练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的弦AB与其右支交于 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题4．（2022·江苏·高二）已知 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
同类题型归类练
1．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，动点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的周长最小时， SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．12
3．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
4．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .双曲线 SKIPIF 1 < 0 上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
题型二：双曲线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，焦距为10，离心率是 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)一个顶点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，一个焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为12；
(4)渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上；
(2)焦点为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的焦点与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点相同，且经过椭圆的右焦点，求该双曲线的方程.
2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；
(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
题型三：双曲线的简单几何性质
角度1：渐近线
典型例题
例题1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为2，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则其渐近线方程为______.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线E的两条渐近线的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
2．（2022·北京·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的夹角为______．
角度2：离心率
典型例题
例题1．（2022·江苏南通·高二期中）若 SKIPIF 1 < 0 是1和4的等比中项，则曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·山东泰安·三模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线虚轴的上端点， SKIPIF 1 < 0 为双曲线的左顶点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），以 SKIPIF 1 < 0 的焦点为圆心，3为半径的圆与 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相交，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是________________．
同类题型归类练
1．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·河南商丘·三模（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的实轴长大于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 轴和双曲线右支于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·四川雅安·三模（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围是__________.
题型四：与双曲线有关的最值和范围问题
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测（文））已知点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·全国·高二专题练习）直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 没有交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_____.
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率的取值范围是______．
同类题型归类练
1．（2022·安徽滁州·高二期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的渐近线，过双曲线 SKIPIF 1 < 0 右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 是以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上的动点，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线左支于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
3．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知F是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的右焦点，A为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的下顶点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）与椭圆 SKIPIF 1 < 0 共焦点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线平行， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
4．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·天津·高考真题） SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线 SKIPIF 1 < 0 过双曲线的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，准线与渐近线交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（多选）（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 SKIPIF 1 < 0 作D的切线与C交于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
4．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，过F且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线于点 SKIPIF 1 < 0 ，交双曲线的渐近线于点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率是_________．
5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
6．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为e，写出满足条件“直线 SKIPIF 1 < 0 与C无公共点”的e的一个值______________．标准方程
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
图形
性质
范围
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
渐近线
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
离心率
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 间的关系
SKIPIF 1 < 0