2021-2022学年河南省驻马店市确山县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年河南省驻马店市确山县八年级下学期期中数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各式：，，，中，一定是二次根式的个数是（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≤2C．x≥﹣2D．x≥2
3．（3分）下列各组数中，能为直角三角形的三条边长的是（ ）
A．2，3，4B．5，6，8C．1，，2D．2，2，
4．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠A＝∠D+40°，则∠B的度数为（ ）
A．110°B．70°C．55°D．35°
5．（3分）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A．+1B．﹣1C．2D．1﹣
6．（3分）如图，在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有（ ）
A．8个B．9个C．7个D．5个
7．（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为（ ）
A．20cmB．30cmC．40cmD．20cm
8．（3分）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
9．（3分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在AABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝5，AF＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．15B．20C．30D．40
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若是整数，则满足条件的自然数n的值可以是 （写出一个即可）．
12．（3分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，D点的纵坐标为6，BC＝16，CD＝10，顶点A在y轴上，边BC在x轴上，设点P是边BC上（不与点B、C重合）的一个动点，则当△ABP为等腰三角形时点P的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）4+﹣4÷；
（2）（+1）2﹣（+1）（﹣1）．
17．（9分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
18．（9分）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
19．（9分）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（AE＝5米）靠在宣传牌（AB）A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（AB）的B处，而底端E向外移到了1米到C处（CE＝1米）．测量得BM＝4米．求宣传牌（AB）的高度（结果用根号表示）．
20．（9分）已知a，b，m都是实数，若a+b＝2，则称a与b是关于l的“平衡数”．
（1）4与 是关于l的“平衡数”，3﹣与 是关于l的“平衡数”；
（2）若（m+）（1﹣）＝﹣2，判断m+与2﹣是否是关于l的“平衡数”，并说明理由．
21．（9分）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ACB≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AC上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝a、CA＝b，斜边长为AB＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
（1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 千米．
22．（10分）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
23．（10分）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）下列各式：，，，中，一定是二次根式的个数是（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【考点】二次根式的定义．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：，，，中，一定是二次根式的是：，，共3个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≤2C．x≥﹣2D．x≥2
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
3．（3分）下列各组数中，能为直角三角形的三条边长的是（ ）
A．2，3，4B．5，6，8C．1，，2D．2，2，
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、52+62≠82，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、12+（）2＝22，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、22+22≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠A＝∠D+40°，则∠B的度数为（ ）
A．110°B．70°C．55°D．35°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，∠A+∠D＝180°，即可求∠B的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠D+40°，
∴∠D＝70°，
∴∠B＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
5．（3分）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A．+1B．﹣1C．2D．1﹣
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．
【解答】解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；
B．（+1）＝2，故本选项不合题意；
C．（+1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形共有（ ）
A．8个B．9个C．7个D．5个
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
【解答】解：设EF与NH交于点O，
∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边BEON、DFOH、DHNC、BEFC、BAHN、AEOH、AEFD、ONCF都是平行四边形，共8个．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
7．（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为（ ）
A．20cmB．30cmC．40cmD．20cm
【考点】菱形的性质．
【分析】在图1，图2中，连接AC．在图2中，由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：如图1，2中，连接AC．
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AC＝40cm，
∴AB＝BC＝AC＝40cm，
在图①中，∵∠B＝60°，BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝40cm，
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）米．
A．4B．4.5C．5D．5.5
【考点】勾股定理的应用．
【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．
【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，
∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COG＝∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG＝AF＝BD＝4米，
设AO＝x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝8.5．
则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．
故选：B．
【点评】考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
9．（3分）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在AABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝5，AF＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．15B．20C．30D．40
【考点】矩形的判定；数学常识；三角形的面积；三角形中位线定理．
【分析】根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．
【解答】解：由题意，BG＝CH＝AF＝4，DG＝DF，EF＝EH，
∴DG+EH＝DE＝5，
∴BC＝GH＝5+5＝10，
∴△ABC的边BC上的高为8，
∴S△ABC＝×10×8＝40，
故选：D．
【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝6，BC＝10，则GH的长度为（ ）
A．B．C．D．2
【考点】矩形的性质．
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到PD＝CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝6，BC＝10，
∴AE＝AB＝×6＝3，CF＝BC＝10＝5，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝5，CH＝PH，
∴AP＝AD﹣PD＝5，
∴PE＝＝＝，
∵点G是EC的中点，
∴GH＝EP＝
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若是整数，则满足条件的自然数n的值可以是 11（答案不唯一） （写出一个即可）．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先确定n的取值范围，再根据代数式是整式写一个满足题意的n即可．
【解答】解：∵12﹣n≥0，
∴n≤12，
∵是整数，
∴当12﹣n＝1时，n＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（3分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为 b ．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．
【解答】解：∵|a|＞|b|，∴＝﹣a+（a+b）＝b．
故答案为：b．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握相关性质是解题关键．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 1+ ．
【考点】作图—基本作图；特殊角的三角函数值；角平分线的性质；等腰直角三角形．
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD＝DH＝1，进而求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD＝DH＝1，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B＝45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BD＝HD＝，
则BC＝CD+BD＝1+，
故答案为：1+．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为 36cm ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．
【解答】解：根据折叠的性质，得
A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF．
则阴影部分的周长＝矩形的周长＝2（12+6）＝36（cm）．
【点评】此题要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．
15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，D点的纵坐标为6，BC＝16，CD＝10，顶点A在y轴上，边BC在x轴上，设点P是边BC上（不与点B、C重合）的一个动点，则当△ABP为等腰三角形时点P的坐标是 （﹣，0）或（8，0）或（2，0） ．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
【分析】当AB＝BP时根据等腰三角形的性质、勾股定理解答．
【解答】解：∵D点的纵坐标为6，CD＝10，
∴OB＝＝8，
如图，当AP＝BP时，BP＝AP＝OB﹣OP＝8﹣OP，
由勾股定理得，OP2+OA2＝AP2，即（8﹣OP）2＝62+OP2，
解得，OP＝，
则点P的坐标为（﹣，0），
当AB＝AP＝10时，此时BO＝PO，
此时P点的坐标为（8，0）；
当AB＝BP＝10时，此时点P的坐标为（2，0）、（﹣18，0）（此时点P不在BC上，舍去），
当△ABP为等腰三角形时点P的坐标为（﹣，0）或（8，0）或（2，0）．
故答案为：（﹣，0）或（8，0）或（2，0）．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、勾股定理的应用，掌握平行四边形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）4+﹣4÷；
（2）（+1）2﹣（+1）（﹣1）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【分析】（1）先化简，再算除法，最后算加减即可；
（2）利用平方差公式及完全平方公式进行运算，最后算加减即可．
【解答】解：（1）4+﹣4÷
＝+3﹣4
＝4﹣2
＝7﹣2；
（2）（+1）2﹣（+1）（﹣1）
＝2+2+1﹣（3﹣1）
＝2+2+1﹣2
＝2+1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（9分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【考点】作图—应用与设计作图；无理数；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）构造边长3，4，5的直角三角形即可．
（2）构造直角边为2，斜边为4的直角三角形即可（答案不唯一）．
（3）构造三边分别为2，，的直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，△ABC即为所求．
（3）△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，无理数，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（9分）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 AE＝CF ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
【考点】平行四边形的判定．
【分析】（1）由题意添加条件即可；
（2）证AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出结论．
【解答】解：（1）添加条件为：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
19．（9分）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（AE＝5米）靠在宣传牌（AB）A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（AB）的B处，而底端E向外移到了1米到C处（CE＝1米）．测量得BM＝4米．求宣传牌（AB）的高度（结果用根号表示）．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】直接利用勾股定理得出EM，AM的长，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：AE＝BC＝5米，BM＝4米，EC＝1米，
在Rt△MBC中，MC＝＝3（米），
则EM＝3﹣1＝2（米），
在Rt△AEM中，AM＝＝（米），
故AB＝AM﹣BM＝（﹣4）米，
答：宣传牌（AB）的高度为（﹣4）米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
20．（9分）已知a，b，m都是实数，若a+b＝2，则称a与b是关于l的“平衡数”．
（1）4与 ﹣2 是关于l的“平衡数”，3﹣与 ﹣1+ 是关于l的“平衡数”；
（2）若（m+）（1﹣）＝﹣2，判断m+与2﹣是否是关于l的“平衡数”，并说明理由．
【考点】实数的运算．
【分析】（1）利用“平衡数”的定义判断即可；
（2）利用“平衡数”的定义判断即可．
【解答】解：（1）4与﹣2是关于l的“平衡数”，3﹣与﹣1+是关于l的“平衡数”；
故答案为：﹣2；﹣1+；
（2）（m+）（1﹣）＝﹣2，
整理得：（1﹣）m＝1﹣，
解得：m＝1，
则1++2﹣＝3≠2，不是关于1的“平衡数”．
【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
21．（9分）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ACB≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AC上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝a、CA＝b，斜边长为AB＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
（1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 41 千米．
【考点】梯形；数学常识；勾股定理的证明．
【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
（2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC＝AE，CE＝AB，从而得到DE＝AD﹣AE＝24﹣16＝8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
【解答】解：（1）∵S梯形ABCD＝a（a+b），S△EBC＝b（a﹣b），S四边形AECD＝c2，
它们满足的关系式为：a（a+b）＝b（a﹣b）+c2，
即a2+b2＝c2；
（2）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC＝AE，CE＝AB，
∴DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米，
∴CD＝＝＝41（千米），
∴两个村庄相距41千米．
故答案为：41．
【点评】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
22．（10分）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）结论：PB＝PQ，如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．
（2）结论不变，证明方法类似．
【解答】解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC与点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据全等推出OE＝OF，得出平行四边形AFCE，根据菱形判定推出即可，根据菱形性质得出AF＝CF，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
∴AF＝FC，
设AF＝xcm，
则CF＝xcm，BF＝（8﹣x）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，即AF＝5cm；
（2）显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC＝5t，QA＝12﹣4t，
∴5t＝12﹣4t，
解得t＝．
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝秒．
【点评】本题考查的是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质．、