2021-2022学年河南省驻马店市汝南县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年河南省驻马店市汝南县八年级下学期期中数学试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．＝﹣2C．＝±2D．＝±2
3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．5﹣2＝21B．2+＝2C．×＝3D．÷＝3
4．（3分）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想B．分类思想
C．数形结合思想D．函数思想
5．（3分）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a＝6，b＝8，c＝10
C．∠A＝∠B+∠CD．a2＝b2﹣c2
6．（3分）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝ADB．OE＝ABC．∠DOE＝∠DEOD．∠EOD＝∠EDO
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
9．（3分）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24B．10C．D．
10．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）使有意义的x的取值范围是 ．
12．（4分）计算的结果是 ．
13．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 ．
14．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为 ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 ．
三、解答题（共8小题，满分70分）
16．（6分）计算：．
17．（8分）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：AC＝30km，BC＝40km，AB＝50km，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域．
（1）请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因；
（2）若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
18．（8分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
19．（8分）我们将（+），（﹣）称为一对“对偶式“．因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉．例如：＝＝＝＝2+．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
（1）分母有理化的值为 ．
（2）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x．求x+的值．
20．（8分）如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF．
求证：（1）△ADE≌△BCF；
（2）四边形DECF是平行四边形．
21．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
22．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝ °时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝ °时，四边形ABDF为菱形．
23．（12分）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】最简二次根式．
【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，分母中不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A.，不是最简二次根式；
B.，不是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，是最简二次根式．
故选：D．
【点评】此题考查的是最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．＝﹣2C．＝±2D．＝±2
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】利用二次根式的性质可知答案．
【解答】解：A.，符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质，关键是熟记性质进行计算．
3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．5﹣2＝21B．2+＝2C．×＝3D．÷＝3
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．5﹣2＝3，此选项计算错误；
B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C．×＝××＝3，此选项计算正确；
D．÷＝＝，此选项计算错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则．
4．（3分）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想B．分类思想
C．数形结合思想D．函数思想
【考点】勾股定理的证明．
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
5．（3分）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a＝6，b＝8，c＝10
C．∠A＝∠B+∠CD．a2＝b2﹣c2
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
6．（3分）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）
【考点】勾股定理；坐标与图形性质．
【分析】根据已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．
【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．
在Rt△ABO中，＝6．
∴B（0，6）．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝ADB．OE＝ABC．∠DOE＝∠DEOD．∠EOD＝∠EDO
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE＝DE＝CE＝CD＝AB，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD，故选项A不合题意，
∵点E是CD的中点，
∴OE＝DE＝CE＝CD＝AB，故选项B不合题意；
∴∠EOD＝∠EDO，故选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【考点】矩形的判定；正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定．
【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形、特殊平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24B．10C．D．
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形面积＝对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
【解答】解：如图，对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴BC＝＝＝5，
∵菱形ABCD的面积＝×6×8＝24，
∴AH＝，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
10．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是（ ）
A．B．C．D．
【考点】正方形的性质；勾股定理．
【分析】由于BF⊥EF，所以过F作AB的垂线交AB于N，交CD于M，证明△MFE≌△NBF，设ME＝x，利用MN＝4列出方程，即可求解．
【解答】解：过F作AB的垂线交AB于N，交CD于M，如图，
∵ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BNM＝90°，AB＝BC＝CD＝4，
∴四边形CMNB为矩形，
∴MN＝BC＝4，CM＝BN，
∵BF⊥EF，
∴∠EFB＝∠FNB＝90°，
∴∠FBN+∠NFB＝∠NFB+∠EFM，
∴∠FBN＝∠EFM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠MFC＝∠MCF＝45°，
∴MF＝MC＝NB，
在△MEF与△NFB中，
，
∴△MFE≌△NBF（ASA），
∴ME＝FN，
设ME＝FN＝x，则MC＝MF＝BN＝1+x，
∵MN＝MF+FN＝4，
∴1+x+x＝4，
∴x＝，
∴FN＝，
∵四边形ABCD为正方形，MN⊥AB，
∴∠NAF＝∠NFA＝45°，
∴FN＝AN，
∴AF＝＝FN＝，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用BF⊥EF，构造一线三直角的全等模型，是解决此题的突破口．
二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
11．（4分）使有意义的x的取值范围是 x＞0 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围．
【解答】解：使有意义，则≥0且x≠0，
解得：x＞0．
故答案为：x＞0．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
12．（4分）计算的结果是 ．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先化简，再进行减法运算即可．
【解答】解：＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的减法，解答的关键是对二次根式的减法的法则的掌握．
13．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 100 ．
【考点】勾股定理．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+64＝100．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
【点评】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．
14．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为 AB∥DC（答案不唯一） ．
【考点】平行四边形的判定．
【分析】由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】解：添加条件为：AB∥DC，理由如下：
∵AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故答案为：AB∥DC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 ．
【考点】矩形的性质；作图—基本作图．
【分析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．
【解答】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，
∴EG2﹣DE2＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，
解得CG＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，作图﹣基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
三、解答题（共8小题，满分70分）
16．（6分）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】先利用乘法分配律展开，再化简二次根式，最后计算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣+
＝2﹣+
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
17．（8分）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：AC＝30km，BC＝40km，AB＝50km，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域．
（1）请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因；
（2）若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
【考点】勾股定理的应用；频数与频率．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出城镇C是否会受到沙尘暴影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出沙尘暴影响该城镇持续的时间．
【解答】解：（1）城镇C会受到沙尘暴影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝30km，BC＝40km，AB＝50km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AC×BC＝CD×AB，
则AC×BC＝CD×AB，
∴30×40＝50×CD，
∴CD＝＝24（km），
∵以台风中心为圆心周围25km以内为受影响区域，
∴城镇C会受到沙尘暴影响；
（2）当EC＝25km，FC＝25km时，正好影响C城镇，
∵ED＝＝7（km），
∴EF＝14km，
∵沙尘暴中心的移动速度为20km/h，
∴14÷20＝0.7（小时），
答：沙尘暴影响该城镇持续的时间为0.7小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
18．（8分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣1）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣1）2．
【解答】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
19．（8分）我们将（+），（﹣）称为一对“对偶式“．因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉．例如：＝＝＝＝2+．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．
（1）分母有理化的值为 3+2 ．
（2）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x．求x+的值．
【考点】二次根式的混合运算；实数与数轴；平方差公式；分母有理化．
【分析】（1）先根据材料分子分母同时乘以+1，然后得到结果；
（2）先根据点C是点B关于点A的对称点求得x的值，然后再代入计算得到结果．
【解答】解：（1）＝＝＝3+2，
故答案为：3+2．
（2）∵点B关于点A的对称点为C，
∴x＝2﹣，
∴x+＝2﹣+＝2﹣+＝2﹣+＝2﹣+2+＝4．
【点评】本题考查了二次根式的化简、数轴上点的特征，解题的关键是会进行二次根式的分母有理化计算．
20．（8分）如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF．
求证：（1）△ADE≌△BCF；
（2）四边形DECF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由SAS证明△ADE≌△BCF即可；
（2）由全等三角形的性质得DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，则∠EDC＝∠FCD，再证DE∥CF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AC＝BD，
∴AC﹣CD＝BD﹣CD，
即AD＝BC，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠B，
在△ADE与△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）；
（2）由（1）得：△ADE≌△BCF，
∴DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴DE∥CF，
∴四边形DECF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明△ADE≌△BCF是解题的关键．
21．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AD＝3，求OE的长．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】（1）先证四边形DECO是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，得∠DOC＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得CD＝AD＝3，再由矩形的性质得OE＝CD＝3即可．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
由（1）得：四边形DECO是矩形，
∴OE＝CD＝3．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形DECO为矩形是解题的关键．
22．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝ 45 °时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝ 30 °时，四边形ABDF为菱形．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的判定．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）①根据菱形的判定定理得到四边形ADCF是菱形，求得∠DCF＝90°，于是得到结论；
②根据平行四边形的性质得到CD＝CF，推出△DCF是等边三角形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∵AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①∵AF∥CD，AF＝CD，AD＝AF，
∴四边形ADCF是菱形，
当四边形ADCF为正方形时，∠DCF＝90°，
∴∠ACB＝∠ACF＝45°；
②∴CD＝CF，
当四边形ABDF为菱形时，BD＝DF，则DC＝DF，
∴CD＝CF＝DF，
∴△DCF为等边三角形，
∴∠DCF＝60°，
∴∠ACB＝∠ACF＝30°．
故答案为：45，30．
【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的性质和判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
23．（12分）问题：如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2．
探究：（1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
（2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】（1）①证∠DEA＝∠DAE，得DE＝AD＝5，同理BC＝CF＝5，即可求解；
②由题意得DE＝AD＝5，再由CF＝BC＝5，即可求解；
（2）分三种情况，由（1）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
【解答】解：（1）①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD＝5，
同理：BC＝CF＝5，
∵点E与点F重合，
∴AB＝CD＝DE+CF＝10；
②如图2所示：
∵点E与点C重合，
∴DE＝AD＝5，
∵CF＝BC＝5，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝5；
（2）分三种情况：
①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝；
②如图4所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴＝；
③如图5所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴＝2；
综上所述，的值为或或2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．