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所属成套资源：2024年八年级数学上册讲义（北师大版）
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初中数学北师大版（2024）八年级上册第二章 实数7 二次根式优秀同步测试题
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这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册第二章 实数7 二次根式优秀同步测试题，文件包含第2章第07讲解题技巧专题二次根式中的化简求值6类热点题型讲练原卷版docx、第2章第07讲解题技巧专题二次根式中的化简求值6类热点题型讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12824" 【类型一 利用二次根式的非负性求值】 PAGEREF _Tc12824 \h 1
\l "_Tc16560" 【类型二 利用乘法公式进行计算】 PAGEREF _Tc16560 \h 4
\l "_Tc866" 【类型三 整体代入求值】 PAGEREF _Tc866 \h 6
\l "_Tc27851" 【类型四 新定义型运算】 PAGEREF _Tc27851 \h 9
\l "_Tc25918" 【类型五 二次根式的分母有理化】 PAGEREF _Tc25918 \h 12
\l "_Tc16971" 【类型六 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc16971 \h 18
【类型一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）若直角三角形两直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．
【变式训练】
1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知则的值是 ．
2．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知，则的算术平方根是 ．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如果实数、满足，则的平方根为 ．
4．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知直角三角形两边的长满足，则第三边的长 ．
5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）已知实数a，b满足关系式．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
6．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状．
【类型二 利用乘法公式进行计算】
例题：（2023春·宁夏吴忠·八年级统考期末）计算：．
【变式训练】
1．（2023春·青海果洛·八年级统考期末）计算：．
2．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）计算：．
3．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）计算：
4．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
5．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【类型三 整体代入求值】
例题：（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知，求 ．
【变式训练】
1．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如果，，那么 ．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，那么的值等于 ．
3．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知，求代数式的值．
4．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）已知：，求的值．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)
【类型四 新定义型运算】
例题：（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：，则计算的结果为 ．
【变式训练】
1．（2023春·广西南宁·七年级校联考期中）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么 ．
2．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．
若，
（1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ；
（2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ．
3．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值．
4．（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求：
①________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算：．
【类型五 二次根式的分母有理化】
例题：（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，
解：原式．运用以上方法解决问题：
(1)将分母有理化；
(2)观察上面的解题过程，请直接写出结果： ______．
(3)计算的值．
【变式训练】
1．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：；
(2)计算：；
(3)比较与的大小，并说明理由．
2．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________．
(2)应用：化简．
(3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数）
3．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）在数学兴趣小组活动中，小诚和他的同学遇到一道题：
已知，求的值他是这样解答的：
，
．
，．
．
．
请你根据小诚的解题过程，解决如下问题：
(1)______ ；
(2)化简；
(3)若，求的值．
4．（2023春·河北邢台·八年级校考期中）【阅读材料】在二次根式中，如：，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：，．
【解决问题】
(1)化简的结果为______；
(2)已知，．
①化简______，______；
②求的值；
(3)计算：．
【类型六 复合二次根式的化简】
例题：（2023春·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
【变式训练】
1．（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
2．（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12824" 【类型一 利用二次根式的非负性求值】 PAGEREF _Tc12824 \h 1
\l "_Tc16560" 【类型二 利用乘法公式进行计算】 PAGEREF _Tc16560 \h 4
\l "_Tc866" 【类型三 整体代入求值】 PAGEREF _Tc866 \h 6
\l "_Tc27851" 【类型四 新定义型运算】 PAGEREF _Tc27851 \h 9
\l "_Tc25918" 【类型五 二次根式的分母有理化】 PAGEREF _Tc25918 \h 12
\l "_Tc16971" 【类型六 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc16971 \h 18
【类型一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2023春·河北唐山·八年级统考期中）若直角三角形两直角边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．
【变式训练】
1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）已知则的值是 ．
2．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知，则的算术平方根是 ．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如果实数、满足，则的平方根为 ．
4．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）已知直角三角形两边的长满足，则第三边的长 ．
5．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）已知实数a，b满足关系式．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
6．（2023春·江西南昌·七年级校考期末）已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状．
【类型二 利用乘法公式进行计算】
例题：（2023春·宁夏吴忠·八年级统考期末）计算：．
【变式训练】
1．（2023春·青海果洛·八年级统考期末）计算：．
2．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）计算：．
3．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）计算：
4．（2023春·黑龙江大庆·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
5．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【类型三 整体代入求值】
例题：（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知，求 ．
【变式训练】
1．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）如果，，那么 ．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知，那么的值等于 ．
3．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）已知，求代数式的值．
4．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）已知：，求的值．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)
【类型四 新定义型运算】
例题：（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）对于任意的正数m，n，定义一种新的运算“*”：，则计算的结果为 ．
【变式训练】
1．（2023春·广西南宁·七年级校联考期中）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，那么 ．
2．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．
若，
（1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ；
（2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ．
3．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值．
4．（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求：
①________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算：．
【类型五 二次根式的分母有理化】
例题：（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化，
解：原式．运用以上方法解决问题：
(1)将分母有理化；
(2)观察上面的解题过程，请直接写出结果： ______．
(3)计算的值．
【变式训练】
1．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：；
(2)计算：；
(3)比较与的大小，并说明理由．
2．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：①__________；②__________．
(2)应用：化简．
(3)拓展：__________．含的式子表示，为正整数）
3．（2023春·江西赣州·八年级统考期末）在数学兴趣小组活动中，小诚和他的同学遇到一道题：
已知，求的值他是这样解答的：
，
．
，．
．
．
请你根据小诚的解题过程，解决如下问题：
(1)______ ；
(2)化简；
(3)若，求的值．
4．（2023春·河北邢台·八年级校考期中）【阅读材料】在二次根式中，如：，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：，．
【解决问题】
(1)化简的结果为______；
(2)已知，．
①化简______，______；
②求的值；
(3)计算：．
【类型六 复合二次根式的化简】
例题：（2023春·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
【变式训练】
1．（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
2．（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
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