北师大版（2024）八年级上册7 二次根式精品第1课时巩固练习

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1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
3.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简.
知识点01 二次根式的相关概念
1.二次根式的定义：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点02 二次根式的性质
二次根式的性质： ① ， （双重非负性）

知识点03 二次根式的乘除法
二次根式的乘法法则及逆用：；
二次根式的除法法则及逆用：；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
题型01 二次根式有意义的条件
【典例1】（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】由在实数范围内有意义，列不等式，再解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键．
【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中）若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
【变式2】（2023春·江苏·八年级期末）使得有意义的x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
题型02 求二次根式的值
【典例1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）当时，二次根式的值是 ．
【答案】
【分析】直接把的值代入进而得出答案．
【详解】解：当时，二次根式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
【变式1】（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）当时，二次根式的值为 ．
【答案】1
【分析】直接将代入进行计算即可．
【详解】解：当时，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单．
【变式2】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）当时，二次根式的值为 ．
【答案】1
【分析】直接把代入中进行求解即可．
【详解】解：把代入中得：，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，求算术平方根，正确计算是解题的关键．
题型03 求二次根式中的参数
【典例1】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ．
【答案】3
【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案．
【详解】解：由二次根式的定义可得，
解得：，
是一个正整数，
或4或9，
解得：或8或3，
的最小正整数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键．
【变式1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）若为整数，则x的最小正整数值为 ．
【答案】2
【分析】对被开方数进行分解，得，要使为整，则最小要保证被开方式能开尽，得出答案．
【详解】解：
的最小正整数值是2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，其中对被开方数的分解是解决本题的关键．
【变式2】（2022秋·八年级单元测试）是整数，则正数的最小值是
【答案】/0.05
【分析】根据是整数，n为正数，得出的最小值为1，得出的最小值为，即可求出答案．
【详解】解：∵是整数，n为正数，
∴的最小值为1，
∴的最小值为，
∴正数的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
题型04 利用二次根式的性质化简
【典例1】（2023春·新疆塔城·八年级校考期末） ； ．
【答案】 5 3
【分析】根据二次根式的性质即可解答．
【详解】解：，．
故答案为：5，3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键．
【变式1】（2023春·江苏·八年级期末）计算： ； ．
【答案】 2 2
【分析】利用二次根式的乘法的法则及化简的法则进行求解即可．
【详解】解：；
．
故答案为：2，2．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式2】（2023春·河南信阳·八年级校考阶段练习）化简： ．
【答案】/
【分析】根据二次根式的性质即可化简．
【详解】解：由得：
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握相关化简法则是解题关键．
题型05 二次根式的乘法
【典例1】（2023春·山东东营·八年级统考期末）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简即可求解．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题的关键．
【变式1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）计算的结果是
【答案】/1.5
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考期中）计算 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练运用二次根式的乘法法则解题是本题的关键．
题型06 二次根式的除法
【典例1】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
【变式1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）计算： ．
【答案】/
【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的除法运算．分母有理化是解题的关键．
【变式2】（天津市河西区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
题型07 二次根式的乘除混合运算
【典例1】（2023春·吉林·八年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除法法则即可得．
【详解】原式
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题关键．
【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中）计算：．
【答案】
【分析】把除法化为乘法运算，再化简即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．
【变式2】（2023春·上海松江·七年级统考期末）计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除混合运算计算即可．
【详解】．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式3】（2023·全国·八年级假期作业）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键．
题型08 复合二次根式的化简
【典例1】（2022秋·八年级单元测试）观察下面的运算，完成计算：

(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）被开方数，据此即可开方；
（2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）
则原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键．
【变式1】（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴．
(1)直接写出答案：= ；= ．
(2)化简：．
(3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？
【答案】(1)；
(2)-
(3)a与的关系是： ，b与的关系是：．
【分析】（1）将3拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（2）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【详解】（1）解：；
．
故答案为：；．
（2）．
（3）
两边平方得：
∴a与的关系是： ，
b与的关系是：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)46或14
【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．
（2）变形已知等式，建立，，的方程组求解．
【详解】（1）解：①；
②；
故答案为：①；②；
（2）解：
，
，
，，均为正整数．
或，
或．
或14．
【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
一、单选题
1．（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）计算的结果为（ ）
A．1B．C．D．5
【答案】A
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）若有意义，则可以取（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
即可以取的值是0．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
3．（2023春·山东济宁·八年级统考阶段练习）下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则进行计算，判断即可．
【详解】A、，所以本项错误；
B、，所以本项正确；
C、，故错误；
D、，所以此项错误.
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解题的关键．
4．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）当时，二次根式的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
5．（2023·全国·八年级假期作业）已知是正整数，则自然数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质以及结果为整数可确定的值．
【详解】解：∵是正整数，是整数，
∴的最小值是．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
6．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得出，进而化简求出即可．
【详解】解：由数轴可得：
，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出的符号是解题关键．
二、填空题
7．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）计算：（1） ；（2） ．
【答案】
【分析】（1）二次根式的性质解答即可；
（2）根据二次根式的除法法则解答即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考考查了二次根式的性质，二次根式的除法法则，掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
8．（2022秋·八年级单元测试）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
9．（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）当时，二次根式的值是 ．
【答案】
【分析】将已知条件代入所求的代数式，然后开平方求值．
【详解】解：根据题意，得
当时，．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，掌握定义是解题的关键．
10．（2023春·山东威海·八年级统考期末）对于，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据被开方数非负及分母不为零的条件得到关于x的不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分母不为零的条件，解不等式等知识，掌握二次根式非负、分母不为零是解题的关键．
11．（2022秋·八年级单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
【答案】1，4，9，36
【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值．
【详解】解：∵是整数，
∴，且是完全平方数，
∴①，即；
②，即；
③，即；
④，即；
综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键．
12．（2023春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）若x，y满足条件：，化简代数式 ．
【答案】5
【分析】根据二次根式有意义的条件求得，，得到，再对原式化简即可求解．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，则，
∴，
∴
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
三、解答题
13．（2023春·上海·七年级统考期中）计算：
【答案】
【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．
14．（2023春·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）计算：．
【答案】
【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则．
15．（2022春·八年级课时练习）当x分别取下列值时，求二次根式的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)2；
【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可；
（2）把x的值代入，计算求值即可；
（3）把x的值代入，计算求值即可．
【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得：
＝；
（2）解：把x＝2，代入二次根式得：
＝＝＝3；
（3）解：把x＝﹣，代入二次根式得：
＝＝2；
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键．
16．（2022秋·八年级单元测试）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除运算法则及二次根式性质计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式．
17．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）（1）；
（2）；
（3）已知，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（3）直接把代入中，利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
（3）原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．（2020秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）已知在数轴上的对应点如图所示，化简：．

【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断式子的符号，进而根据二次根式的性质以及绝对值的意义化简，最后合并同类项即可求解．
【详解】解：根据点在数轴上的位置可得，且，
∴，
∴
【点睛】本题考查了数轴上的点判断式子的符号，二次根式的性质，绝对值的意义，整式的加减，数形结合是解题的关键．
19．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知实数x、y满足．
(1)求x与y的值；
(2)符号表示一种新的运算，规定，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据二次根式成立的条件，即可求得x、y的值；
（2）根据新的运算及x、y的值，进行运算，即可求解．
【详解】（1）解：实数x、y满足，
，
；
（2）解：根据新的运算，可得：
．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，利用二次根式的性质化简及运算，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．
20．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】（1）解：∵，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．