专题02 图形的初步（2）（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（2022下·四川成都·七年级成都市第十八中学校校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫平行线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．平面内两条直线的位置关系有相交、平行和垂直
D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．（2022·山东济南·统考一模）如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是（ ）
A．154°B．126°C．116°D．54°
3．（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考模拟预测）如图，已知AB∥CD，∠2＝100°，则下列正确的是( )
A．∠1＝100°B．∠3＝80°C．∠4＝80°D．∠4＝100°
4．（2023上·陕西西安·七年级西安建筑科技大学附属中学校考阶段练习）如图，∠AOB=90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论错误的是（ ）
A．∠COD=∠BOEB．∠COE=3∠BOD
C．∠AOC+∠BOD=90°D．∠BOE=∠AOC
5．（2022下·河北邢台·七年级校考期末）如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是（ ）
A．∵∠2=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM=∠CBM，∴AD∥BC（两直线平行，同位角相等）
6．（2023·福建厦门·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AD边上，BD平分∠EBC．下列角中，与∠BDE相等的是（ ）

A．∠ABEB．∠AEBC．∠EBDD．∠BDC
7．（2023·山东滨州·统考一模）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西30°方向上，在海岛B的北偏西60°方向上，则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里
8．（2022·河北石家庄·校考二模）如图，有A，B，C三地，B地在A地北偏西36°方向上，AB⊥BC，则B地在C地的（ ）
A．北偏东44°方向B．北偏东54°方向
C．南偏西54°方向D．南偏西90°方向
9．（2023下·福建福州·七年级统考期中）如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠DAB＝∠BCD；③∠ADC+∠BCD＝180°；④∠2＝∠4，其中能判定AB∥CD的有( )
A．1个B．2个C．4个D．3个
10．（2022下·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．50°
11．（2022下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，把小河里的水引到田地A处，可以过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖引水沟即可，这样做的理由是（ ）
A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．点到直线的距离D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
12．（2022·辽宁沈阳·统考一模）如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，AC平分∠BAD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=（ ）
A．60°B．50°C．70°D．80°
13．（2023下·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（ ）
A．3B．2C．2D．32
14．（2023·广东梅州·统考二模）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α=145°，则∠β等于（ ）
A．45°B．60°C．75°D．85°
15．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC(不与A，C重合)上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB=9，BC=12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．3B．3.6C．3.75D．4
二、填空题
16．（2023·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为 ．
17．（2023下·河北保定·七年级统考期末）直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=72°，那么∠5 = °
（1）若∠2=72°，则a与b的关系是 ．
（2）若a∥b，若∠3=68°，那么∠4的度数是 °．

18．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是 海里．

19．（2023下·云南玉溪·七年级统考期中）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 ．
20．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，∠COD=∠AOB=90°．假设∠COA=40°，那么∠DOB的大小为 ．

21．（2023·广西贺州·统考一模）比较大小：40.15° 40°15′（用>、=、<填空）．
22．（2022·江苏苏州·苏州市第十六中学校考一模）如图，直线a∥b，∠1=124°，则∠2的度数为 °．
23．（2023上·广东深圳·八年级深圳市沙井中学校考期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D，点E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则m＋n的最大值为 ．
24．（2023·广西防城港·统考三模）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=43，点O是AB的中点，点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，则OD+12CD的最小值为 ．

25．（2012下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为 ．
三、解答题
26．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，已知：∠1=63°，∠2=63°，且∠C=∠D．
(1)判断CE与BD的位置关系，并说明理由；
(2)探索∠F与∠A的数量关系，并说明理由．
27．（2023下·湖南怀化·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．
（1）求证△ABE≌△CDF．
（2）证明四边形EBFD是平行四边形．
28．（2022·江苏·统考一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点M、N在对角线BD上，且BM=DN．
求证：
(1)△ABM≌△CDN；
(2)AM∥CN．
29．（2023下·重庆·八年级统考期末）如图，▱ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠DCE．
（1）利用直尺和圆规作出∠BAD的平分线，交BC于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形AFCE是平行四边形．
30．（2023上·贵州遵义·八年级统考期末）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．
31．（2023·浙江温州·统考二模）如图，AD平分∠BAC，AB=AC，且AB//CD，点E在线段AD上，BE的延长线交CD于点F，连接CE.
（1）求证：ΔACE≌ΔABE.
（2）当AC=AE，∠CAD=36°时，求∠DCE的度数.
32．（2022·陕西西安·校考三模）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
求证：△AED≌△CFB．
33．（2023·湖北武汉·武汉市卓刀泉中学统考模拟预测）如图，点A,B,C,D在一条直线上，CE与BF交于点G, ∠A=∠1，CE∥DF，
(1)求证：∠E=∠F；
(2)若AB:BC:CD=2:2:1，直接写出S四边形GCDFS四边形ABGE的值．
34．（2023下·浙江·七年级统考阶段练习）如图所示，射线CF、AE被直线GH所截，交点分别是D、B，连接AD、CB，若∠1+∠2=180∘,∠A=∠C，DA平分∠BDF.
（1）证明AE∥FC.
（2）BC平分∠DBE吗？为什么？
【能力提升】
35．（2023上·江苏南通·七年级校联考阶段练习）定义：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“妙分线”．
(1)如图1，若∠AOB=90°，且射线OC是∠AOB的“妙分线”，求∠AOC的度数．
(2)如图2，若∠MPN=60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时，射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN成180°时，射线PQ，射线PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”．
36．（2023上·河北保定·七年级统考期末）【特例感知】如图1，已知线段MN=40cm，AB=2cm，点C和点D分别是AM，BN的中点．若AM=16cm，则CD=__________cm；

【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；

①若∠MON=150°，∠AOB=30°，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON=150°，∠AOB=30°，∠MOC=k∠AOC，∠NOD=k∠BOD，求∠COD的度数．（直接写出结果，用含有k的式子表示）．

37．（2024上·湖南衡阳·七年级统考期末）如图1，直线AB与直线l1、l2分別交于C、D两点，点M在直线l2上，射线DE平分∠ADM交直线l1于点Q，∠ACQ=2∠CDQ．
(1)
证明：l1∥l2；
(2)如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l2于点F，∠ACQ=70°．
①若∠QFD=20°，则直接写出∠FQD的度数是______．
②点N在射线DE上，满足∠QCN=∠QFD，连接CN，如图3所示情况，探究∠CND与∠FQD满足的等量关系，并加以证明．
38．（2024上·陕西汉中·七年级统考期末）【问题情境】已知，∠1=∠2，EG平分∠AEC交BD于点G．
【问题探究】（1）如图1，∠MAE=45°，∠FEG=15°，∠NCE=75°．试判断EF与CD的位置关系，并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，∠MAE=140°，∠FEG=30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE=∠MAE−2∠FEG．
39．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图（1），直线EF与直线AB，CD分别交于点G，H，∠AGE为钝角，∠EHD+∠AGE=180°．

(1)求证：AB∥CD；
(2)如图（2），点M，N分别在直线AB，CD上，点P（不在直线EF上）是直线AB，CD之间一点，连接MN，PM，PN．若PN∥EF，PM⊥PN，求∠PMB+∠EHD等于多少度？
(3)如图（3），在（2）的条件下，MQ平分∠AMN交直线CD于点Q，PR平分∠MPN交MQ于点T，交直线CD于点R．若∠AMN−2∠PND=4°，∠PNM=60°，求∠PTQ的度数．