专题03 三角形及基本性质（知识串讲+8大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）三角形的分类
三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类：
（2）按边的关系分类：
（二）三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（三）三角形的相关线段
（1）角平分线：
①角平线上的点到角两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上（角平分线的判定）
②三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心，内心到三边的距离相等．
（2）中线：
①三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）高线：
①三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心
②高线参考应用：互余关系的等量代换，等面积法求高线
（4）中位线：三角形两边中点的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
（四）三角形相关角的性质
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
考点一遍过
考点1：三角形相关线段——三角形分类、稳定性
典例1：（2023上·安徽亳州·八年级统考期中）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A=2∠B=3∠C，③∠A:∠B:∠C=1:2:3，④∠A=90°−∠B，⑤∠A=∠B=12∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1】（2022上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=2∠A，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【变式2】（2022上·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【变式3】（2022上·北京·八年级人大附中校考期中）如图，对于△ABC，若存在点D,E,F分别在AB,BC,AC上，使得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，则称△DEF为△ABC的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，错误的是（ ）．

A．若△ABC的“反射三角形”存在，则△ABC必为锐角三角形
B．等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形
C．直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形
D．等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形
【变式4】（2022上·湖北武汉·八年级校考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2022上·四川自贡·八年级富顺第二中学校校考阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
【变式6】（2022·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式7】（2022上·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（ ）
A．4B．2C．1D．3
考点2：三角形相关线段——三边关系
典例2：（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，5，9B．4，6，12C．2，2，4D．5，6，8
【变式1】（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D是BC边上的中点，则AD的长m满足的条件是（ ）
A．2【变式2】（2024上·广东广州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D为BC的中点，DE、DF分别是∠ADB、∠ADC的角平分线，分别交AB、AC于点E、F，且AB=7，AE=4，CF=2，连接EF，则EF的取值范围为（ ）
A．5【变式3】（重庆市合川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知等腰△ABC的底边长为其腰长恰好是方程x2−2m+1x+6m−2=0的根，则m的值是（ ）
A．2B．4C．1D．3
考点3：三角形相关线段——高线
典例3：（2023上·陕西西安·八年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为（ ）
A．5B．25C．1D．2
【变式1】（2023上·全国·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（ ）
A．75B．125C．135D．145
【变式2】（2023上·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=25°，AD是BC边的高，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为（ ）
A．12.5°B．15°C．17.5°D．20°
【变式3】（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，已知OD=4，AE+AF=8，则△AEF的面积为（ ）
A．32B．16C．8D．20
【变式4】（2022上·全国·九年级专题练习）如图，梯形ABCD中，已知S△ABDS△BCD=12，则S△BOCS△BCD= ．

【变式5】（2023·全国·八年级课堂例题）在△ABC中，已知BC边上的高AD=8cm，BD=15cm，CD=6cm，则△ABC的面积为 ．
【变式6】（2024上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，已知AC=4cm,AB=5cm，则S△ACD:S△ABD= 。
【变式7】（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）如图，点D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，其中BD⊥CD，BD平分∠ABC，若△ABD的面积为4，则△ABC的面积是 ．
考点4：三角形相关线段——中线
典例4：（2023上·全国·八年级专题练习）如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若SΔABC=15，BC=6，则FH长为 ．
【变式1】（2024上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，BF=2EF，SΔABC=10，则△CEF的面积为 ．
【变式2】（2023上·广东肇庆·八年级校考期中）如图，点O是△ABC的三条中线AD，BE，CF的交点，若阴影部分的面积S△BOC=2，则△ABC的面积为 .
【变式3】（2023上·河北沧州·九年级统考期中）如图，E为平行四边形ABCD边BC上一点，F，G分别为DE，AE的中点，若△DCE与△ABE的面积之和为6，则四边形DAGF的面积是 ．
【变式4】（2023上·山东菏泽·八年级校考阶段练习）如图所示，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，AB=AC，∠ACB=∠ABC，CE=1.5，则CD的长度为（ ）

A．2B．3C．4.5D．6
【变式5】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，AD是△ABC的中线，∠CAD=60°，AD=4，AB−AC=2，则BC的长为（ ）
A．21B．5C．221D．26
【变式6】（2023上·贵州铜仁·八年级校考期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为（ ）
A．4cm或 8cmB．4cmC．8cmD．2cm或10cm
【变式7】（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE:AD=1:n，连接BE并延长交AC于点F，则AF:AC为（ ）
A．1:n−1B．1:2n−1C．1:n+1D．1:2n−2
考点5：三角形的相关线段——重心性质
典例5：（2023·上海虹口·统考一模）如图，点G是△ABC的重心，GE∥AC交BC于点E．如果AC=12，那么GE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式1】（2023上·湖南怀化·八年级校联考期末）如图，F是△ABC的重心，连接AF并延长交BC于D，连接BF并延长交AC于E．若△ABF的面积是4，则四边形CDFE的面积是（ ）

A．2B．5C．3D．4
【变式2】（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点G是△ABC的重心，则CG等于( )
A．53B．83C．103D．4
【变式3】（2023上·山西太原·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①DEBC=12；②S△DOBS△COB=12；③ADAB=OEOB；④S△ODBS△BDC=13．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点6：三角形的相关线段——角平分线
典例6：（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，△ABC的面积为18cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm2
【变式1】（2023上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以2为半径画弧，交边AB于点D，交边BC于点E，分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P，画射线BP与边AC交于点F，过点F作BC的平行线恰好经过点D，则AD⋅CE的值为（ ）
A．26B．43C．4D．33
【变式2】（2022上·湖北随州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=3，DE=6，则EB+DC的值为（ ）
A．6B．7C．9D．10
【变式3】（2023上·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，△ABC中，AB=2AC，AD是∠BAC的角平分线，延长AC至E，使得CE=AC，连接DE、BE．下列判断：①BD=ED；②BD=2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD=S△EBD，不一定成立的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
考点7：三角形相关的角——内角和
典例8：（2023下·河北石家庄·九年级校考开学考试）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）

①过点C作EF∥AB
②延长AC到点F，过点C作CE∥AB
③作CD⊥AB于点D
④过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1=∠3；②：∠2=∠3；③∠1+∠3=90°；④若∠3=60°，则AB⊥PQ．其中正确结论的个数是（ ）．

A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，MF垂直平分AE，垂足为点H，分别交AB、AD、AC于点N、G、F，交CB的延长线于点M，连接EF，下列结论中错误的是（ ）
A．∠M=∠DAEB．∠DAE=12∠ABC−∠C
C．EF∥ABD．∠EFC=2∠M+∠C
【变式3】（2024上·北京昌平·八年级统考期末）如图，把△ABC沿DE折叠后，点A的对应点为A′，且点A′落在四边形BCDE内部，则∠A′，∠1，∠2之间满足的数量关系是（ ）
A．∠A′=∠1+∠2B．2∠A′=∠1+∠2C．3∠A′=2∠1+∠2D．3∠A′=2∠1+∠2
【变式4】（2018下·山东枣庄·九年级校联考期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=（ ）
A．56°B．28°C．68°D．34°
【变式5】（2023上·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC=120°；②BD=CE；③BC=BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CEF．所有正确的结论是（ ）
A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④
【变式6】（2023上·浙江台州·八年级校联考期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′ 处，折痕为DE，如果∠A=α，∠DEA=β，∠CEA′ =γ，∠BDA′ =θ，那么下列式子中不一定成立的是( )

A．θ=2α+γB．θ=180°−α−γC．β=90°+γ2D．θ=2α+2β−180°
【变式7】（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在三角形ABC内部时，∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（ ）

A．∠1+∠2=2∠AB．∠1+∠2=180°+∠A
C．∠A=∠1−∠2D．∠1+∠2=180°−∠A
考点8：三角形相关的角——外角定理
典例9：（2023上·广西河池·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD=6，则AC的长为（ ）
A．3B．33C．4D．5
【变式1】（2023上·江西南昌·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式2】（2024上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在△ABD中，AB=AC=DC，∠BAC=40°，则∠BAD的度数为（ ）
A．75°B．72°C．70°D．68°
【变式3】（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（ ）

A．5°B．10°C．15°D．18°
【变式4】（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BM，CM交于点M，下列结论：①∠MBC=∠MCB；②∠BMC=∠MCB+∠MBC+∠A；③∠BMC=90°+12∠A；④点M到AB，AC的距离相等．其中，正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④
【变式5】（2024上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（ ）

A．∠1=2∠2B．∠1+∠2=72°C．∠1+2∠2=90°D．2∠1=∠2+72°
【变式6】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E， 则以下结论：① ∠A=2∠E；② ∠BOC=3∠E；③ ∠BOC=90°+∠A；④ ∠BOC=90°+∠E．正确的是（ ）
A．①④B．①③④C．①②③D．①②④
【变式7】（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第八十一中学校考阶段练习）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，连接AC,BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC；⑤MO平分∠AOD．其中正确的个数为（ ）．
A．4B．3C．2D．5