专题04 二次根式（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（22·23上·巴中·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．24B．15C．73D．0.9
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、24=26，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、15是最简二次根式，符合题意；
C、73=213，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、0.9=910=31010，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．（22-23下·永川·期末）若x=y−3−6−2y+2，则x−y的值是（ ）
A．5B．1C．-1D．2
【答案】B
【分析】利用二次根式被开方数是非负数，可得y的值，代入x=y−3−6−2y+2可得x的值，从而得解．
【详解】解：依题意得：
y−3≥06−2y≥0，
解得：y=3，
将y=3代入x=y−3−6−2y+2得x=2，
∴x−y=2−3=1，
故选B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
3．（22·23上·南阳·期末）下列二次根式中，能与2合并的是（ ）
A．12B．12C．20D．9
【答案】B
【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义即可得出答案．
【详解】解：A．12=23，不能与2合并，故该选项不符合题意；
B．12=22，能与2合并，故该选项符合题意；
C．20=25，不能与2合并，故该选项不符合题意；
D．9=3，不能与2合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
4．（22-23上·新乡·期中）若式子2−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠−2
【答案】C
【分析】根据二次根式的非负性解题即可．
【详解】解：∵2−x
∴2−x≥0，解得：x≤2
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，能够熟练根据性质列不等式计算是解题关键．
5．（22-23上·长春·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．20B．6C．24D．0.2
【答案】B
【分析】根据最简二次根式需要满足的条件逐一判断即可，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
【详解】A、20=25，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、6符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确；
C、24=26，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、0.2=210=210=2510=55，该二次根式的被开方数是小数，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B
【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式必须满足的条件是解题的关键.
6．（22-23·全国·假期作业）计算（1﹣12−13−14）×（12+13+14+15）﹣（1﹣12−13−14−15）×（12+13 +14）的结果等于（ ）
A．12B．55C．33D．22
【答案】B
【分析】设a=12+13+14，原式变形后计算即可求出值．
【详解】解：设a＝12+13+14，
原式＝（1﹣a）（a+15）﹣（1﹣a﹣15）×a
＝a+15﹣a2﹣a5﹣a+a2+a5
＝55．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的乘除法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（22-23下·南通·阶段练习）满足不等式2(x−1)>52−18的最小整数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集为x>26−2，然后估算出26−2的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵2(x−1)>52−18，
∴x−1>26−3，
∴x>26−2，
∵25<26<36，
∴5<26<6，
∴2<26−3<3，
∴满足不等式2(x−1)>52−18的最小整数是3，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，无理数的估算，二次根式的混合运算，正确求出不等式的解集是解题的关键．
8．（22-23上·长沙·阶段练习）当x是怎样的实数时，二次根式5−x在实数范围内有意义（ ）
A．x≤5B．x≥5C．x>5D．x<5
【答案】A
【分析】二次根式a有意义的条件是a≥0，据此解题．
【详解】二次根式5−x在实数范围内有意义的条件是5-x≥0
∴x≤5
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．（22-23·浙江·自主招生）已知m=1+2,n=1−2,m2−2m+an2−2n−7=12，则a的值为（ ）
A．−5B．5C．−3D．3
【答案】C
【分析】根据题意得出m2−2m=1，n2−2n=1，代入等式，解关于a的一元一次方程即可求解．
【详解】解：∵m=1+2,n=1−2
∴m−12=2,n−12=2，
∴m2−2m=1，n2−2n=1，
又m2−2m+an2−2n−7=12
∴1+a1−7=12
解得：a=−3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，得出m2−2m=1，n2−2n=1是解题的关键．
10．（22·23下·武汉·期中）已知x=2+3，y=2−3，则代数式yx+xy的值为（ ）
A．7B．14C．83D．43
【答案】B
【分析】根据题意将x、y的值分别代入，求出x+y和xy的值，最后计算可得答案．
【详解】解：当x=2+3，y=2−3时，x+y=4,xy=(2+3)(2+3)=1
yx+xy
=yx+xy+2−2
=(x+y)2xy−2
=16−2
=14
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入．
11．（22·23上·太原·阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．0.5B．127C．8D．3
【答案】D
【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论，二次根式满足被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式．
【详解】解：A、0.5=12，被开方数含有分母，故本选项不符合题意；
B、127，被开方数含有分母，故本选项不符合题意；
C、8=2×22，被开方数中含有能开方的因数，故本选项不符合题意；
D、3是最简二次根式，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式满足被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式，是解答本题的关键．
12．（23·24上·晋中·期中）已知a，b均为有理数，若3−12=a+b3，则a−b的算术平方根是（ ）
A．3B．2C．5D．6
【答案】D
【分析】由3−12=a+b3，可得3−23+1=4−23=a+b3，由a，b均为有理数，可得a=4，b=−2，a−b=6，然后求a−b的算术平方根a−b即可．
【详解】解：∵3−12=a+b3，
∴3−23+1=4−23=a+b3，
∵a，b均为有理数，
∴a=4，b=−2，a−b=6，
∴a−b的算术平方根为6，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，完全平方公式，算术平方根．解题的关键在于确定a、b的值．
13．（22·23下·沙坪坝·期末）估计27+15×13的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．7和8之间
【答案】C
【分析】先化简计算，再估算判断即可．
【详解】∵27+15×13=273+153=3+5，2＜5＜3，
∴5＜3+5＜6，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算思想，熟练掌握二次根式的混合运算的法，正确估算是解题的关键．
14．（22·23上·南阳·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．32−2=3
C．6÷2=3D．−4×−2=8=22
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则即可得到答案．
【详解】解：A、2+3=2+3，计算错误，不符合题意，选项错误；
B、32−2=22，计算错误，不符合题意，选项错误；
C、6÷2=62，计算错误，不符合题意，选项错误；
D、−4×−2=22，计算正确，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
15．（22-23下·滨州·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．6÷3+2=63+62=2+3
B．4−232=16−232=4
C．2+3÷2+3=1
D．35+2=5+25−25+2=5−2
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算进行计算即可得出结论．
【详解】解：A.6÷3+2=63−23+23−2=32−23，故A选项不正确，不符合题意；
B.4−232=16−163+232=16−163+12=28−163，故B选项不正确，不符合题意；
C.2+3÷2+3=2+33−23+23−2=2+3−6，故C选项不正确，不符合题意；
D.35+2=35−25+25−2=35−23=5−2，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及分母有理化是解题的关键．
16．（22-23上·鹤壁·阶段练习）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a−1|−2(a−2)2的结果是（ ）
A．3－aB．－a－5C．3a+3D．3a－5
【答案】D
【分析】根据实数a在数轴上的对应点位置，得到10,a−2<0，利用绝对值的代数意义直接化简即可．
【详解】解：如图所示，可知1∴a−1>0，a−2<0，
∴ |a−1|−2(a−2)2
=|a−1|−2|a−2|
=a−1+2(a−2)
=a−1+2a−4
=3a−5，
故选：D．
【点睛】本题考查整式加减化简代数式，涉及到数轴的定义、绝对值的代数意义和二次根式性质等知识点，熟练掌握二次根式的性质化简，并利用绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
17．（22·23上·来宾·期末）计算3−22022×3+22022的结果为（ ）．
A．1B．−1C．0D．±1
【答案】A
【分析】利用二次根式的运算法则进行计算，即可得出结论．
【详解】解：3−22022×3+22022
=3−2×3+22022
=3−42022
=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算、平方差公式以及积的乘方，熟练掌握二次根式的运算法则，并能结合乘法公式进行简便运算是解答此题的关键．
18．（22-23下·东营·期末）下列等式一定正确的是（ ）
A．81＝±9B．﹣(−3)2＝3C．a2＝aD．3−33＝-3
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质即可判断A、B、C，根据立方根的性质即可判断D．
【详解】解：A．81＝9，故本选项不符合题意；
B．﹣(−3)2＝﹣3，故本选项不符合题意；
C．当a<0时，a2=-a，故本选项不符合题意；
D．3−33＝﹣3，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根的性质和二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：当a≥0时，a2=a，当a＜0时，a2=-a．
19．（22·23下·德宏·期末）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．(−2)2=−2B．2+2=22C．2+3=5D．2×3=6
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质和运算法则，逐一选项计算即可．
【详解】解：A. (−2)2=2，故计算错误，不符合题意；
B. 2与2不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意；
C. 2与3不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意；
D. 2×3=6，计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算和性质，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键．
20．（22·23下·浙江·阶段练习）已知x=2−3,y=2+3，则代数式x2+2xy+y2+x−y−4的值为（ ）
A．32B．34C．3−1D．5−12
【答案】C
【分析】根据已知，得到x+y=2−3+2+3=22,x−y=2−3−2−3=−23，整体思想带入求值即可．
【详解】解：∵x=2−3,y=2+3，
∴x+y=2−3+2+3=22,x−y=2−3−2−3=−23，
∴x2+2xy+y2+x−y−4=x+y2+x−y−4
=222−23−4
=8−23−4
=4−23
=32−23+1
=3−12
=3−1．
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
二、填空题
21．（22·23上·渭南·期中）若最简二次根式a+2与5能合并，则a= ．
【答案】3
【分析】能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式a+2与5能合并
∴a+2＝5
解得：a＝3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
22．（22-23下·三门峡·阶段练习）若2a+1与4a−3的被开方数相同，则a= ．
【答案】2
【分析】根据被开方数相同列出方程求解即可．
【详解】解：由题意得，2a+1=4a−3，
解得a=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
23．（22-23下·宿迁·期末）计算55−20的结果为 ．
【答案】−5
【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：55−20=5−25=−5．
故答案为：−5．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．
24．（22·23下·阳江·一模）若a−1+b+2=0，则a+b2023= ．
【答案】−1
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性得到a、b的值，再利用乘方的运算法则即可解答．
【详解】解：∵a−1+b+2=0，
∴a−1=0，b+2=0，
∴a=1，b=−2，
∴a+b2023=1−22023=−12023=−1，
故答案为−1；
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，乘方的运算法则，掌握二次根式及绝对值的非负性是解题的关键．
25．（22-23下·天津·期中）计算(−0.3)2的结果是 ．
【答案】0.3．
【分析】根据a2=|a|得到(−0.3)2=|−0.3|，脱去绝对值即可求解．
【详解】解：原式＝|﹣0.3|=0.3．
故答案为：0.3
【点睛】本题考查了二次根式性质a2的化简，熟知a2=|a|是解题关键．
26．（22·23下·浙江·专题练习）下列二次根式化为最简二次根式：
（1）45= ；
（2）13= ；
（3）0.5= ；
（4）145= ．
【答案】 35 33 22 355
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：（1）45=9×5=35，
故答案为：35；
（2）13=1×33×3=33，
故答案为：33；
（3）0.5=12=1×22×2=22，
故答案为：22；
（4）145=95=9×55×5=355，
故答案为：355．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．
27．（22·23下·驻马店·阶段练习）符号“*”表示一种新的运算，规定a∗b=a⋅b−ab，则4∗2的值为 ．
【答案】2
【分析】根据题干信息列式计算即可．
【详解】解：4∗2=4×2−42
=8−2
=22−2
=2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
28．（22-23上·太原·阶段练习）如图，网格中，每个小正方形的边长为1，则AB3 1．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】＜
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再把AB3和1都进行平方，进行比较大小．
【详解】解：如图，连接AB，
根据题意得∶AB=22+22=22，
∴AB32＝2232=89．
∵89<1，
∴AB3＜1，
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，二次根式的大小比较，根据勾股定理得到AB的长是解题的关键．
29．（22-23上·鸡西·期末）函数y=3−xx−2中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≤3且x≠2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】由y=3−xx−2可得：
3−x≥0x−2≠0，
解得：x≤3且x≠0．
【点睛】此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
30．（22·23上·内江·阶段练习）若3【答案】2
【分析】根据因式分解分别将根号内的多项式进行因式分解，再根据x的取值范围，化简二次根式即可．
【详解】解：∵3∴x2−6x+9+25+x2−10x=x−32+x−52=x−3+5−x=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查因式分解，二次根式的化简，能够熟练掌握因式分解是解决本题的关键．
31．（22·23上·巴中·阶段练习）如果代数式4y2−2y+5的值为7，那么，2y2+11−y的值是 ．
【答案】23
【分析】根据题意先求出2y2−y的值，再整体代入所求的式子当中即可.
【详解】由题意得4y2−2y+5=7，
∴4y2−2y=2，
∴2y2−y=1，
∴2y2+11−y=1+11=12=23
故答案为：23
【点睛】本题主要考查了整体代入法求代数式的值，解题时要多注意观察，切记不要直接去解一元二次方程求出y的值，这是解题的关键.
32．（22·23上·长沙·阶段练习）已知x=5−1717−3，y=17−35−17，则4x2−3xy+4y2= ．
【答案】6
【分析】先把x和y的值分母有理化得到x=17−14，y=17+14，则x−y=−12，xy=1，再利用完全平方公式变形原式得到4(x−y)2+5xy，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵x=5−1717−3，y=17−35−17，
∴x=5−1717+317−317+3=17−14，y=17−35+175−175+17=17+14，
∴x−y=−12，xy=1，
∴原式=4(x−y)2+5xy
=4×(−12)2+5×1
=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值；二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
33．（22-23下·无锡·阶段练习）等式x1−x=x1−x成立的条件是 ．
【答案】0≤x<1
【分析】由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】接：∵x1−x=x1−x
∴x1−x≥01−x>0x≥0 ,解得0≤x<1．
故答案为0≤x<1．
【点睛】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数为非负实数，分式有意义的条件是分式的分母不为零．
34．（22-23上·全国·单元测试）(1−23)(1+23)−(23−1)2的计算结果是 （用最简二次根式表示）
【答案】−24+43
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项或同类二次根式化简.
【详解】(1−23)(1+23)−(23−1)2
=1-12-（12-43+1）
=1-12-12+43-1
=-24+43.
故答案为−24+43.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法公式对二次根式的运算同样适应.
35．（22-23·北京·专题练习）已知|x+2|+|1−x|=9−(y−5)2−(1+y)2，则x+y的最小值为 ．
【答案】−3．
【分析】先对|x+2|+|1−x|=9−(y−5)2−(1+y)2变形，根据绝对值的意义得到|x+2|+|x−1|和|y+1|+|y−5|为最小值时x、y的取值，进而得到x+y的最小值．
【详解】解：∵|x+2|+|1−x|=9−(y−5)2−(1+y)2，
∴|x+2|+|x−1|+|y+1|+|y−5|=9，
∵|x+2|+|x−1|可理解为在数轴上，数x的对应的点到−2和1两点的距离之和；|y+1|+|y−5|可理解为在数轴上，数y的对应的点到−1和5两点的距离之和，
∴当−2⩽x⩽1，|x+2|+|x−1|的最小值为3；
当−1⩽y⩽5时，|y+1|+|y−5|的最小值为6，
∴x的范围为−2⩽x⩽1，y的范围为−1⩽y⩽5，
当x=−2，y=−1时，x+y的值最小，最小值为−3．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简，并根据绝对值的意义确定x、y的取值是解题关键．
三、解答题
36．（22-23下·武汉·期末）计算：
（1）12−18+8 （2）23−23+1
【答案】（1）23−2；（2）4
【分析】（1）先分别化简各项，再作加减法；
（2）先将括号展开，再化简各项，最后计算加减法．
【详解】解：（1）12−18+8
=23−32+22
=23−2
（2）23−23+1
=23×3+23−23−2
=6−2
=4
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
37．（22·23上·长春·期末）已知x，y为实数，且y=x−9+9−x+4，求x+y的值．
【答案】5
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x、y，根据算术平方根的概念计算即可．
【详解】解：∵y=x−9+9−x+4，
∴x−9≥0，9−x≥0，
∴x=9，
∴y=4，
∴x+y=9+4=3+2=5．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
38．（22·23上·资阳·阶段练习）（1）3bab3+(−23ab)÷12ba
（2）22+622−6−(3−2)2+48×15×1916．
【答案】（1）3ab−43a；（2）53−5
【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【详解】解：（1）3bab3+(−23ab)÷12ba
=3ab+(−23ab)÷ab2a
=3ab+(−23ab)⋅2aab
=3ab−43a；
（2）(22+6)(22−6)−(3−2)2+48×15×1916
=8−6−(7−43)+43×15×54
=2−7+43+3
=53−5．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
39．（22·23下·全国·专题练习）已知：a=7+2，b=7−2，求：
(1)ab的值；
(2)a2+b2−3ab的值；
(3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求1m+n的值．
【答案】(1)3
(2)13
(3)7−23
【分析】（1）代入求值即可；
（2）代入求值，可将（1）的结果代入；
（3）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算．
【详解】（1）解：∵a=7+2，b=7−2，
∴ab=7+27−2
=7−4
=3;
（2）解：∵a=7+2,b=7−2,ab=3,
∴a2+b2−3ab
=a2+b2−2ab−ab
=a−b2−ab
=7+2−7−22−3
=7+2−7+22−3
=42−3
=16−3
=13
（3）解：∵m为a整数部分，n为b小数部分，a=7+2，b=7−2，
∴m=4，n=7−2
∴1m+n=14+7−2
=12+7
=7−23，
∴1m+n的值7−23．
【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化．
40．（22-23上·巴中·阶段练习）已知a+1a=3，求a2+1a2+a+1a的值．
【答案】7+5
【分析】利用完全平方公式可得a+1a2=a2+2+1a2=9进而可以求出a2+1a2=7，同理可得a+1a=a+2+1a=5，求出a+1a=5即可得到答案．
【详解】解：∵a+1a=3，
∴a+1a2=a2+2+1a2=32=9，a>0，
∴a2+1a2=7，
∵a+1a2=a+2+1a=3+2=5，
∴a+1a=5，
∴a2+1a2+a+1a=7+5．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确根据题意得到a+1a2=a2+2+1a2，a+1a=a+2+1a是解题的关键．
41．（22·23下·贺州·期中）已知x=2+7，y=2−7，求代数式x2+y2−x2y2的值．
【答案】13
【分析】将x、y的值代入代数式求值即可．
【详解】解：依题意，可得
x2+y2−x2y2=2+72+2−72−2+72×2−72
=4+47+7+4−47+7−22−722
=4+7+4+7−−32
=13．
【点睛】本题考查了代数式的求值计算，涉及根式的混合运算，运用完全平方公式和平方差公式简化运算是解题的关键．
42．（22-23上·资阳·期中）化简求值：x−2y2−2x+yx−4y−−x+3yx+3y÷−23y，其中y=x−4+4−x2 - 2．
【答案】−92x+32y，-21
【分析】先通过乘法公式和整式的混合运算法则，化简，再根据二次根式的非负性，求出x，y的值，代入求解即可．
【详解】原式=x2−4xy+4y2−2x2−8xy+xy−4y2−9y2−x2÷−23y
=x2−4xy+4y2−2x2+8xy−xy+4y2−9y2+x2÷−23y
=3xy−y2÷−23y
=−92x+32y，
∵y=x−4+4−x2 - 2，
∴x-4≥0,4-x≥0，即：x=4，
∴y=−2，
∴原式=−92x+32y=−92×4+32×(−2)=−18+(−3)=−21
【点睛】本题主要考查整式的化简求值以及二次根式的非负性，熟练掌握完全平方公式和整式的混合运算法则，是解题的关键．
43．（22-23·杭州·）仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为12ab，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号．在a2+b2≥2ab中，若a>0，b>0，用a、b代替a，b得，a+b≥2ab，即a+b2≥ab（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知x∈R，求y=x2+4x2+1的最小值”为例给同学们介绍．
解：由题知y=x2+1+3x2+1=x2+1+3x2+1，∵x2+1>0，3x2+1>0，
∴y=x2+1+3x2+1≥2x2+1⋅3x2+1=23，当且仅当x2+1=3x2+1时取等号，即当x=±2时，函数的最小值为23．
总结：利用基本不等式a+b2≥ab(a>0,b>0)求最值，若ab为定值，则a+b有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应x的取值．
（1）若x>0，求函数y=2x+2x的最小值；
（2）若x>2，求y=x+1x−2的最小值；
（3）若x≥0，求函数y=x+4x+13x+2的最小值．
【答案】（1）x=1，ymin=4；（2）x=3，ymin=4；（3）x=1，ymin=6
【分析】（1）仿照上面的例子变形得到y=2x+2x=2x+42x，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到y=x+1x−2=x−2+1x−2+2，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到y=x+4x+13x+2=(x+2)2+9x+2=x+2+9x+2，求出最小值即可.
【详解】解：（1）由题知y=2x+2x=2x+42x，
∵x＞0，
∴2x＞0
∴y=2x+42x≥22x⋅42x=4，当且仅当2x=42x时取等号，
即当x=1时，函数的最小值为4；
（2）由题知y=x+1x−2=x−2+1x−2+2，
∵x＞2，
∴x−2＞0
∴y=x−2+1x−2+2≥2(x−2)⋅1x−2+2=2+2=4，当且仅当x−2=1x−2时取等号，
即当x=3时，函数的最小值为4；
（3）由题知y=x+4x+13x+2=x+4x+4+9x+2=(x+2)2+9x+2=x+2+9x+2，
∵x≥0，
∴x+2≥2
∴y==x+2+9x+2≥2(x+2)⋅9x+2=6，当且仅当x+2=9x+2时取等号，
即当x=1时，函数的最小值为6.
【点睛】本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.
44．（22-23下·东莞·阶段练习）计算：2−32+54+26÷3
【答案】11−2
【分析】利用完全平方公式和二次根式除法计算，再进行实数的混合运算即可．
【详解】解：2−32+54+26÷3
=2−62+9+543+263
=2−62+9+32+22
=11−2
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
45．（23·24上·汉中·阶段练习）计算：24÷6+38．
【答案】4
【分析】根据二次根式的除法，立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：24÷6+38
=26÷6+2
=2+2
=4．
【点睛】本题考查了二次根式的除法，立方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
46．（22-23下·临沂·期中）计算：
(1)14+38−1916
(2)3−22−2−3
【答案】(1)54
(2)−2
【分析】（1）运用二次根式的运算性质化简求值即可；
（2）利用二次根式的运算法则和绝对值的运算性质求解即可；
【详解】（1）原式=12+2−54
=54；
（2）原式=3−22−（3−2）
=3−22−3+2
=−2．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算和去绝对值的技巧．熟练掌握二次根式的运算技巧是解决本题的关键．
47．（22-23下·昆明·期末）阅读下列计算过程：
12+1=1×2−12+12−1=2−1
13+2=1×3−23+23−2=3−2
15+2=15−25+25−2=5−2
（1）根据上面运算方法，直接写出1n+1+n=_____________；
（2）利用上面的解法，请化简：
12021+2020+12020+2019+12019+2018+...+12+1
（3）根据上面的知识化简1n+1+n
【答案】（1）n+1−n；（2）2021−1；（3）n+1−n
【分析】（1）观察上面的所给实例，直接写出结果即可；
（2）对每个式子进行化简，然后合并即可；
（3）观察实例，对式子化简即可．
【详解】解：（1）观察实例可以得到1n+1+n=n+1−n
（2）12021+2020+12020+2019+12019+2018+...+12+1
=(2021+2020)+(2020−2019)+(2019−2018)+...+(2−1)
=2021−1
（3）1n+1+n=n+1−n(n+1+n)(n+1−n)
=n+1−n(n+1−n)
=n+1−n
【点睛】此题主要考查了二次根式的分母有理化，观察例题掌握有理化的方法是解题的关键．
48．（22·23上·成都·阶段练习）计算：
(1)18÷3×2
(2)27−13+12
(3)12−1+8×−3−2−6
【答案】(1)23
(2)1433
(3)4−36
【分析】（1）运用二次根式的性质公式及乘除法运算法则处理；
（2）运用二次根式的性质公式及加减法法则处理；
（3）运用负整数指数幂运算法则、绝对值性质公式、二次根式乘法法则及实数的混合运算法则处理．
【详解】（1）原式＝ 6×2
=23；
（2）原式＝ 33−33+23
=1433；
（3）原式＝2−8×3−(6−2)
=2−26−6+2
＝4−36．
【点睛】此题主要考查实数的混合运算以及二次根式的化简、绝对值的化简、负整数指数幂；熟练掌握运算法则是解本题的关键．
49．（22-23下·武汉·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：设a+2b=m+2n2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+2b=m2+2n2+22mn，∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把部分a+2b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+6b=m+6n2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=_____，b=______；
(2)若a+43=m+3n2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：21+80．
【答案】(1)m2+6n2；2mn
(2)a=13或7；
(3)25+1
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到(m+6n)2=m2+6n2+26mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】（1）解：∵m+6n2=m2+6n2+26mn，a+6b=m+6n2，
∴a=m2+6n2，b=2mn．
故答案为：m2+6n2；2mn．
（2）解：∵m+3n2=m2+3n2+23mn，a+43=m+3n2，
∴a=m2+3n2，mn=2，
∵m、n均为正整数，
∴m=1、n=2或m=2，n=1，
∴a=13或7；
（3）解：21+80=20+45+1=25+12=25+1．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
50．（22-23下·六安·阶段练习）观察下列运算：
①由2+12−1=1，得12+1=2−1；
由3+23−2=1，得13+2=3−2；
由4+34−3=1，得14+3=4−3；
…
(1)由上述规律，直接化简：15+2= ；
(2)通过观察你得出什么规律？用含n（n≥0且为整数）的式子表示出来：1n+1+n= ；
(3)利用（2）中你发现的规律计算：26+5+27+6+222+7+29+22= ．
【答案】(1)5−2
(2)n+1−n
(3)6−25
【分析】（1）根据题目中给出的式子，可以直接写出所求式子的结果；
（2）根据题目中的例子，利用平方差公式，可以写出所求式子的结果；
（3）根据（2）中的结果和所求式子的特点，可以计算出所求式子的值
【详解】（1）解：由题意可得，
15+2=5−2，
（2）解：1n+1+n
=n+1−n(n+1+n)(n+1−n)
=n+1−n，
（3）解：26+5+27+6+222+7+29+22
=26−5+7−6+8−7+9−8
=29−5
=6−25．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【能力提升】
51（22·23下·福州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
23=2×33×3=63，23−3=23+33−33+3=23+39−3=23+36=3+33．
(1)请你写出3+7的有理化因式：___________；
(2)请仿照上面给出的方法简化1−m1+mm≠1；
(3)已知a=15−2，b=15+2，求a2+b2+2的值．
【答案】(1)3−7
(2)1−m
(3)25
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据a2+b2+2=a+b2−2ab+2，将a+b，ab的值代入即可求解．
【详解】（1）解：∵3+73−7=9−7=2，
∴ 3−7是3+7的有理化因式，
故答案为：3−7；
（2）解：1−m1+m
=1−m1−m1+m1−m
=1−m1−m1−m
=1−m；
（3）解：∵ a=15−2=5+2，b=15+2=5−2，
∴a+b=5+2+5−2=25，ab=5+25−2=1，
∴a2+b2+2
=a+b2−2ab+2
=252−2×1+2
=20
=25．
【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
52（23·24上·泉州·阶段练习）已知a，b为两个正实数，∵a+b−2ab=(a)2+(b)2−2a⋅b=(a−b)2≥0，∴a+b≥2ab，即：a+b2≥ab，当且仅当“a=b”时，等号成立．我们把a+b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当x>0时，求y=x+1x+1的最小值；
解：y=(x+1x)+1≥2x⋅1x+1=3，当x=1x，即x=1时，y的最小值为
(1)探究：当x>0时，求y=x2−3x+16x的最小值；
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养，维修费用总和为n2+n10万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=所有费用：年数n）？最少年平均费用为多少万元？
(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线AB经点P(3,4)，与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线AB的表达式．

【答案】(1)5
(2)10年；2.5万元
(3)y=−43x+8
【分析】（1）直接利用a+b2≥ab可得结论；
（2）先求解年平均保养费用，利用a+b2≥ab可得结论；
（3）设直线AB为：y=kx+b，用含k的代数式表示A，B的坐标，求解△AOB的面积，利用a+b2≥ab求解面积最小值时k的值，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵x>0，
∴ y=x2−3x+16x=x−3+16x≥2x⋅16x−3=5，
∴当x=16x，即x=4时，y的最小值为5；
（2）解：由题意得：n>0，
∴年平均费用=n2+n10+0.4n+10÷n=n10+10n+12≥2n10⋅10n+12=2.5．
∴当n10=10n时，
∴n=10，
即n=10时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元；
（3）解：设直线AB为：y=kx+b，
把P(3,4)代入解析式得：3k+b=4，
∴b=4−3k，
∴直线AB为：y=kx+4−3k，
令x=0，y=4−3k，
∴A(0,4−3k)，
令y=0，
∴kx+4−3k=0，
∴ x=3k−4k，
∴ B3k−4k，0，
由题意知：4−3k>0，3k−4k>0，
∴ SΔAOB=124−3k3k−4k=−(3k−4)22k=−9k2+12−8k，
由题意得：k<0，−k>0，−1k>0，
∴ −9k2+−8k≥2−9k2−8k=12．
∴当−9k2=−8k时，即k=−43时，SΔAOB最小，
∴直线AB为：y=−43x+8．
【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键．
53（22·23·潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0例求12+122+123+⋯+12n+⋯的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
12+122+123+⋯+12n+⋯的结果等于该正方形的面积，
即12+122+123+⋯+12n+⋯=1．
方法2：借助函数y=12x+12和y=x的图象，观察图②可知
12+122+123+⋯+12n+⋯的结果等于a1，a2，a3，…，an…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1，
所以，12+122+123+⋯+12n+⋯=1．

【实践应用】
任务一 完善23+232+233+⋯+23n+⋯的求值过程．

方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知23+232+233+⋯+23n+⋯=______．
方法2：借助函数y=23x+23和y=x的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以，23+232+233+⋯+23n+⋯=______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求34+342+343+⋯+342+⋯的值．
任务三 用方法2，求q+q2+q3+⋯+qn+⋯的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为5+12:1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出5−122+5−124+5−126+⋯+5−122n+⋯的值．

【答案】任务一，方法1：2；方法2：2,2，2；任务二，3；任务三，q1−q；[迁移拓展] 5−12
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
任务二，借助函数y=34x+34和y=x得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点2,2到x轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数y=qx+q和y=x的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为1×1=1=5−120，第二个正方形的面积为5+12−12=5−122，……进而得出则5−122+5−124+5−126+⋯+5−122n+⋯的值等于长宽之比为5+12:1的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，即可求解．
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知23+232+233+⋯+23n+⋯= 2
故答案为：2．
方法2：借助函数y=23x+23和y=x的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为2,2，
所以，23+232+233+⋯+23n+⋯= 2．
故答案为：2,2，2．
任务二：参照方法2，借助函数y=34x+34和y=x的图象，y=34x+34y=x，
解得：x=3y=3
∴两个函数图象的交点的坐标为3,3，
34+342+343+⋯+342+⋯=3．
任务三 参照方法2，借助函数y=qx+q和y=x的图象，两个函数图象的交点的坐标为q1−q,q1−q，
∴q+q2+q3+⋯+qn+⋯=q1−q
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为1×1=1=5−120，第二个正方形的面积为5+12−12=5−122，……
则5−122+5−124+5−126+⋯+5−122n+⋯的值等于长宽之比为5+12:1的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，
即5−122+5−124+5−126+⋯+5−122n+⋯=5+12×1−1=5−12
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．
54（22·23上·锦州·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．

OA22=12+12=2，S1=12；
OA32=12+22=3，S2=22；
OA42=12+32=4，S3=32；
…… ……
其中S1、S2、S3……表示各个直角三角形的面积
(1)请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律．
(2)若一个三角形的面积是5，计算说明它是第几个三角形？
(3)求出S12+S22+S32+…+S102的值．
【答案】(1)OAn+12=12+n2=n+1，Sn=n2
(2)第20个
(3)554
【分析】（1）观察上述结论，可以发现OAn+12=1+(n)2=n+1，Sn=n2即可求解；
（2）根据Sn=n2=5，即可求解；
（3）S12+S22+S32+S42+⋯+S102的值就是把面积的平方相加即可．
【详解】（1）解：根据题目已知条件可以推出：
OAn+12=12+n2=n+1，Sn=n2；
（2）若一个三角形的面积是5,
∵Sn=n2=5，
∴n=25=20，
∴n=20．
说明它是第20个三角形；
（3）S12+S22+S32+S42+⋯+S102
=(12)2+(22)2+(32)2+...+(102)2
=14(1+2+3+...+10)
=554．
【点睛】此题考查了勾股定理、算术平方根、二次根式混合运算等知识，解题的关键是观察题目得到结论，由此结论找出规律进行计算．