专题01 平面直角坐标系与函数概念（分层训练）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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【基础训练】
一、单选题
1．（2022·重庆·模拟预测）下列函数中的自变量x的取值范围是x＞1的是（ ）
A．y＝x﹣1B．y＝1x−1C．y＝x−1D．y＝1x−1
【答案】D
【分析】根据分式的概念，二次根式的概念进行判别即可．
【详解】解：A、自变量x取任意实数，故A选项错误，不符合题意；
B、x﹣1≠0，解得x≠1，故B选项错误，不符合题意；
C、x﹣1≥0，解得x≥1，故C选项错误，不符合题意；
D、x﹣1＞0，解得x＞1，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的概念、二次根式的概念，解题的关键是掌握分式的概念、二次根式的概念．
2．（2022下·全国·九年级专题练习）如图所示，下列各曲线中表示y是x的函数的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由题意依据函数的定义对各个函数图形进行分析判断即可得出答案.
【详解】解：由对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应可知，
①、②、③表示y是x的函数，④不构成函数关系，共有3个.
故选：C．
【点睛】本题考查函数的识别，注意掌握在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
3．（2022下·辽宁大连·八年级统考期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与半径之比）为π．则这个问题的变量是（ ）
A．πB．rC．CD．r，C
【答案】D
【分析】根据函数的定义：在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，来解答．
【详解】根据函数的定义：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，可知自变量是圆的半径r，因变量是圆的周长C．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的定义，熟知函数的定义是解题的关键．
4．（2022上·江西抚州·八年级统考期末）2021年10月16日神舟十三号飞船在甘肃酒泉发射升空，在太空驻留183天后于2022年4月16日返回地球，下列描述能确定飞船着陆位置的是（ ）
A．内蒙古中部B．酒泉卫星发射中心东北方向800km处
C．东经130°25'~98°10'D．北纬54°35'~38°20'
【答案】B
【分析】根据位置的表示法，直接判断即可．
【详解】ACD描述的并非具体位置，B点描述的是具体位置，
故选B．
【点睛】本题考查了用语言描述具体位置，描述的位置必须具体．
5．（2022下·福建泉州·八年级校联考期中）函数y=1x的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x≥1D．x≤1
【答案】A
【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：函数y=1x的自变量x的取值范围是x≠0，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
6．（2022上·四川成都·八年级校考期中）若点P在第二象限，点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是3，点P的坐标是（ ）
A．−7,3B．7,−3C．−3,7D．3,−7
【答案】C
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】∵点P在第二象限，
∴xP<0，yP>0，
∵点P到x轴的距离是7，
∴yP=7，
∴yP=7，
∵点P到y轴的距离是3，
∴xP=3，
∴xP=−3，
∴点P的坐标是−3,7．
故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
7．（2022上·河南郑州·八年级郑州四中校考开学考试）下列四个命题中，正确的个数有( )
①数轴上的点和有理数是一一对应的：②估计33的值在4和5之间；③Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5；④在平面直角坐标系中点(2，-3)关于x轴对称的点的坐标是(2，3)：
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】利用实数的性质、勾股定理、对称点的坐标及无理数的估算分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①数轴上的点和实数是一一对应的，故错误，是假命题；
②5＜33＜6，估计33的值在5和6之间，故错误，是假命题；
③Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5或7，故错误，是假命题；
④在平面直角坐标系中点（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3），故正确，是真命题；
故选A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质、无理数的估算、勾股定理、关于对称轴的点的坐标，难度不大．
8．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列各图中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的定义：“在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量”．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】解：A、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意；
B、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意；
C、对于每一个x的值，不都是有唯一一个y值与其对应，有时有多个y值相对应，所以y不是x的函数，故本选项符合题意；
D、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
9．（2022下·广东东莞·七年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点A−3,2，AB∥x轴，且AB=4，则点B的坐标为（ ）
A．1,2B．−3,6或−3,−2C．−7,2D．1,2或−7,2
【答案】D
【分析】线段AB∥x轴，A、B两点纵坐标相等，又AB=4，B点可能在A点左边或者右边，根据距离确定B点坐标．
【详解】解：∵AB∥x轴，点A−3,2，
∴A、B两点纵坐标都为2，
又∵AB=4，
∴当B点在A点左边时，B−7,2，
当B点在A点右边时，B1,2．
∴点B的坐标为1,2或−7,2．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行于x轴的直线上的点纵坐标相等的特征，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．正确理解和掌握平行于x轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键．
10．（2022下·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A→D→C→B→A运动一周，则P的纵坐标y与P点走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将动点P的运动过程划分为AD、DC、CB、BA共4个阶段，分别进行分析，最后得出结论．
【详解】解：动点P运动过程中：
①当0≤s≤1时，动点P在线段AD上运动，此时y＝2保持不变；
②当1＜s≤2时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；
③当2＜s≤3时，动点P在线段CB上运动，此时y＝1保持不变；
④当3＜s≤4时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；
结合函数图象，只有A选项符合要求．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．
11．（2022下·重庆·七年级重庆巴蜀中学校考期中）平面直角坐标系中，A点的坐标是（3，1），若AB⊥y轴，且B点在A点右侧，当AB=5时，B点坐标是（ ）
A．(8,1)B．(−2,1)C．(3,−4)D．(3,6)
【答案】A
【分析】根据AB//x，得出A点的纵坐标与B点的纵坐标相同，再根据AB=5，B点在A点右侧，得出B(8,1)．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴A点的纵坐标与B点的纵坐标相同是1，
∵AB=5，B点在A点右侧，
∴B(8,1)，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同．
12．（2022上·八年级课时练习）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下图描述了他上学的情景，下列说法中正确的是（ ）
A．修车时间为15分钟B．学校离家的距离为1000米
C．到达学校共用时间为10分钟D．自行车发生故障时离家距离为1000米
【答案】D
【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示离家距离来判断即可．
【详解】A：修车时，离家距离不变，即时长为5分钟，故错误，不符合题意；
B：学校距离家有2000米，故错误，不符合题意；
C：横轴上总共用了20分钟，故错误，不符合题意；
D：发生故障时，离家距离不变，离家有1000米，故正确，符合题意．
【点睛】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确理解函数图像的意义，理解问题过程是解题关键．
13．（2023上·安徽合肥·八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为正方形边上一动点，若点P从点A出发沿A→D→C→B→A匀速运动一周．设点P走过的路程为x，△ADP的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分点P在边AD、CD、BC、AB上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出y与x的关系式，再根据一次函数图象解答．
【详解】解：①点P在边AD上时，A、D、P共线，不能构成三角形，y=0；
②点P在边CD上时，点P到AD的距离为(x−4)，
y=12×4×(x−4)=2x−8；
③点P在边BC上时，点P到AD的距离不变，为4，
y=12×4×4=8；
④点P在边AB上时，点P到AD的距离为4×4−x=16−x，
y=12×4×(16−x)=32−2x；
纵观各选项，只有C选项图象符合．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据点P运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积y与x的关系式是解题的关键，也是本题的难点．
14．（2022上·甘肃白银·八年级统考期末）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离ykm与行驶时间th的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为50km/h；②乙车用了5h到达B城；③甲车出发4h时，乙车追上甲车
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】求出正比函数的解析式，k值的绝对值表示车的速度；横轴上两个时间点的差表示乙走完全程所用时间，求出一次函数的解析式，确定它与正比例函数的交点坐标，横坐标即为二车相遇时间．
【详解】设甲的解析式为y=kx，
∴6k=300,
解得k=50，
∴y甲=50x，
∴甲车的速度为50km/h，
∴①正确；
∵乙晚出发2小时，
∴乙车用了5-2=3（h）到达B城，
∴②错误；
设y乙=mx+b，
∴2m+b=05m+b=300，
∴m=100b=−200，
∴y乙=100x-200，
∵y=50xy=100x−200，
∴x=4y=200，
即甲行驶4小时，乙追上甲，
∴③正确；
故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，函数图像，交点坐标的确定，解二元一次方程组，熟练掌握待定系数法，准确求交点的坐标是解题的关键．
15．（2022下·广东汕头·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点Px,y，我们把点P′−y−k,x−k叫做点P的伴随点．若点A1a,b的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A2022．则点A2022的坐标为( )
A．a,bB．−b−k,a−kC．−a,−b−2kD．b+k,−a−k
【答案】B
【分析】根据题意计算点的坐标，发现规律求解即可．
【详解】解：∵A1a,b，
根据题意可得A2−b−k,a−k，
则有−a−k−k=−a；−b−k−k=−b−2k，
∴A3−a,−b−2k；
∵−−b−2k−k=b+k；−a−k=−a−k，
∴A4b+k,−a−k；
∵−−a−k−k=a，b+k−k=b，
∴A5a,b；
…
经过计算可得，点A四个一个循环，
∴2022÷4=505余2，
∴A2022与A2的坐标相同，
∴A2022−b−k,a−k，
故选：B．
【点睛】题目主要考查点坐标的规律探索，理解题意，找准点的规律是解题关键．
16．（2022上·福建宁德·八年级校考阶段练习）若某点A位于x轴上方，距x轴5个单位长，且位于y轴的左边，距y轴10个单位长，则点A 的坐标是（ ）
A．(5，−10)B．(−5，10)C．(−10，5)D．(10，−5)
【答案】C
【分析】应先判断出点所在的象限，进而利用这个点横纵坐标的绝对值求解．
【详解】解：根据题意，则
∵点A位于x轴上方，且位于y轴的左边，
∴点A在第二象限，
∵点A距x轴5个单位长，距y轴10个单位长，
∴点A的坐标为(−10，5)；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点在第二象限时坐标的特点，注意到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
17．（2023下·江西宜春·七年级校联考期末）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AC=AD．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线B−A−D−C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AC等于（ ）

A．5B．34C．8D．23
【答案】B
【分析】根据图1和图2得当t=3时，点P到达A处，即AB=3，当S=15时，点P到达点D处，即可求解．
【详解】解：当t=3时，点P到达A处，即AB=3；
过点A作AE⊥CD交CD于点E，如图所示：

∵ AB∥CD，∠B=90°，
∴ ∠BCD=180°−∠B=90°，
∴ ∠B=∠BCD=∠AEC=90°，
∴则四边形ABCE为长方形，
∴ AB=CE，
∵AC=AD，
∴DE=CE =12 CD，
∴ AB=12CD，
∴ CD=2AB=6，
当S=15时，点P到达点D处，则S =12 CD⋅BC =12 ×6× BC=3×BC=15，
则BC=5，
由勾股定理得AD=AC=32+52=34，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了动点问题，勾股定理的应用、等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，根据题意得出CD=2AB=6，是解题的关键．
18．（2022下·广西河池·七年级统考期中）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）
A．（2 ，1）B．（－1，－1）
C．（﹣2，0）D．（2，0）
【答案】B
【分析】根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，则物体甲与物体乙的路程比为1：2，可得到物体甲和物体乙第一次相遇点为（-1，1）；第二次相遇点为（-1，-1）；第三次相遇点为（2，0）；由此得出规律，即可求解．
【详解】根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
第一次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为12×1=12 ，物体甲运动的路程为12×13=4，物体乙运动的路程为12×23=8 ，此时在BC边相遇，即第一次相遇点为（-1，1）；
第二次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为12×2=24 ，物体甲运动的路程为24×13=8，物体乙运动的路程为24×23=16，在DE边相遇，即第二次相遇点为（-1，-1）；
第三次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为12×3=36 ，物体甲运动的路程为36×13=12，物体乙运动的路程为36×23=24，在A点相遇，即第三次相遇点为（2，0）；
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2021÷3=673⋯⋯2 ，
故两个物体运动后的第2021次相遇地点的是：第二次相遇地点，即点（-1，-1）
故选：B
【点睛】本题主要考查了点的变化规律，以及行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律就可以解决问题，解题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体同时回到原点．
19．（2023下·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边AB与x轴重合，点A2,0，D−2,3，若固定点A，B，将菱形ABCD沿箭头方向推，当点C落在y轴上时，点D的坐标为（ ）
A．5,4B．5,3C．4,5D．4,3
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，则可得DE=3，OE=2，由勾股定理求出AD的长，由四边形ABCD是菱形，可得AB=BC=CD=AD=5，在图2中再根据勾股定理求出OC的长即可．
【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图1所示，
∵D−2,3，
∴DE=3，OE=2，
∴AE=4，
∴AD=42+32=5．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴OB=3．
将菱形ABCD沿箭头方向推，当点C落在y轴上时，如图2所示，
∵BC=5，OB=3，
∴OC=52−32=4．
∴此时点D的坐标为5,4，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
20．（2022·河南新乡·河南师大附中校考三模）如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE=4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF=y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图像，图像最低点的纵坐标是（ ）
A．35B．1255C．42D．532
【答案】B
【分析】如图1，连接AF，由对称的性质可得AF=CF，所以y=EF+CF=EF+AF，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，根据图2可计算BC=5，如图3，作辅助线，构建直角三角形，计算AE的长可解答．
【详解】解：如图1，连接AF，AE，AE交BD于F1，
∵在菱形ABCD中点A，点C关于BD对称，
∴AF=CF，
∴y=EF+CF=EF+AF，
当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，
如图2，当x=0时，y=6，
设BE=a，则CE=4a，
∴y=a+5a=6，
∴a=1，
∴BC=5，
由图2知：BD=6，
如图3，连接AC交BD于G，连接EG，过点E作EH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BG=12BD=3，
由勾股定理得：CG=4，
∴S△ECG=45S△BCG=12⋅CG⋅EH，
∴45×12×3×4=12×4×EH，
∴EH=125，
∴CH=CE2−EH2=42−1252=165，
∴AH=AC−CH=8−165=245，
∴AE=AH2+EH2=2452+1252=1255，
即图像最低点的纵坐标是1255．
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质，动点问题的函数图像，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
21．（2022·浙江舟山·统考一模）函数y=x1−x的自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠1
【分析】根据分式中分母不等于0的性质可求解即可．
【详解】解：函数y=x1−x中，分母1−x≠0
即：x≠1．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟悉相关性质是解题得关键．
22．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）已知点P3,m到x轴的距离为4，则点P的坐标为 ．
【答案】3,4或3,−4
【分析】根据点P到x轴的距离，可确定纵坐标为4或−4，从而可得答案．
【详解】∵点P3,m到x轴的距离为4，
∴m=3或−3，
∴点P的坐标为3,4或3,−4，
故答案为：3,4或3,−4．
【点睛】此题主要考查了点到坐标轴的距离与点的坐标之间的关系，解题的关键是明确到x轴的距离是纵坐标的绝对值．
23．（2022上·广西南宁·八年级南宁十四中校考开学考试）在来南宁旅游的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在如图的正方形网格中，她以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果表示石门森林公园的点坐标为−2,3，那么表示广西民族博物馆的点坐标为 ．
【答案】1,−2
【分析】建立平面直角坐标系，确定坐标原点的位置和每个小方格表示的单位长度，进而可确定表示广西民族博物馆的点的坐标．
【详解】解析：解：如图：
由图知，每个小方格表示单位长度1，青门山表示原点，则表示广西民族博物馆的点坐标为1,−2，
故答案为：1,−2．
【点睛】此题考查坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点的位置和每个小方格表示的单位长度．
24．（2022下·河南许昌·七年级统考期中）若点M(−1,b+2)在坐标轴上，则b的值为 ．
【答案】﹣2
【分析】根据x轴上点的纵坐标等于零，可得答案．
【详解】解：由点M（﹣1，b+2）在坐标轴上，得
b+2＝0．
解得b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了点的坐标，x轴上点的纵坐标等于零，y轴上点的横坐标为零．
25．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点P(m−1,1)关于y轴的对称点是Q(2,n)，则m+n= ．
【答案】0
【分析】本题考查了点坐标与轴对称变化，根据关于y轴对称的点的坐标变换规律：纵坐标不变，横坐标变为相反数即可得，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标变换规律是解题关键．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点P(m−1,1)关于y轴的对称点是Q(2,n)，
∴m−1=−2,n=1，
∴m=−1,n=1，
∴m+n=−1+1=0，
故答案为：0．
26．（2022下·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，有A0,1，B−1,0，C2,0三点，若D点与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标 ．
【答案】(3,1)或(1,−1)或(−3,1)
【分析】根据题意把A0,1，B−1,0，C2,0在平面直角坐标系中表示出来，再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：将点A0,1，B−1,0，C2,0在平面直角坐标系表示为如图所示：
则四边形ABCD1、四边形ABD2C和四边形ACBD3为平行四边形，
则点D的坐标为(3,1)或(1,−1)或(−3,1)，
故答案为：(3,1)或(1,−1)或(−3,1)．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及根据已知求点的坐标，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
27．（2022下·辽宁锦州·七年级统考期中）等腰三角形顶角的度数y是随着底角的度数x的变化而变化的，则y与x的关系式是 ．
【答案】y＝180°﹣2x
【分析】等腰三角形的两个底角相等，根据内角和定理，y+2x=180°，可得到y与x的关系式．
【详解】解：∵y+2x=180°，
∴y=180°-2x．
故答案为：y=180°-2x．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理及列函数关系式，关键就是利用内角和得到关系式．
28．（2023上·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A′OB′，其中点A′与点A对应，点B′与点B对应．如果A−4，0，B−1，2．请回答：

（1）点B′的坐标为 ．
（2）点A经过的路径AA′的长度为 π．（友情提示：已经有π）
【答案】 2，1 2
【分析】（1）由旋转的性质画出图形即可得到点B′的坐标；
（2）由旋转的性质可得OA=OA′=4，∠AOA′=90°，再由弧长公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意画出图如图所示：
，
∵A−4，0，B−1，2，
∴A′的坐标为0，4，B′的坐标为2，1，
故答案为：2，1；
（2）由旋转的性质可得：OA=OA′=4，∠AOA′=90°，
∴点A经过的路径AA′的长度=90π×4180=2π，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、旋转的性质、利用弧长公式进行计算，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键．
29．（2022上·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，点A为反比例函数y=−4xx<0图象上一动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，tan∠ABO=1nn>0，若点A的横坐标为m，对点B的坐标为 （用含m，n的代数式表示）．
【答案】−4nm，−mn
【分析】作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，证明△AOC∽△OBD，可得ODAC=BDOC=OBOA，根据tan∠ABO=1n可得ODAC=BDOC=OBOA=n，由点A的横坐标为m，得A的坐标为m，−4m，根据ODAC=BDOC=OBOA=n，得OD=−4nm，BD=−mn，即可得点B的坐标为−4nm，−mn．
【详解】解：如图，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠CAO+∠AOC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∴ODAC=BDOC=OBOA
∵tan∠ABO=1n，
∴ODAC=BDOC=OBOA=n，
∵点A为反比例函数y=−4xx<0图象上，且点A的横坐标为m，
∴Am，−4m，
∴OD=−4nm，BD=−mn，
∴点B的坐标为−4nm，−mn，
故答案为：−4nm，−mn．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和k的几何意义、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质和待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
30．（2022下·北京东城·七年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…，若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 ；若点A1的坐标为（a，b），且a，b均为整数，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则点A1的坐标为 ．
【答案】 （﹣3，1） （0，1）
【分析】（1）根据“伴随点”的定义依次求出A2，A3 ；（2）再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵A1的坐标为（3，1），
∴A2的横坐标为﹣1+1＝0，纵坐标为3+1＝4，
∴A2（0，4），
∴A3的横坐标为﹣4+1＝﹣3，纵坐标为0+1＝1，
∴A3（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）；
（2）解∵点A1的坐标为（a，b），
∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
{a+1>0−a+1>0 ，{−b+2>0b>0，
解得﹣1∵a，b均为整数，
∴a＝0，b＝1，
∴A1的坐标为（0，1），
故答案为（0，1）．
【点睛】本题考查对新定义的理解和运用，以及考察解不等式组，能够对新定义的快速理解和运用是解决本题的关键．
31．（2022下·安徽合肥·八年级统考期末）如图1．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图2是点P运动时，△APE的面积ycm2随时间x(s)变化的函数图象．
（1）正方形ABCD的边长为 ．
（2）当x=7时，y的值为 ．
【答案】 4 132
【分析】（1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得△APE的最大面积为8，此时P、D重合，y＝12AD•AB＝8，即可求解；
（2）先抓住关键点，知道点P到终点时，△APE的面积是6，此时P、C重合，y＝12EC•AB＝6，得EC＝3，根据图象分析当x＝7时，点P在CD上，且PD＝3，再求△APE的面积．
【详解】解：（1）设正方形的边长为a，
由图象可知，当P、D重合时，△APE的面积为8，
∴y＝12AD•AB＝8，
∴12a2＝8，
解得：a＝4（−4舍去），
∴正方形的边长为4，
故答案为：4；
（2）当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×4=6，
解得：EP=3，即EC=3，BE=1，
当x＝7时，点P在CD边上，如图，
y＝S正方形ABCD−S△ABE−S△PEC−S△APD
＝4×4−12×4×1−12×3×1−12×4×3＝132，
故答案为：132．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解．
32．（2023下·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A−3,0，B3,0，C3,2，如果以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，且点D在第三象限，那么点D的坐标是 ．

【答案】−3,−2
【分析】先由B(3,0)，C(3,2)，证明BC∥y轴，BC=2，再由以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，且点D在第三象限，证明AD=BC=2，AD∥y轴，则D(−3,−2)，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵B(3,0)，C(3,2)，
∴BC∥y轴，BC=2，
∵以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，且点D在第三象限，
∴AD∥BC，AD=BC=2，
∴AD∥y轴，
∵A(−3,0)，
∴点D的坐标是(−3,−2)，
故答案为：(−3,−2)．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定等知识，由B(3,0)，C(3,2)证明BC∥y轴，BC=2是解题的关键．
33．（2022上·四川成都·九年级统考期末）如图，将已知抛物线y1=(x+1)2−3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分（抛物线向右平移时在x轴下方扫过的部分）的面积为 ．
【答案】6
【分析】连接AB，CD，作BE⊥x轴于E，由题意知：四边形ABCD是平行四边形，且S弓形AB=S弓形CD，根据解析式得到BE=3，即可求出S阴影=S▱ABCD=AD⋅BE=2×3=6．
【详解】如图，连接AB，CD，作BE⊥x轴于E，
由题意知：四边形ABCD是平行四边形，且S弓形AB=S弓形CD，
∵y1=(x+1)2−3，
∴点B坐标为（-1，-3），
∴BE=3，
∵AD=2，
∴S阴影=S▱ABCD=AD⋅BE=2×3=6，
故答案为：6．
．
【点睛】此题考查抛物线平移的性质，平行四边形的性质，点到坐标轴的距离，将不规则图形转化为规则图形进行计算是解题的关键．
34．（2022下·江西宜春·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O为原点，点B6,2，∠ABC=45°，点M从点O出发，沿平行四边形OABC的边逆时针运动一周回到点O，当△ABM为等腰三角形时，点M的坐标为 ．
【答案】（4−22，0）或（2，2）或（6−22，2）或（4，2）
【分析】过点B作BD⊥OA于点D，求出AB的长，分四种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
【详解】解：过点B作BD⊥OA于点D，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，
∴∠B＝∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
∵B（6，2），
∴BD＝2，OD＝6，
∴OA＝4，
∴AB＝AD2+BD2=22，
若M在OA上，AB＝AM＝22，
∴OM＝4−22，
∴M（4−22，0），
若M在OC上，且AM＝AB，此时点M与C重合，
∴M（2，2），
若M在BC上，AB＝BM＝22，
∴M（6−22，2），
若M在BC上，AM＝BM＝2时，
∴M（4，2），
综上所述，点M的坐标为（4−22，0）或（2，2）或（6−22，2）或（4，2）．
故答案为：（4−22，0）或（2，2）或（6−22，2）或（4，2）．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确进行分类是解题的关键．
35．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A2,0，C−1,0，以点A为圆心，OA长为半径作圆，交x轴正半轴于点B，点D为⊙A上一动点，连接CD，以CD为边，在直线CD的上方作正方形CDEF，点D从点O出发，按顺时针方向以每秒π2个单位长度的速度在⊙A上运动，则第2022秒结束时点F的坐标为

【答案】1,3
【分析】先根据点D的运动速度求出第2022秒结束时点D的位置，再画出图形（见解析），证出△GCF≌△ADC，利用全等三角形的性质求出FG，OG的长，由此即可得．
【详解】解：∵A2,0，C−1,0，
∴OA=2,OC=1,AC=3，
∴⊙A的周长为2π×2=4π，
∵4π÷π2=8（秒），2022=8×252+6，
∴第2022秒结束时和第6秒结束时，点D的位置相同，
∵π2×6=3π，
∴第6秒结束时，点D在x轴下方的圆弧上，且OD=4π−3π=π，
如图，过点F作FG⊥x轴于点G，连接AD，则AD=2，

设∠OAD=n°，则nπ×2180=π，
解得n=90，
∴∠OAD=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF=DC,∠DCF=90°，
∴∠ACD+∠GCF=90°，
∴∠GCF=∠ADC，
在△GCF和△ADC中，
∠CGF=∠DAC=90°∠GCF=∠ADCCF=DC，
∴△GCF≌△ADCAAS，
∴CG=AD=2,FG=AC=3，
∴OG=CG−OC=1，
∴F1,3，
即第2022秒结束时点F的坐标为1,3，
故答案为：1,3．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、正方形的性质、弧长的计算、三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是正确判断出第2022秒结束时点D的位置．
三、解答题
36．（2022下·山东青岛·七年级统考期中）为表彰在“世界地球日，一起爱地球”主题活动中表现优秀的同学，某班需要购买6个书包和若干个文具盒（不少于6个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的9折收费．已知每个书包定价为30元，每个文具盒定价为5元．
(1)设需要购买x个文具盒，选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元，请分别写出y1，y2与x之间的关系式；
(2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？
【答案】(1)y1=5x+150，y2=4.5x+162
(2)24个
【分析】（1）第一种方案购买所需费用等于6个书包的费用与(x−6)个文具盒的费用之和；第二种方案购买所需费用等于6个书包的费用与x个文具盒的费用之和的9折，由此即可得；
（2）求出y1=y2时，x的值即可．
【详解】（1）解：由题意得：y1=6×30+5(x−6)，即y1=5x+150，
y2=0.9(6×30+5x)，即y2=4.5x+162．
（2）解：令y1=y2，则5x+150=4.5x+162，
解得x=24，符合题意，
答：购买24个文具盒时，两种方案所需费用相同．
【点睛】本题考查了利用关系式表示变量间的关系、一元一次方程的应用，找准等量关系是解题关键．
37．（2022下·北京密云·八年级统考期末）“互联网+”的出现，在一定程度上推动了现代物流业尤其是快递业的发展．小丹打算网购一些物品，并了解到两家快递公司的收费方式．甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价；乙公司：按物品重量每千克6元计价外加包装费10元．设小丹网购物品的重量为x千克（x为正数），根据题意列表：
(1)表格中a的值为 ；
(2)写出y乙与x的函数表达式，并在图中画出y乙的图象；
(3)若小丹网购物品的重量为4千克，如果想节省快递费用，结合函数图象，你认为小丹应选择的快递公司是 ．
【答案】(1)24
(2)y乙=6x+10，（x≥0），画函数图象见解析；
(3)甲
【分析】（1）根据甲公司的收费方式，即可求解；
（2）根据“乙公司的费用=快递重量×单价+包装费用”即可写出y乙与x的函数表达式；
（3）根据函数图象直接回答即可.
【详解】（1）解：根据甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价可知：a=20+（2-1）×4=20+4=24（元）
故答案为：24；
（2）解：由题意得：y乙=6x+10，（x≥0），
画图，如下：
（3）解：由图象可知，网购物品的重量为4千克，y1故答案为：甲.
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据数量关系，找出y乙与x的函数表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征找出y乙与x的函数图象经过的两点坐标；（3）观察函数图象解决问题．
38．（2022上·全国·八年级专题练习）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（1）若折叠后使点B与点A重合，求D点坐标；(你还能求出点C的坐标？)
（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使B′D//OB，此时你能否判断出B′C与AB的位置关系？若能，给出证明，若不能试说出理由 (你能求此时点C的坐标吗？还能…？)
【答案】（1）D(1，2)；（2）平行，见解析
【分析】（1）B与A重叠，则D为AB的中点，故横纵坐标分别为OA、OB的一半；
（2）由于对折，所以△BB'C为等腰三角形，两底角相等；同理△BB'D两底角相等．再由已知推出结论．
【详解】解：（1）如图，OA=2,OB=4,
∴A(2,0),B(0,4),
由折叠可得：D为AB的中点，
∴ D（1，2）
（2）B′C//AB，理由：如图，
因为B′D//OB，
所以∠CBB'=∠BB'D，
又因为折叠后点B落在边OA上的点为B′，
所以∠CBB'=∠BBC', ∠DBB'=∠BB'D，
所以∠CBB'=∠DBB'，
所以B′C//AB．
【点睛】本题考查直角坐标系中图形的变化和规律，灵活运用三角形相关知识是本题解题关键．
39．（2022上·辽宁丹东·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、点B在网格中的位置如图所示，
（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A、点B的坐标分别为（﹣2，3）、（﹣1，﹣4）．
（2）点C的坐标为（﹣5，﹣1），在平面直角坐标系中标出点C的位置，连接AB、BC、CA．
（3）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（4）直接写出△ABC是何特殊的三角形．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）△ABC是等腰直角三角形．
【分析】（1）首先确定原点的位置，然后再画出直角坐标系即可；
（2）利用直角坐标系确定C点的位置即可；
（3）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点的位置，再连接即可；
（4）利用勾股定理计算出AB、AC、BC的长，然后利用勾股定理逆定理可得答案．
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（4）∵A(−2，3) ，B(−1，−4) ，C(−5，−1) ，
∴AB=12+72=52 ，
BC=32+42=5 ，
AC=32+42=5 ，
∴BC2+AC2=AB2 ，BC=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．
40．（2022下·河北石家庄·八年级校考期中）下面的图象记录了某地1月份某天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题．
（1）20时的温度是__℃，最暖和的时刻是___时，温度是0℃的时刻是___时，温度在﹣3℃以下的持续时间为______h．
（2）你从图象中还能获取哪些信息（写出2条即可）．
【答案】（1）﹣1，14时，12时和18时，8；（2）答案不唯一；如：①最冷的时刻是4时；②0时的温度是﹣3℃．
【分析】（1）先由图象可知：横轴表示时间、纵轴表示温度；然后根据图象解答即可；
（2）可在图象上寻找具体的时刻相对应的温度或者最值等信息即可．
【详解】解：（1）根据图象得：横轴表示时间、纵轴表示温度；
当时间为20时，温度是-1℃，最暖和的时刻是14时，温度是0℃的时刻是12时和18时，温度在-3℃以下的持续时间为8h．
故填-1，14，12时和18时，8；
（2）可在图象上寻找具体的时刻相对应的温度或者最值等信息：
答案不唯一，如：①最冷的时刻是4时，②0时的温度是-3℃．
【点睛】本题主要考查了函数图象，审清题意、明确图意、找到相应的等量关系是解答本题的关键．
41．（2022下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，正方形ABCD的四个顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点B，C的坐标分别为0,0和4,3．
(1)若点Px0,y0经平移后对应点为P1x0+3,y0，将正方形ABCD作同样的平移得到正方形A1B1C1D1，画出平移后的正方形A1B1C1D1，并直接写出点D1的坐标；
(2)正方形ABCD的面积是______，正方形ABCD的边长是______；
(3)直接写出点B到C1D1的距离．
【答案】(1)详见解析，D14,7
(2)25，5
(3)7.4
【分析】（1）由点B，C的坐标分别为0,0和4,3可建立坐标系，然后由点Px0,y0经平移后对应点为P1x0+3,y0可知图形的平移方式为向右平移3个单位长度，进而问题可求解；
（2）根据格点可进行求解正方形的面积，然后边长可求解；
（3）延长BC交C1D1于点H．利用面积法求出CH，可得结论．
【详解】（1）解：由点B，C的坐标分别为0,0和4,3可建立如下坐标系，由点Px0,y0经平移后对应点为P1x0+3,y0可知图形的平移方式为向右平移3个单位长度，如图所示，
∴D14,7；
（2）解：由（1）图可知：正方形ABCD的面积是7×7−4×12×3×4=25，则正方形ABCD的边长是5；
故答案为：25，5；
（3）解：延长BC交C1D1于点H．
∴在Rt△CD1C1中，CH⊥C1D1，
∴ 12⋅CC1×CD1=12×C1D1×CH，
∴CH=125，
∴点B到C1D1的距离=5+125=375．
【点睛】本题考查作图−平移变换，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
42．（2022下·福建福州·七年级统考期中）如图，把三角形ABC向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′，其中点A′、B′、C′分别为A、B、C的对应点．
(1)在图中画出三角形A'B′C'，并直接写出点B的坐标： ；
(2)若BC边上一点P经过上述平移后的对应点为P′（m，n），用含有m，n的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可）
(3)求出三角形A′B′C′的面积．
【答案】(1)（﹣5，2）
(2)点P的坐标为（m﹣3，n﹣4）
(3)S三角形A′B′C′=252
【分析】（1）根据平移的性质作出三角形A'B'C'，根据平面直角坐标系写出点B的坐标；
（2）根据平移的性质写出点P的坐标；
（3）根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）（1）平移后的三角形A'B'C'如图所示，
由平面直角坐标系可知：点B的坐标为（﹣5，2），
故答案为：（﹣5，2）；
（2）∵点P平移后的对应点为P′（m，n），三角形ABC向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′，
∴点P的坐标为（m﹣3，n﹣4）；
（3）过点B'作A'C'的垂线B'D交直线A'C'于D，
则B'D＝5，A'C'＝5，
∴S三角形A′B′C′=12×5×5=252．
【点睛】本题考查的是平移的性质、三角形的面积计算，掌握平移规律是解题的关键．
43．（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，将线段AB直接平移到MN，使点A移至点M的位置，点B移至点N的位置，设平移过程中线段AB扫过的面积为S．
（1）如图1，若点N的坐标是(3，1)，则点M的坐标为 ，请画出平移后的线段MN；
（2）如图2，若点M的坐标是(3，1)，画出平移后的线段MN并求出S的值；
（3）若S＝2.5，且点M在x轴上，请直接写出满足条件的M点的坐标．
【答案】（1）（5，0），画图见解析；（2）画图见解析，S=3；（3）（4.5，0）或（-0.5，0）
【分析】（1）根据平移的性质作出图形即可．
（2）根据平移的性质作出图形即可，利用割补法求解即可．
（3）根据S=2.5求出扫过的平行四边形的底，从而可得点M坐标．
【详解】解：（1）如图，M（5，0），线段MN即为所求．
（2）如图，线段MN即为所求．S=2×3-2×12×1×1-2×12×1×2=3，
（3）由题意：2.5÷1=2.5，
∵A（2，0），
∴当M在x轴上时，M（4.5，0）或（-0.5，0），
【点睛】本题考查作图平移变换，平行四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
44．（2022上·福建泉州·九年级泉州五中校考期中）小明用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象，列表如下：
(1)由于粗心，小明算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x=____________；
(2)在图中画出这个二次函数y=ax2+bx+c的图象；
(3)当−3≤x≤0时，y的取值范围是____________．（直接写出答案）
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)−4≤y≤0
【分析】（1）认真观察表格中的数据，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点，是抛物线上的两个对称点，从而寻找对称轴和顶点坐标，设抛物线的顶点式，求解析式，再逐一检验；
（2）利用描点、连线，画出函数图象即可；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：从表格可以看出，当x=−2或x=0时，y=−3，
可以判断(−2,−3)，(0,−3)是抛物线上的两个对称点，
(−1,−4)就是顶点，设抛物线顶点式y=a(x+1)2−4，
把(0,−3)代入解析式，−3=a−4，解得a=1，
所以，抛物线解析式为y=(x+1)2−4，
当x=2时，y=(2+1)2−4=5，
当x=−4时，y=(−4+1)2−4=5，
所以这个错算的y值所对应的x=2，
故答案为：2；
（2）解：画出这个二次函数y=ax2+bx+c的图象如图：
（3）解：−3≤x≤0由图象可知：当−3≤x≤−1时，y随着x增大而减小，
当−1≤x≤0时，y随着x增大而增大，
当x=−1时，取到最小值y=−4，
当x=−3时，y=0，
当x=0时，y=−3，
故答案为：−4≤y≤0．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找对称点，顶点坐标及对称轴，与x轴(y轴）的交点，确定二次函数的解析式是解题的关键．
45．（2023下·广西河池·七年级统考期末）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点均为格点，将△ABC沿x轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点），解答下列问题：

(1)画出平移后的△A′B′C′，并直接写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)连接AA′，BB′，求四边形AA′B′B的面积．
【答案】(1)画图见解析，A′−1,5，B′−4,0 ，C′−1,0
(2)25
【分析】（1）由题意直接根据图形平移的性质画出△A′B′C′，并写出各点坐标即可；
（2）由题意可得四边形AA′B′B是平行四边形，根据平行四边形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求，
，
观察图象可知点A′、B′、C′的坐标分别为：A′−1,5，B′−4,0 ，C′−1,0．
（2）解：如图，

∵将△ABC沿x轴向左平移5个单位长度得到△A′B′C′，
∴AB∥A′B′，AB=A′B′，BB′=5，
∴四边形AA′B′B是平行四边形，
又高AC=5，
∴平行四边形AA′B′B的面积5×5=25．
【点睛】本题考查的是作图-平移变换，平行四边形的判定等，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
46．（2022下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．
（1）已知A(−3,2)，请写出B、C的坐标：B（______，______），C（______，______）；
（2）将△ABC先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1，则点B的对应点B1的坐标为：B1（______，______）；
（3）若△MBC的面积为3，则满足条件的格点M有______个．
【答案】（1）-5；1；-2；0；（2）见解析；1；4；（3）10
【分析】（1）根据点B,C在平面直角坐标系的位置直接写出坐标即可；
（2）分别确定A,B,C平移后的对称点A1,B1,C1, 再顺次连接A1,B1,C1即可，再根据B1的位置写出坐标即可；
（3）如图，由△M1BC,△M2BC的面积都等于3, 所以分别过M1,M2作BC的平行线，可得到与网格线交于格点的数量，从而可得答案.
【详解】解：（1）由点B在平面直角坐标系的位置可得：B(−5,1)，C(−2,0)
（2）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，且B1(1,4).
（3）如图，由△M1BC,△M2BC的面积都等于3,
所以分别过M1,M2作BC的平行线，得到与网格线相交于10个格点，
当△MBC的面积为3，则满足条件的格点M有10个.
【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的作图，网格图中等面积的三角形的特点，掌握以上知识是解题的关键.
47．（2022上·广东云浮·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为A5,0，B0,3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在线段AO上时，OP=________；当点P在线段AO的延长线上时，OP=________；（用含t的式子表示）
(2)连接PB，若△POB的面积为3，求t的值；
(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，当点P在运动过程中，是否存在这样点P，使△POE与△AOB全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5−t，t−5
(2)3或7
(3)存在，2或8
【分析】（1）根据题意，点P在线段AO上时，OP=OA−AP，点P在线段AO的延长线上时，OP=AP−AO，即可求解；
（2）根据（1）的结论，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解；
（3）根据全等三角形的性质，分类讨论，根据全等的性质列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：依题意，AP=t，AO=5，当点P在线段AO上时，OP=OA−AP=5−t
当点P在线段AO的延长线上时，当点P在线段AO的延长线上时，OP=AP−AO=t−5；
故答案为：5−t，t−5；
（2）当点P在线段AO上时，
S△POB=12OP⋅BO=12×5−t×3=3．
解得t=3．
当点P在线段AO的延长线上时，
S△POB=12OP⋅BO=12×t−5×3=3．
解得t=7．
∴当t=3或t=7时，△POB的面积为3．
（3）存在点P使△POE与△AOB全等．
当点P在线段AO上时，如图①．
∵PD⊥AB，直线PD与y轴交于点E，
∴∠DBE+∠BED=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠BOA=∠POE=90°．
∴∠ABO+∠BAO=90°．
∴∠BAO=∠BED．
∴当OP=OB时，△POE≌△BOA．
∴5−t=3．解得t=2．
当点P在线段AO的延长线上时，如图②．
同上可得∠BOA=∠POE=90°，∠BAO=∠BED．
∴当OP=OB时，△POE≌△BOA．
∴t−5=3．
解得t=8．
∴当t=2或t=8时，△POE≌△BOA．
【点睛】本题考查了坐标与图形，列代数式，一元一次方程的应用，全等三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
48．（2022上·辽宁抚顺·九年级统考期末）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式−−利用函数图象研究其性质−−运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时我们也学习了绝对值的意义a=a(a≥0)−a(a<0)，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y=|kx−1|+b中，当x=2时，y=−3；x=0时，y=−2．
（1）求这个函数的表达式；
（2）用列表描点的方法画出该函数的图象；请你先把下面的表格补充完整，然后在下图所给的坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（4）已知函数y=−2x(x>0)的图象如图所示，与y=|kx−1|+b的图象两交点的坐标分别是(23+4，3−2)，(22−2，−2−1)，结合你画的函数图象，直接写出|kx−1|+b≤−2x的解集．
【答案】（1）y=12x−1−3（2）见解析（3）函数关于直线x=2对称（4）22−2≤x≤23+4
【分析】（1）根据在函数y=|kx−1|+b中，当x=2时，y=−3；x=0时，y=−2，可以求得该函数的表达式；
（2）根据表格数据以及（1）中的数据求出当x=−6和x=6时y的值，然后描点连线即可；
（3）根据图像得出图像性质即可；
（4）根据函数图像写出y=|kx−1|+b的图像在y=−2x(x>0)的图像下方时所对应的自变量取值范围即可．
【详解】解：（1）∵在函数y=|kx−1|+b中，
当x=2时，y=−3；x=0时，y=−2，
∴2k−1+b=−3−1+b=−2，
解得：k=12b=−3，
∴这个函数的解析式为：y=12x−1−3；
（2）∵函数解析式为：y=12x−1−3，
当x=−6时，y=12×(−6)−1−3=1，
当x=6时，y=12×6−1−3=−1，
故补全表格如下：
描点、连线，画出函数图像如图：
（3）观察函数图像，得出函数的性质：
①函数关于直线x=2对称；
②函数有最小值-3；
③函数在x＜2时，y随x增大而减小，
在x>2时，y随x增大而增大；
任意写一条即可；
（4）∵图象两交点的坐标分别是(23+4，3−2)，(22−2，−2−1)，
由图像可知，|kx−1|+b≤−2x的解集为：
22−2≤x≤23+4．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
49．（2022·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考三模）【定义】在平面直角坐标系xOy中，如果点A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y=x上，那么称该菱形为点A，C的“阳光菱形”，如图是点A，C的“阳光菱形”的一个示意图．

【运用】已知点M的坐标为2，2，点P的坐标为4，4．
(1)下列各组点，能与点M，P形成“阳光菱形”的是______．（直接填写序号）
①E−4，10，F10,−4 ；②G1，6，H6，1 ；③I0，5，J5，0．
(2)如果四边形MNPQ是点M，P的“阳光菱形”，点N在MP下方，且面积为16．
①求点N、点Q的坐标；
②如果直线y=kx−3k与折线MN−NP有唯一公共点，直接写出满足条件的k的取值范围．
【答案】(1)①
(2)①点N的坐标为7,−1，Q的坐标为−1,7②k≤−2或k>4或k=−14
【分析】（1）根据“阳光菱形”的定义进行判断即可．
（2）①求出PM=22，根据四边形MNPQ的面积为16，求出QN=82，得出EM=2，EN=42，作直线QN，交x轴于A，过点N作x轴的平行线交直线y=x于点M′，求出M′N=422+422=8，OM′=42−32=2，得出点M′在直线y=x上，设M′m,m，根据m2+m2=22，解得：m=1（舍去）或m=−1，得出点N的坐标为7,−1，根据中点坐标求出点Q−1,7；
②根据直线y=kx−3k总是经过3,0，求出当直线经过点M时，k=−2；当直线经过点P时，k=4，当直线经过点N时， k=−14；结合图象得出k的范围即可．
【详解】（1）解：∵点M的坐标为2，2，点P的坐标为4，4都在直线y=x上，
∴MP为“阳光菱形”的对角线，
∴另外两个点的中点坐标与MP的中点3,3重合，
∵E−4，10，F10,−4的中点为3,3，且ME=−4−22+10−22=10，
EP=−4−42+10−42=10，
PF=10−42+−4−42=10，
MF=10−22+−4−22=10，
∴ME=EP=PF=MF，
∴四边形MEPF是菱形，
故点E、F能与点M，P形成“阳光菱形”，故①正确；
∵G1，6，H6，1的中点为72，72，
∴点G、H不能与点M，P形成“阳光菱形”，故②错误；
∵I0，5，J5，0的中点为52，52，
∴I、J不能与点M，P形成“阳光菱形”，故③错误；
故答案为：①．
（2）解：①如图“点M的坐标为2，2，点P的坐标为4，4，
∴PM=22，
∵四边形MNPQ的面积为16，
∴S四边形MNPQ=12PM⋅QN=16，
即12×22⋅QN=16，
∴QN=82，
∵四边形MNPQ是菱形，
∴QN⊥MP，EM=2，EN=42，
作直线QN，交x轴于A，过点N作x轴的平行线交直线y=x于点M′，
∵M2，2，
∴OM=22+22=22，
∴OE=22+2=32，
∵M和P在直线y=x上，
∴∠MOA=∠M′=45°，
∴△EM′N是等腰直角三角形，
∴EM′=EN=42，
∴M′N=422+422=8，OM′=42−32=2，
∵点M′在直线y=x上，
∴设M′m,m，
则m2+m2=22，
解得：m=1（舍去）或m=−1，
则点M′−1,−1，故点N的纵坐标为：−1，
点N的横坐标为：8−1=7，则点N的坐标为7,−1，
∵P、Q的中点E的坐标为3,3，
∴点Q的坐标为：2×3−7,2×3+1，
即Q−1,7；

②∵直线y=kx−3k=kx−3，当x=3时，y=0，
∴直线y=kx−3k总是经过3,0，
当直线经过点M时，2k−3k=2，
解得：k=−2，
当直线经过点P时，4k−3k=4，
解得：k=4，
当直线经过点N时，7k−3k=−1，
解得：k=−14；
∴根据函数图象可知，k≤−2或k>4或k=−14时，直线y=kx−3k与折线MN−NP有唯一公共点．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，两点间距离公式，一次函数的性质，解题的关键是数形结合，理解题意．
50．（2022上·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：若图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤1，则称点P为图形M的和谐点．已在点A(3，3)，B(−3，3)．
(1)在点P1(−2，2)，P2 (0，3.5)，P3 (4，0)中，直线AB的和谐点是 ；
(2)点P在直线y=x−1上，若点P是直线AB的和谐点，求点P的横坐标x的取值范围；
(3)已知点C(−3，−3)，D(3，−3)，若直线y=x+b上存在正方形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是正方形ABCD的和谐点，且EF>2，直接写出b的取值范围 ．
【答案】(1)P1，P2
(2)3≤x≤5；
(3)-7＜b＜7
【分析】（1）作出直线AB图象、描出点P1，P2，P3，由和谐点定义结合图象即可；
（2）设出P的坐标，由和谐点的定义，找出直线y=x-1上是直线AB最远距离的和谐点，求出x的临界值，即得x范围；
（3）根据图象结合和谐点的定义找出临界位置的b,再由对称性，写全范围即可．
【详解】（1）解：如图，作出直线AB，由图可知，

P3到直线AB的距离为3不符合和谐点条件，
P1，P2到直线AB的距离分别是1和0.5，符合和谐点条件，
故答案为：P1，P2；
（2）解：∵点P为直线y=x-1上一点，P的横坐标为x，
∴P的坐标为（x，x-1），
要使P为直线AB的和谐点，则只需P到直线AB的距离最大为1，
∴|x-1-3|=1，
解得：x=5或3，
∴3≤x≤5；
（3）解：如图，
当b=7时，图中线段EF上的点都是正方形ABCD的和谐点，且EF=2，
当直线EF穿过正方形中间时始终存在线段EF，使得它上的点都是正方形ABCD的和谐点，且EF＞2，
再由对称性知，
b的范围为-7＜b＜7．
故答案为：-7＜b＜7．
【点睛】本题是函数新定义题，考查了新定义“和谐点”的概念，一次函数图象及平移，正确地理解新定义“和谐点”，画出图象及考虑对称性是本题的关键．
【能力提升】
51．（2024上·北京大兴·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横纵坐标的绝对值之和等于点Q的横纵坐标的绝对值之和，则称P，Q两点为“等和点”．下图中的P，Q两点即为“等和点”．
(1)已知点A的坐标为−2,4．
①在点S0,2,T1,5,W2,−4中，与点A为“等和点”的是 （只填字母）；
②若点B在第一象限的角平分线上，且A，B两点为“等和点”，则点B的坐标为 ．
(2)已知点C的坐标为3,0，点D的坐标为0,−3，连接CD，点M为线段CD上一点，过点Nn,0作x轴的垂线l，若垂线l上存在点M的“等和点”，求n的取值范围．
【答案】(1)①T、W；②3,3
(2)−3≤n≤3
【分析】（1）①由“等和点”的定义进行判断即可；
②由“等和点”的定义可求解；
（2）先求出直线CD的解析式为y=x−3，设点M的坐标为m,m−30≤m≤3，求出m+m−3=m+3−m=3，设直线l上任意一点的坐标为n,y，根据“等和点”的定义得出n+y=3，根据y≥0，得出n≤3，即可求出n的取值范围．
【详解】（1）解：①∵点A的坐标为−2,4，
∴−2+4=6，
∵点S0,2,T1,5,W2,−4，
∴0+2=2，1+5=6，2+−4=6，
∴与点A是“等和点”的是T、W，
故答案为：T、W；
②∵点B在第一象限的角平分线上，
∴设点B的坐标为b,bb>0，
∵A，B两点为“等和点”，
∴b+b=6，
解得：b=3，
∴点B3,3，
故答案为：3,3；
（2）解：∵点C的坐标为3,0，点D的坐标为0,−3，
∴设直线CD的解析式为y=kx−3，
把3,0代入得：3k−3=0，
解得：k=1，
∴直线CD的解析式为y=x−3，
∵点M在线段CD上，
∴设点M的坐标为m,m−30≤m≤3，
∴m+m−3=m+3−m=3，
∵过点Nn,0作x轴的垂线l，
∴设直线l上任意一点的坐标为n,y，
∵直线l上存在点M的“等和点”，
∴n+y=3，
∵y≥0，
∴n≤3，
∴−3≤n≤3．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，绝对值的意义，点的坐标规律，理解“等和点”的定义并运用是解题的关键．
52．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）对于平面直角坐䏡系中的点Pa,b，若点P′的坐标为a+bk,ka+b（其中k为常数，且k>0），则称点P′为点P的“k之立信点”．例如：P1,4的“2之立信点”为P′1+42,2×1+4，即P′3,6．
(1)点P1,3的“3之立信点”P′的坐标为________．
(2)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k之立信点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，求k的值；
(3)在（2）的条件下，若关于x的分式方程3−2xx−3+2+mx3−x=k无解，求m的值．
【答案】(1)2，6；
(2)1；
(3)m=−3或m=−53．
【分析】（1）根据点P′为点P的“k之立信点”的定义计算；
（2）根据x轴的正半轴上点的特征、点P′为点P的“k之立信点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
【详解】（1）解：当a=1，b=3，k=3时，
1+33=2，3×1+3=6，
∴点P1,3的“3之立信点”P′的坐标为2，6，
故答案为：2，6；
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a>0．
∴点P的坐标为a，0，
∵点P的“k之立信点”为P′点，
∴点P′的坐标为a，ka，
PP′⊥OP时，
∵△OPP′为等腰直角三角形，
∴OP=PP′，
∵a>0，k>0
∴a=ka，
∴k=1．
故答案为：1；
（3）当k=1时，去分母整理得：m+3x=4，
∵原方程无解，
∴①m+3=0，即m=−3，
②x−3=0，即x=3，则3m+3=4，m=−53；；
综上所述，m=−3或m=−53．
【点睛】本题考查的是三角形的综合题，等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，掌握点P'为点P的“k之立信点”的定义、分式方程的解法是解题的关键．
53．（2023上·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C都在x轴上，给出如下定义：若点P为x轴上一点，且点P与△ABC的一个顶点的距离恰好等于△ABC的边长，则称点P为△ABC的友好点，这个距离称为点P和△ABC的友好距离，记作d．

(1)若点P和△ABC的友好距离d=6，写出△ABC的顶点B的坐标______，顶点C的坐标______；
(2)如图，等边△ABC的顶点B坐标为−1,0，顶点C坐标为1,0．
①在P1−3,0，P2−1,0，P32,0中，△ABC的友好点是______；
②已知点E坐标为m,0，点F坐标为m+4,0，若线段EF上恰有两个△ABC的友好点，直接写出m的取值范围是______．
【答案】(1)(−3,0),(3,0)
(2)①P1−3,0，P2−1,0②−5≤m≤1且m≠−3且m≠−1
【分析】本题为新定义类型的综合题，考查了等边三角形的性质，平面直角坐标系．
（1）根据新定义的友好距离d=6，得BC=6，再由等边三角形的性质即可；
（2）①根据新定义即可判断，② △ABC的友好点分别是点(−3,0),(−1,0),(1,0),(3,0),再根据题意列不等式组即可．
本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．
【详解】（1）解：∵点P与△ABC的一个顶点的距离恰好等于△ABC的边长，且d=6，
∴BC=6，
∵等边△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C都在x轴上，
∴OB=OC=12BC=3，
∴B(−3,0),C(3,0)，
故答案为：(−3,0),(3,0)；
（2）解：①∵等边△ABC的顶点B坐标为−1,0，顶点C坐标为1,0，
∴BC=2，即d=2，
∵P1B=2，P2A=2，
故P1−3,0，P2−1,0是△ABC的友好点．
∵P3B=3,P3C=1，
在Rt△AOC中，OC=1,AC=2，
∴OA=AC2−OC2=22−12=3，
在Rt△AOP3中，P3A=OA2+OP32=7>2，
故P32,0不是△ABC的友好点．
故答案为：P1−3,0，P2−1,0；
②由题意得：△ABC的友好点分别是点(−3,0),(−1,0),(1,0),(3,0),
m≤1m+4≥−1，
解得：−5≤m≤1，
当m=−3或m=−1时，有三个友好点，
∴m≠−3且m≠−1，
故m的取值范围是−5≤m≤1且m≠−3且m≠−1，
故答案为：−5≤m≤1且m≠−3且m≠−1．
54．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”．
(1)当P12.5,0时，
①如果点P1的4倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为____________；
②如果点Mx,y是点P1的k倍关联点，且满足x=2.5，5≤y≤67，那么整数k的最大值为______；
(2)已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，A2b−1,0，B2b+1,0．若P2−1,0，且在△ABC的边上存在点P2的4倍关联点Q，求b的取值范围．
【答案】(1)①12.5,0 或−7.5,0；②6
(2)−3≤b≤−2或0≤b≤2
【分析】（1）①根据P1的4倍关联点M在x轴上，利用关联的定义求解即可；
②根据点M(x，y) 是点P1的k倍关联点，且满足x=2.5，5≤y≤67，列出不等式，即可求解；
（2）先说明点Q在以P2(−1,0)为圆心，2为半径的圆上，以点C在x轴下方为例分析，即可得到b的取值范围．
【详解】（1）解：①∵点P1的坐标为2.5,0，
∴ 点P1到原点的距离为2.5，
∴a=2.5，
∴4a=10，
∵点P1的4倍关联点M在x轴上，
∴点M的横坐标为2.5+10=12.5或2.5−10=−7.5，
∴点M的坐标是12.5,0 或−7.5,0，
故答案为：12.5,0 或−7.5,0．
②∵点Mx，y是点P1的k倍关联点，且x=2.5，a=2.5，
∴MP1=2.5k，
∴k=25MP1=252.5−2.52+y−02=25y2，
∵5≤y≤67，
∴k=25y，
∴2≤k≤1275
∵6<1275<7
∴整数k的最大值是6，
故答案为：6．
（2）解：∵A2b−1,0，B2b+1,0，
∴AB=2，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB=4，
∵点Q为点P2的4倍关联点，P2(−1,0)，
∴QP2=4OP2=4．
即点Q在以P2−1,0为圆心，4为半径的圆上，
当点C在x轴下方时，如图所示，
由图可知，−5≤2b+1≤−3或1≤2b+1≤5，
解得：−3≤b≤−2或0≤b≤2；
当点C在x轴上方时，结论相同，
∴b的取值范围是−3≤b≤−2或0≤b≤2．
【点睛】此题考查了点的坐标、无理数的估算、一元一次不等式组的解法、直角三角形的性质，读懂题意，数形结合是解题的关键．
55．（2023下·江西赣州·七年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．

(1)已知点A的坐标为−3,1．
①则点A的“长距”是 ．
②在点E0,3，F3,−3，G2,−5中，为点A的“等距点”的是______；
③若点B的坐标为B2,m+6，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______；
(2)若T1−1,−k−3，T24,4k−3两点为“等距点”，求k的值．
【答案】(1)①3；②E、F；③−3或−9．
(2)k的值是1或2
【分析】（1）①根据定义分别求得点A到x轴，y轴的距离，即可求解；
②求出点E，F，G的“长距”，找到与点A是“等距点”的点；
③根据“等距点”的定义可得点B2,m+6的“长距”是3，从而得到m+6=3，解方程即可求解；
（2）由于点T1−1,−k−3到x轴的距离为−k−3，到y轴的距离为1，点T24,4k−3到x轴的距离为4k−3，到y轴的距离为4，又T1，T2为“等距点”，可分两种情况讨论：①若4k−3≥4，则−k−3=4k−3，②若4k−3<4，则−k−3=4，解之即可解答．
【详解】（1）①∵点A的坐标为−3,1，
∴点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，
∴点A的“长距”是3．
故答案为：3
②∵点E0,3的“长距”是3，
点F3,−3的“长距”是3，
点G2,−5的“长距”是5，
∴点A的“等距点”是点E，F．
故答案为：E，F
③∵点A，B两点为“等距点”，且B2,m+6，
∴m+6=3，
解得m=−3或m=−9．
故答案为：−3或−9
（2）∵点T1−1,−k−3到x轴的距离为−k−3，到y轴的距离为1，
点T24,4k−3到x轴的距离为4k−3，到y轴的距离为4，
又T1，T2为“等距点”，
∴①若4k−3≥4，则−k−3=4k−3，
解得k=0（舍去）或k=2．
②若4k−3<4，则−k−3=4，
解得k=1或k=−7（舍去）
综上所述，k=1或k=2．
【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，绝对值方程，理解定义，分类讨论是解题的关键．
物品重量（千克）
0.5
1
1.5
2
…
x
甲公司费用（y甲元）
20
20
22
a
…
y甲
乙公司费用（y乙元）
3
16
19
22
…
y乙
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
…
y
…
5
0
−3
−4
−3
0
−5
…
x
…
−6
−4
−2
0
2
4
6
…
y
…

0
−1
−2
−3
−2

…
x
…
−6
−4
−2
0
2
4
6
…
y
…
1
0
−1
−2
−3
−2
-1
…