专题02 一次函数及其应用（知识串讲+10大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）一次函数图像与定义
（1）形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（2）注意：理解一次函数概念应注意下面两点：
①解析式中自变量x的次数是1次
②自变量x的系数为常数
③正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（二）一次函数图像性质
（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与性质
（2）一次函数与坐标轴的交点坐标：
①求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，
②求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故与y轴的交点是(0，b)；
③正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
（三）一次函数的平移
（1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
（2）左右平移变x，上下平移变等号右边的整体（口诀：左加右减；上加下减）
（四）待定系数法求解解析式
（1）关键：确定一次函数y=kx+b(k≠0)中的字母与的值。
（2）步骤：
①设一次函数表达式；
②根据已知条件将x，y的对应值代人表达式；
③解关于k，b的方程或方程组；
④确定表达式。
（3）若两条直线平行，那么它们的k相等
（五）一次函数与方程、不等式关系
（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
（2）一次函数与方程组：二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标.
（3）一次函数与不等式
①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
（六）一次函数的实际应用
（1）一般步骤
①设出实际问题中的变量；
②建立一次函数关系式；
③利用待定系数法求出一次函数关系式；
④确定自变量的取值范围；
⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
⑥做答.
（2）方案问题
①“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。
②命题角度：
★求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值；
★利用一次函数进行方案选择；
★利用一次函数解决个税收取问题；
★利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。
（3）最值问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。
考点一遍过
考点1：正比例函数定义
典例1：（2023上·河北廊坊·九年级新世纪中学校考阶段练习）如图，AB=10，点P在线段AB上（点P不与点A，B重合），以BP为边作正方形BCDP．设BP=x，AP=y，正方形BCDP的面积为S，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系图
【答案】A
【分析】根据AB=10可得y=−x+10，则y与x成一次函数，再根据正方形的面积公式可得S=x2，则S与x满足的函数关系是二次函数关系．
【详解】解：由题意得：y=−x+10、S=x2 ，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键．
【变式1】（2023下·全国·八年级专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（ ）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y
D．正方体的体积V和棱长m
【答案】A
【分析】根据正比例函数定义即可得答案．
【详解】A．根据正方形的周长公式可得C=4a，这是一个正比例函数；
B．根据速度=路程÷时间可得v=st，这是一个反比例函数；
C．根据剩下的长度=总长−减去的长度可得y=40−x，这是一个一次函数；
D．根据正方体的体积公式，可得V=m3，是一个三次函数，不是正比例函数．
故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数定义和表达式，掌握其概念是解题关键．
【变式2】（2022上·山东日照·九年级校考阶段练习）对于关于x的函数y=(m+1)xm2−m+3x，下列说法错误的是( )
A．当m=−1时，该函数为正比例函数B．当m2−m=1时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，m=2或m=−1D．当该函数为二次函数时，m=2
【答案】C
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】A、当m=−1时，该函数y=3x为正比例函数，故不符合题意；
B、当m2−m=1时，m=1±52，即m+4≠0，该函数为一次函数，故不符合题意；
C、当m=−1时，该函数y=3x为正比例函数，故符合题意；
D、当该函数为二次函数时，m=2，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
【变式3】（2022下·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）已知函数y=m−2xm2−3+n+2，（m ，n是常数）是正比例函数，m+n的值为（ ）
A． −4或0B． ±2C．0D． −4
【答案】D
【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，）的函数，叫做正比例函数．
【详解】∵函数y=m−2xm2−3+n+2，（m ，n是常数）是正比例函数，
∴m2−3=1①m−2≠0②n+2=0③，
解得，m=±2m≠2n=−2，
∴m=−2n=−2，
∴m+n=−4．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式．
考点2：正比例函数图像性质
典例2：（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）在正比例函数y=kx(k≠0)中，若y的值随x的值的增大而减小，则二次函数y=x2−x+k−1的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一次函数的图象与性质以及二次函数图象与x轴交点问题．由在正比例函数y=kx(k≠0)中，y的值随x值的增大而减小，可得k<0，再令x2−x+k−1=0，从而可判断关于x的一元二次方程x2−x+k−1=0根的判别式Δ>0，即可得答案．
【详解】解：∵在正比例函数y=kx(k≠0)中，y的值随x值的增大而减小，
∴k<0，
二次函数y=x2−x+k−1中，令y=0，得x2−x+k−1=0，
关于x的一元二次方程x2−x+k−1=0根的判别式△=−12−4k−1=−4k+5，
∵k<0时，−4k+5>0，
∴Δ>0，
∴关于x的一元二次方程x2−x+k−1=0根有两个不相等的实数根，即二次函数y=x2−x+k−1的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
【变式1】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知y与x−1成正比例，且当x=3时，y=4．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若点−1,m在这个函数图像上，求m的值．
【答案】(1)y=2x−2
(2)m=−4
【分析】（1）根据y与x−1 成正比例，设y与x的函数表达式，然后将x=3 ，y=4代入求解即可；
（2）将−1,m代入函数表达式中可得到关于n的一元一次方程，然后解一元一次方程求出n的值．
【详解】（1）解：由 y与x−1 成正比例可设：y=kx−1k≠0 ；
将x=3 ，y=4代入得：3−1k=4，
解得：k=2
∴ y与x的函数解析式为：y=2x−1=2x−2；
（2）解：将点−1,m 代入y=2x−2中得：
m=2×−1−2
解得：m=−4．
【点睛】本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图像与函数关系式；其中熟练运用待定系数法求参数的值，是解决本题的关键．
【变式2】（2022下·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）已知y是x的正比例函数，当x=3时，函数y的值等于−6．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中作出函数图像，若点P−1,m的图像上，求m的值．
【答案】(1)y=−2x
(2)2
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）将点P−1,m代入（1）中解析式中求解即可．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为y=kx，
∵当x=3时，函数y的值等于−6，
∴3k=−6，则k=−2，
∴正比例函数的解析式为y=−2x；
（2）解：在直角平面坐标系中作出函数图像，如图，
∵P−1,m在函数图像上，
∴m=−2×−1=2．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式、画正比例函数图像、正比例函数图像上点的坐标特征，正确求得正比例函数的解析式是解答的关键．
【变式3】（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）平面直角坐标系内有两点A(−2，1)、B(3，1)，如果正比例函数y=kx的图象与线段AB有交点，那么k的取值范围是( )
A．−2≤k≤3B． k≤−2或k≥3
C．−12≤k≤13D． k≤−12或k≥13
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键．
如图，由题意知，根据A(−2，1)、B(3，1)，确定此时的k值，然后根据正比例函数y=kx的图象越靠近y轴，k的值越大，进行作答即可．
【详解】解：如图，

将A(−2，1)、B(3，1)分别代入y=kx，
解得，k=−12，k=13，
由题意知，正比例函数y=kx的图象越靠近y轴，k的值越大，
∴正比例函数y=kx的图象与线段AB有交点，则k≤−12或k≥13；
故选：D．
考点3：一次函数定义
典例3：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）函数①y=kx+b；②y=2x；③y=−3x；④y=13x+3；⑤y=x2−2x+1．是一次函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义：形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，解答即可．
【详解】①y=kx+b，当k=0时，不是一次函数，故此选项不符合题意；
②y=2x，④y=13x+3，是一次函数，故此选项符合题意；
③y=−3x，⑤y=x2−2x+1，不是一次函数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．
【变式1】（2022上·湖北宜昌·八年级统考期中）如果y=(m−2)xm2−3+2是一次函数，那么m的值是（ ）
A．2B．−2C．±2D．±2
【答案】B
【分析】根据一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为0，列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵y=(m−2)xm2−3+2是一次函数，
∴m2−3=1，且m−2≠0，解得m=−2，
故选：B．
【点睛】本题考查根据一次函数定义求参数，掌握一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为0，准确列式是解决问题的关键．
【变式2】（2023上·安徽亳州·八年级统考阶段练习）一次函数y=−2x+1中，当−1≤x≤3时，则函数y的取值范围为（ ）
A．3≤y≤5B．−5≤y≤3C．−3≤y≤5D．−3≤y≤3
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握由k的符号判断一次函数的增减性是解答的关键．
【详解】解：对于一次函数y=−2x+1，
∵k=−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∵当x=−1时，y=3，当x=3时，y=−5，
∴当−1≤x≤3时，−5≤y≤3，
故选：B．
【变式3】（2023下·福建泉州·八年级统考期中）若点Pa,b在直线y=2x+1上，则代数式1−4a+2b的值为（ ）
A．3B．−1C．2D．0
【答案】A
【分析】把点Pa,b代入y=2x+1，得出2a−b=−1，将其代入1−4a+2b进行计算即可．
【详解】解：把点Pa,b代入y=2x+1得b=2a+1，
整理得：2a−b=−1，
∴1−4a+2b=1−22a−b=1−2×−1=3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．
考点4：一次函数图像性质——画图
典例4：（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知一次函数y=−3x+3的图象分别交x轴，y轴于A、B两点．

(1)求出交点A、B的坐标；
(2)请在平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)若C点坐标为−2,−1，求△ABC的面积．
【答案】(1)点A的坐标是1,0，点B的坐标是0,3；
(2)见解析；
(3)5．
【分析】（1）把x=0，y=0分别代入一次函数解析式中，可得点B，A的坐标；
（2）利用两点法画出函数的图象即可；
（3）求得直线BC的解析式，即可求得直线BC与x轴的交点D的坐标，然后根据S△ABC=S△ACD+S△ABD求得即可；
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．
【详解】（1）把x=0，代入y=−3x+3中，可得：y=3，
∴点B的坐标是0,3；
把y=0代入y=−3x+3中，可得：x=1，
∴点A的坐标是1,0；
（2）在坐标系里描A，B两点，连接AB即可，
∴一次函数y=−3x+3的图象如图：

（3）设BC与x轴的交点为D，设直线BC的解析式为y=kx+3，
把C−2,−1代入得，−1=−2k+3，
解得：k=2，
∴直线BC为y=2x+3，
令y=0，则x=−32，
∴D−32,0，
∴AD=1−−32=52，
∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=12×52×3+1=5．
【变式1】（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知一次函数y=kx+b满足下表：
(1)画出一次函数的图象；
(2)求出一次函数的关系式；
(3)求当x为何值时y>0，y=0，y<0．
【答案】(1)见解析图；
(2)一次函数的关系式为y=−2x+1；
(3)当y>0时，x<0.5时；当y=0时，x=0.5；当y<0时x>0.5．
【分析】（1）根据列表，描点，连线的方法即可画出图象；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据图象即可求解；
此题考查了一次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图象及其应用．
【详解】（1）结合所给表格描点，连线如下：
（2）将x=−2，y=5；x=−1，y=3代入，得−2k+b=5−k+b=3，
解得：k=−2b=1
∴一次函数的关系式为y=−2x+1；
（3）由图象可知，当x<0.5时，y>0；
当x=0.5时，y=0；
当x>0.5时，y<0．
【变式2】（2023上·四川成都·九年级校考期中）已知一次函数y=kx+4，一次函数图象经过点12,3．
(1)求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象；
(2)若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△OAB的面积．
(3)当−2≤y<4时，求自变量x的取值范围．
【答案】(1)y=−2x+4，图象见解析
(2)4
(3)0【分析】（1）将点12,3代入解析式求出k值即可，然后用两点法画出函数图象；
（2）根据一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，依据三角形面积的计算公式计算即可；
（3）分别求出y=4和y=−2时对应的x值，确定满足−2≤y<4时自变量x的取值范围即可．
【详解】（1）将点12,3代入解析式y=kx+4得，
3=12k+4，解得k=−2，
∴一次函数解析式为：y=−2x+4，
当x=0时，y=4；
当y=0时，x=2，
∴一次函数图象是一条直线，且过点(0,4),(2,0)图象如下：

（2）∵A2，0、B0，4，
∴OA=2,OB=4，
∴S△AOB=12×4×2=4；
（3）∵−2<0，
∴y随x的增大而减小，
当y=−2时，x=3，
当y=4时，x=0，
∴当−2≤1<4时，自变量x的取值范围0【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
【变式3】（2023上·重庆开州·九年级校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，∠C=30°，点D是BC的中点，动点M从点C出发，沿着折线C→D→A（含端点C和A）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，设点M的运动时间为t秒，点M到AC的距离MH为y个单位长度．

(1)求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质 ．
(3)根据图象直接写出当y>1时t的取值范围： ．
【答案】(1)y=12t(0≤t≤4)4−12t(4(2)图像见详解，0≤t≤4时，y随t的增大而增大（或当4(3)2【分析】（1）根据“直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半”和“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可求出BC=8,AD=DC=4 ，∠DAC=30°．根据M点的运动速度可得M点从C点运动到D点和从D点运动到A点需要的时间．分两种情况讨论：0≤t≤4和4（2）根据y关于t的函数关系式画出函数图象即可；
（3）观察图象即可得出当y>1时t的取值范围．
【详解】（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，∠C=30°，
∴BC=2AB=8．
∵点D是BC的中点，
∴AD=12BC=DC=4，
∴∠DAC=∠C=30°．
∵M点的运动速度为每秒1个单位长度，
∴M点从C点运动到D点需要4秒，从D点运动到A点需要4秒．
①如图，当0≤t≤4时，
在Rt△CMH中，CM=t，∠C=30°，
∴MH=12CM=12t，
即y=12t；
②如图，当4在Rt△AMH中，AM=8−t，∠A=30°，
∴MH=12AM=12(8−t)=4−12t，
即y=4−12t，
综上，y与t的函数关系式为：y=12t(0≤t≤4)4−12t(4（2）
如图，y与t的函数图象如图所示，
由图知：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大，当4故答案为：0≤t≤4时，y随t的增大而增大（或当4（3）由图知：当y>1时t的取值范围为：2故答案为：2【点睛】本题考查了直角三角形的性质，根据点的运动情况求一次函数的解析式，一次函数图象的性质，分段函数图象的画法，以及运用数形结合法求自变量的取值范围．熟练掌握直角三角形的性质和一次函数的性质是解题的关键．
考点5：一次函数图像性质——平移
典例5：（2023上·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）已知一次函数y=kx−3，当x=2时，y=3．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点(a,2)在该函数的图象上，求a的值；
(3)将该函数的图象向上平移7个单位，求平移后的图象与坐标轴的交点坐标．
【答案】(1)y=3x−3
(2)53
(3)(0,4)，−43,0
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移．解题的关键是待定系数法求函数解析式．
（1）根据待定系数法解出解析式即可；
（2）把x=a，y=2代入解析式解答即可；
（3）根据一次函数的几何变换得出解析式，再求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：把x=2，y=3代入y=kx−3中，
可得：3=2k−3，
解得：k=3，
所以一次函数的解析式为：y=3x−3；
（2）解：把x=a，y=2代入y=3x−3中，
可得：3a−3=2，
解得：a=53；
（3）解：一次函数y=3x−3的图象向上平移7个单位后的解析式为：y=3x−3+7=3x+4，
把x=0，代入y=3x+4，得y=4
把y=0代入y=3x+4，得x=−43，
∴图象与坐标轴的交点坐标为(0,4)，−43,0
【变式1】（2023上·河南郑州·八年级统考期中）已知一次函数y=k−2x−3k+12．
(1)k为何值时，函数图象经过点0,9？
(2)k为何值时，函数图象平行于直线y=−2x？
(3)直接写出k的两个值，使一次函数y=k−2x−3k+12的值都是随x值的增大而减小？
【答案】(1)k=1时，函数图象经过点0,9
(2)k=0时，函数图象平行于直线y=−2x
(3)k的值为1，0（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．
（1）把0,9代入函数解析式求解即可；
（2）根据比例系数相同时两条直线平行即可求解；
（3）根据一次函数增减求出k的取值范围即可解答．
【详解】（1）解：因为一次函数y=k−2x−3k+12图象经过点0,9，
所以，k−2×0−3k+12=9，
解得k=1．
所以k=1时，函数图象经过点0,9．
（2）解：因为函数图象平行于直线y=−2x，
所以，k−2=−2，
解得k=0.
所以k=0时，函数图象平行于直线y=−2x．
（3）解：因为一次函数y=k−2x−3k+12的值都是随x值的增大而减小，
所以k−2<0，
所以k<2，
故k的值为1，0（答案不唯一）．
【变式2】（2023上·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A−2,4，且与正比例函数y=−23x的图象交于点Ba,2．
(1)求a的值及一次函数y=kx+b的解析式；
(2)若正比例函数y=−23x的图象向上平移m(m>0)个单位长度后经过点A．求m的值．
【答案】(1)a=−2，y=2x+8；
(2)m=83．
【分析】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求解析式，可得到结论；
（2）根据题意求得平移后的直线的解析式，把A的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得m的值；
此题考查了一次函数的图象及其性质和图象平移，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及其性质的应用和图象“左加右减，上加下减”的平移规律．
【详解】（1）∵正比例函数y=−23x的图象交于点Ba,2，
∴2=−23a，解得：a=−2，
∴点B−3,2，
把A，B坐标代入y=kx+b可得：
−2k+b=4−3k+b=2，解得：k=2b=8，
∴一次函数的解析式y=2x+8；
（2）∵若正比例函数y=−23x的图象向上平移m个单位长度，
∴平移后解析式为y=−23x+m，
把A−2,4代入可得：4=−23×−2+m，
解得：m=83．
【变式3】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+8与x轴交于点A，过点B的直线交x轴于点C，且点C4,0．
(1)求直线BC的解析式；
(2)将直线BC向下平移3个单位长度得到直线L，此时直线L交于AB于点D，交x轴于点E，请求出△ADE的面积；
(3)点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP=CQ，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）．
【答案】(1)y=−2x+8
(2)1698
(3)S=16m−2m2
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，再由待定系数法即可求BC的解析式；
（2）由直线的平移可得直线DE的解析式，进而可得点D、E的坐标，根据三角形的面积公式可得结论．
（3）过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，由“AAS”可证△AGP≌△CHQ，可得AG=HC=m−4，PG=HQ=2m−8，由“AAS”可证△PEF≌△QCF，可得S△PEF=S△QCF，即可求解．
【详解】（1）解：把y=0代入y=2x+8得：0=2x+8，
解得：x=−4，
∴A−4,0，
把x=0代入y=2x+8得：y=8，
∴点B0,8，
设直线BC解析式为：y=kx+b，
把B0,8，C4,0代入得：
b=80=4k+b，
解得：k=−2b=8，
∴直线BC解析式为：y=−2x+8；
（2）解∵将直线BC向下平移3个单位长度得到直线L，
∴L：y=−2x+5，
令y=0，则0=−2x+5，
解得：x=52，
∴E52,0，
联立AB,DE得：y=2x+8y=−2x+5，
解得：x=−34y=132，
∴D−34,132，
∴S△ADE=12×xE−xA×yD
=12×52+4×132
=1698；
（3）解：如图，过点P作PG⊥AC，过点Q作HQ⊥AC，过点P作PE∥BC交x轴于点E，
∵A−4,0，C4,0，
∴OA=OC，
∵OB⊥AC，
∴AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA，
∵点Q横坐标为m，
∴点Qm,−2m+8，
∴HQ=2m−8，CH=m−4，
∵AP=CQ，∠BAC=∠BCA=∠QCH，∠AGP=∠CHQ=90°，
∴△AGP≌△CHQAAS，
∴AG=CH=m−4，PG=HQ=2m−8，
∵PE∥BC，
∴∠PEA=∠ACB，∠EPF=∠CQF，
∴∠PEA=∠PAE，
∴AP=PE，且AP=CQ，
∴PE=CQ，
∵∠EPF=∠CQF，∠EFP=∠CFQ，
∴△PEF≌△QCFAAS
∴S△PEF=S△QCF，
∴△PBQ的面积=四边形BCFP的面积+△CFQ的面积=四边形BCFP的面积+△PEF的面积=四边形PECB的面积，
∵PG⊥AC，AP=PE，
∴AE=2AG=2m−8，
∴S=S△ABC−S△PAE=12×4+4×8−12×2m−8×2m−8=−2m2+16m．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
考点6：一次函数的解析式
典例6：（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，直线AB与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,−2．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线AB上有一点C，且S△BOC=2，求点C的坐标
【答案】(1)y=2x−2
(2)点C的坐标为2,2或−2,−6
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可确定OB为底边，xC为高，进而利用面积公式建立等式求解即可．
【详解】（1）解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+bk≠0，将点A1,0，点B0,−2代入得：k+b=00+b=−2，
解得：k=2b=−2，
∴直线AB的解析式为：y=2x−2；
（2）解：如图，△BOC以OB为底，xC为高，
∴ S△BOC=12OB·xC，
∵ S△BOC=2，OB=2，
∴ 12×2×xC=2
解得：xC=2或xC=−2，
将xC=2代入y=2x−2中得：y=2，
将xC=−2代入y=2x−2中得：y=−6，
∴点C的坐标为2,2或−2,−6．
【变式1】（2023上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）如图1，直线l1：y=12x+2和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D0,−4，B2,0．

(1)求点A的坐标及直线l2的函数表达式；
(2)求△ABC的面积；
(3)试探究在x轴上是否存在点P，使得△PAC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A−4,0，y=2x−4
(2)12
(3)4+45,0或4−45,0或16,0或1,0
【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形性质和一次函数的性质等．
（1）令y=0求出点A坐标，利用待定系数法即可得直线l2的函数表达式；
（2）联立直线l1和直线l2求出，根据三角形的面积公式即可得出答案；
（3）由点A、P、C的坐标得AC2=80，AP2=x+42，PC2=x−42+16再分AC=AP、AC=PC和AP=PC三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：将y=0代入y=12x+2得x=−4，
∴A−4,0，
设直线l2的函数表达式为：y=kx+b，
将D0,−4、B2,0分别代入y=kx+b
得：2k+b=0b=−4，
解得：k=2b=−4，
直线l2的函数表达式为：y=2x−4．
（2）联立y=12x+2y=2x−4，
解得：x=4y=4，
∴C4,4，
∵A−4,0，B2,0，
∴AB=6，
∴△ABC的面积为：12×AB×yc=12×6×4=12．
（3）设点px,0，
由点A、P、C的坐标得∶
AC2=4+42+42=80，AP2=x+42，PC2=x−42+16，
当AC=AP时，
即80=x+42，
解得：x=−4±45，
即点P的坐标为：4+45,0或4−45,0；
当AC=PC时，
则80=x−42+16，
解得：x=−4（舍去）或16，
即点P16,0；
当AP=PC时，
即x+42=x−42+16，
解得：x=1，即点P1,0，
综上，点P的坐标为：4+45,0或4−45,0或16,0或1,0．
【变式2】（2023上·安徽合肥·九年级期末）如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=kx的图象交于点A3,m3和B−2,m−18．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P是x轴上一点，且△APB的面积为15，求点P的坐标．
【答案】(1)y1=2x−2,y2=12x
(2)(4,0)或(−2,0)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法，求解反比例函数解析式等知识，
（1）分别将点A和点B的坐标代入反比例函数解析式中，求出k的值，确定出反比例解析式，再将A和B的坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值
（2）设直线AB与x轴交于点C，根据S△APB=S△APC+S△PCB=5PC=15，求出PC的长，得出点C的坐标，进而得出点P的坐标即可．
【详解】（1）将点A3,m3代入y2=kx，
可得k3=m3，则k=m，
再将B−2,m−18代入y2=kx，
可得k−2=m−18，则k=−2m+36，
∵k=m，
∴m=−2m+36，解得m=12，
∴A3,4，B−2,−6，y2=12x，
将点A和点B的坐标代入y1=k1x+b，
可得3k1+b=4−2k1+b=−6，解得k1=2b=−2，
∴y1=2x−2；
（2）设直线AB与x轴交于点C，
∵ y=2x−2，令y=0，解得x=1，
∴C1,0，
∵A3,4，B−2,−6，△APB的面积为15，
∴S△APB=S△APC+S△PCB =12PCyA−yB =5PC=15，
∴PC=3，
∵C1,0，
∴P4,0或−2,0．
【变式3】（2023上·浙江·八年级期末）如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点P4，p在第一象限内，直线PA交y轴于点C0，2，直线PB交y轴于点D，且S△AOP=6．
(1)求S△COP；
(2)求点A的坐标及p的值；
(3)若BO=BP，求直线BD的表达式．
【答案】(1)4
(2)A−2，0，6
(3)y=−125x+785
【分析】本题考查了一次函数的图象性质以及待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理：
（1）直接利用三角形面积公式S△COP=12OC⋅xP，把数值代入计算即可作答；
（2）由（1）知S△AOC=S△AOP−S△COP=6−4=2，得到OA的值，故得到A点坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，把A点坐标和点C的坐标代入，得出y=x+2，然后再把点P4，p代入，即可作答．
（3）过点P作PH⊥x轴，结合勾股定理，得出OB的值，结合P点的坐标，运用待定系数法求出直线BD的表达式，即可作答．
【详解】（1）解：∵P4，p，C0，2，
∴S△COP=12×4×2=4；
（2）解：∵P4，p，C0，2，
∴S△COP=12×4×2=4；
∴S△AOC=S△AOP−S△COP=6−4=2
∴12AO×OC=2
∵OC=2
∴OA=2
故点A的坐标为−2，0；
∴直线AC的解析式为y=kx+b，
把C0，2和A−2，0代入y=kx+b
得0=−2k+b2=b
解得k=1b=2
∴y=x+2
则当x=4时，y=4+2=6=p；
∴P4，6
（3）解：过点P作PH⊥x轴，如图所示：
∵BO=BP，P4，6
则设OB=x=PB，HB=x−4，HP=6，
∴PB2=HB2+PH2
即x2=x−42+62
解得x=132
∴B132，0
∴直线BD的解析式为y=mk1+n，
把B132，0和P4，6代入y=xm+n，
得6=4m+n0=132m+n
解得m=−125n=785
∴y=−125x+785
考点7：一次函数与一次方程
典例7：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若一次函数y=kx−b（k为常数且k≠0）的图像经过点−3,0，则关于x的方程kx−7−b=0的解为（ ）
A．x=−5B．x=−3C．x=4D．x=5
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由y=k(x−7)−b与y=kx−b可得直线y=kx−b向右平移7个单位得到直线y=k(x−7)−b，从而可得直线y=k(x−7)−b与x轴交点坐标，进而求解．
【详解】解：直线y=k(x−7)−b是由直线y=kx−b向右平移7个单位所得，
∵y=kx−b与x轴交点为(−3,0)，
∴直线y=k(x−7)−b与x轴交点坐标为(4,0)，
∴kx−7−b=0的解为x=4，
故选：C．
【变式1】（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，两个一次函数y1=−x+a与y2=bx−4b≠0的图像交于点P1，−3，则下列结论错误的是（ ）
A．方程−x+a=bx−4的解是x=1B．不等式−x+a<−3和不等式bx−4>−3的解集相同
C．方程组y+x=ay−bx=4的解是x=1y=−3D．不等式组bx−4<−x+a<0的解集是−2【答案】C
【分析】根据图象可直接判断A，B，C，求出y1=−x+a与x轴的交点可判断D．
【详解】A．由图象可得直线y1=−x+a与y2=bx−4b≠0的图像交于点P1，−3，
∴方程−x+a=bx−4的解是x=1，故正确；
B．由图象可知，不等式−x+a<−3和不等式bx−4>−3的解集相同，都是x>1，故B正确；
C．方程组y+x=ay−bx=−4的解是x=1y=−3，故错误；
D．将P1，−3代入y1=−x+a得−3=−1+a，
解得a=−2，
∴y1=−x−2，
将y=0代入y1=−x−2得0=−x−2，
解得x=−2，
∴−2∴bx−4<−x+a<0的解集是−2故选C．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图像的交点坐标与二元一次方程组的关系，利用函数图象解不等式，数形结合是解题的关键．
【变式2】（2023上·广东佛山·八年级校考期中）如图，直线y=kx+bk≠0与x轴交于点−5,0，下列说法正确的是（ ）

A．k>0，b<0
B．直线y=−bx+k经过第三象限
C．关于x的方程kx+b=0的解为x=−5
D．若x1,y1，x2,y2是直线y=−bx+k上的两点，若x1【答案】C
【分析】由直线y=kx+bk≠0的图象可知k>0，b>0，即可判断A；又可得出−b<0，即得出直线y=−bx+k经过第一、二、四象限，可判断B；进而由一次函数的性质可判断D；由直线与坐标轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解，可判断C．
【详解】解：由图象可知直线y=kx+bk≠0经过第一、二、三象限，且与y轴的交点位于x轴上方，
∴k>0，b>0，故A错误，不符合题意；
∵b>0，
∴−b<0．
又∵k>0，
∴直线y=−bx+k经过第一、二、四象限，故B错误，不符合题意；
∵直线y=kx+bk≠0与x轴交于点−5,0，
∴关于x的方程kx+b=0的解为x=−5，故C正确，符合题意；
∵直线y=−bx+k经过第第一、二、四象限，
∴y随x的增大而减小．
∵x1∴y1>y2，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求方程的解．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
【变式3】（2023上·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考开学考试）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点(2,0)，点(0,3)．有下列结论：
①关于x的方程kx+b=0的解为x=2；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<0时，y<3．
其中正确的是( )

A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴交点问题即可判断①②③④，逐项分析、判断即可求解．
【详解】解：①由一次函数y=kx+b的图象与x轴点(2,0)知，当y=0时，x=2，即方程kx+b=0的解为x=2，故此项正确；
②由一次函数y=kx+b的图象与y轴点(0,3)，当y=3时，x=0，即方程kx+b=3的解为x=0，故此项正确；
③由图象可知，x>2的点都位于x轴的下方，即当x>2时，y<0，故此项正确；
④由图象可知，位于第二象限的直线上的点的纵坐标都大于3，即当x<0时，y>3，故此项错误，
所以正确的是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与不等式的关系，解答的关键是会利用数形结合思想解决问题．
考点8：一次函数与不等式
典例8：（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知直线y1=−x,y2=−12x+2,y3=23x+3的图象如图所示．若无论x取何值，y总取y1,y2,y3中的最大值，则y的最小值是（ ）
A．4B．3C．177D．95
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种．
【详解】解：过y1、y2的交点作y轴的平行线l，过y2、y3的交点作y轴的平行线m，
由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示，
∴y的最小值是y2、y3交点坐标的纵坐标值，
联立两直线解析式：−12x+2=23x+3，
解得x=−67，
把x=−67代入y2或y3解析式求得y=177．
故选：C．
【变式1】（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而增大．②c<0，d>0；③不等式ax+b≥cx+d的解集是x≥4；④a−c=14(d−b)．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由两条直线的交点求不等式的解集，掌握一次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键．
根据由图象与一次函数的性质可判断①②③的正误，由当x=4时，y1=y2，即4a+b=4c+d，整理后可判断④的正误．
【详解】解：由图象与一次函数的性质可知，对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而增大，正确，故①符合要求；
c<0，d>0，正确，故②符合要求；
由图象可知，ax+b≥cx+d，即y1≥y2的解集为x≥4，正确，故③符合要求；
当x=4时，y1=y2，即4a+b=4c+d，整理得，a−c=14(d−b)，正确，故④符合要求；
故选：D．
【变式2】（2023上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图所示，一次函数y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)与正比例函数y=mx(m是常数，且m≠0)的图象相交于点M(1,2)，下列判断正确的是( )

①关于x的方程mx=kx+b的解是x=1；
②关于x，y的方程组mx−y=0kx−y+b=0的解是x=1y=2；
③关于x的不等式m−kx>b的解集是x<1；
④当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大．
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质；图象法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法，根据两直线的交点坐标即可判断①②，根据图象即可判断③④．
【详解】解：∵两直线相交于点M1,2，
∴方程mx=kx+b的解是x=1，
方程组mx−y=0kx−y+b=0的解是：x=1y=2，
故①②正确；
∵当x>1时，直线y=kx+b在直线y=mx的下方，
∴当x>1时，kx+bb，故③错误；
∵当x<0时，直线y=kx+b在直线y=mx的上方，
∴当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，故C正确．
故选：C．
【变式3】（2023下·广西南宁·八年级南宁三中校考阶段练习）如图，已知直线y1=x+m与y2=kx−1相交于点P−1,1，关于x的不等式x+m>kx−1的解集是（ ）
A．x>−1B．x≥−1C．x≤−1D．x<−1
【答案】A
【分析】观察函数图象得到当x>−1时，直线y1=x+m都在直线y2=kx−1的上方，即不等式x+m >kx−1的解集为x>−1，然后用数轴表示解集．
【详解】解：当x>−1时，y1>y2，
所以关于x的不等式x+m>kx−1的解集为x>−1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=a x+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx +b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
考点9：一次函数与一次方程组
典例9：（2022上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）如图，函数y=ax+b 和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，那么关于x、y的二元一次方程组ax−y+b=0kx−y=0的解是（ ）
A．x=3y=−1B．x=−3y=−1C．x=−3y=1D．x=3y=1
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的解之间的关系，根据两直线的交点坐标是对应方程组的解即可得出答案，熟练掌握两直线的交点坐标是对应方程组的解是解题的关键．
【详解】解：∵函数y=ax+b 和y=kx的图象交于点P，点P坐标为−3,1，
∴ax−y+b=0kx−y=0的解为x=−3y=1，
故选：C．
【变式1】（2023上·江西九江·八年级校考阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，y3=k3x+b3，y4=k4x+b4的图象相交于点P，小逸根据图象得到如下结论：
①在一次函数y1=k1x+b1中，y的值随着x值的增大而增大；
②在一次函数y3=k3x+b3中，y的值随着x值的增大而减小；
③方程组y1=k1x+b1y2=k2x+b2与y3=k3x+by4=k4x+b4的解相同，都是x=2y=2
④b1A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象性质：根据y=kx+bk≠0所经过的象限决定k，b的取值范围，当y=kx+bk≠0经过第一、三、二象限，则k>0，b>0，当y=kx+bk≠0经过第一、三、四象限，则k>0，b<0，当y=kx+bk≠0经过第二、三、四象限，则k<0，b<0，当y=kx+bk≠0经过第一、二、四象限，则k<0，b>0，据此即可作答．
【详解】解：根据y=kx+bk≠0所经过的象限：
得y1=k1x+b1的k1>0，则y的值随着x值的增大而增大，故①正确；
得y3=k3x+b3中的k3<0，y的值随着x值的增大而减小，故②正确；
∵一次函数y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，y3=k3x+b3，y4=k4x+b4的图象相交于点P，
∴方程组y1=k1x+b1y2=k2x+b2与y3=k3x+by4=k4x+b4的解相同，都是x=2y=2，故③正确；
∵观察y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，y3=k3x+b3，y4=k4x+b4分别与y轴的交点的位置，越在上方的b的值越大
∴b1∵y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，经过第一、三象限，
∴k1>0，k2>0
∵y1=k1x+b1比y2=k2x+b2的倾斜程度大，
∴k1>k2>0
∵y3=k3x+b3，y4=k4x+b4经过第二、四象限，
∴k3<0，k4<0
∵y4=k4x+b4比y3=k3x+b3的倾斜程度大，
∴k4>k3>0
∴0>k3>k4
即k1>k2>k3>k4，故⑤错误．
故选：C
【变式2】（2023上·安徽合肥·八年级统考期中）如图，直线y=−x+3与y=mx+n交点的横坐标为1，若y=mx+n与x轴的所夹角为45°，则方程组x+y=3mx+y=n解为（ ）
A．x=2y=1B．x=1.5y=1.5C．x=1y=2D．无解
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可．
【详解】解：如图，

对于y=−x+3，当x=1时，y=−1+3=2，
∴C1,2,BC=2,
∵∠BAC=45°,
∴∠BCA=45°,
∴AB=BC=2,
∵OB=1,
∴AO=AB−OB=2−1=1,
∴A−1,0,
把A−1,0, C1,2代入y=mx+n得，−m+n=0m+n=2，
解得，m=1n=1,
∴方程组x+y=3mx+y=n可变形为x+y=3x+y=1，
此时，方程组无解，
故选：D．
【变式3】（2023下·河南郑州·八年级期末）直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点Pa,2，直线l2:y=mx+n与x轴相交于3,0，则①方程组y=x+1y=mx+n的解是x=1y=2；②不等式x+1≥mx+n的解集为x≥2；③不等式mx+n>0的解集为x>3；④n<2．以上说法正确的共有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】先求出a的值，利用图象法解二元一次方程组和不等式，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点Pa,2，
∴2=a+1，
∴a=1，
∴P1,2；
∴方程组y=x+1y=mx+n的解是x=1y=2；故①正确，
不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1；故②错误；
∵直线l2:y=mx+n与x轴相交于3,0，且y随x的增大而减小，
∴不等式mx+n>0的解集为x<3，故③错误；
∵l2:y=mx+n过P1,2，3,0，
∴2=m+n0=3m+n，解得：m=−1n=3，
∴n>2；故④错误；
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式．熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
考点10：一次函数实际应用
典例10：（2023上·河北石家庄·七年级阶段练习）某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费15元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．设小明计划今年夏季游泳次数为x次（x为正整数）．
(1)根据题意，将表格填写完整．
(2)设方式一的总费用为y1元，方式二的总费用为y2元，分别用x表示y1和y2；
(3)通过计算说明，当x=19和x=21时，分别应选择哪种付费方式较合算？
【答案】(1)400；300
(2)y1=100+15x，y2=20x
(3)当x=19时，选择方式二，当x=21时，选择方式一
【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解题意列出代数式是解题的关键．
（1）根据题意直接写出方式一下x=20的费用和方式二下x=15的费用；
（2）根据题意列出方程即可；
（3）将x=19和x=21分别代入两种方式，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：当x=20时，方式一：100+15×20=400元，
当x=15时，方式二：15×20=300元；
（2）解：由题意，方式一的总费用：y1=100+15x，
方式二的总费用：y2=20x；
（3）解：当x=19时，方式一：y1=100+15×19=385，
方式二：y2=20×19=380，
y1>y2，方式二更划算；
当x=21时，方式一：y1=100+15×21=415，
方式二：y2=20×21=420，
y1综上所示，当x=19时，选择方式二，当x=21时，选择方式一．
【变式1】（2023上·山东济南·七年级统考期中）随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式，某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．
运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣x件（x≥100）．
(1)方案一需付款：______元，方案二需付款：______元；
(2)当x=150时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
(3)当x=300时，如果两种方案可以组合使用，你能帮助俱乐部设计一种最省钱的方案吗？请直接写出你的方案．
【答案】(1)100x+20000，80x+24000
(2)方案一：35000元，方案二：36000元，方案一更划算．
(3)方案一∶购买100件运动外套，方案二购买200件卫衣
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用以及性质，根据题意解题即可．
（1）根据题意即可列出代数式；
（2）将x=150分别代入(1)中求得的代数式，比较得出的结果即可；
（3）设购买a件运动外套使用方案一，则购买100−a件运动外套使用方案二，再列出总费用的代数式，结合a的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：方案一∶ 购买运动外套100件，送100件卫衣，则还需购买x−100件卫衣，
方案一需付款100×300+x−100×100=100x+20000元；
方案二∶ 购买运动外套100件，卫衣x件，均打8折，
方案二 需付款100×300+100x×0.8=80x+24000元．
（2）当x=150时，
方案一需付款：100x+20000=100×150+20000=35000（元）
方案二需付款：80x+24000=80×150+24000=36000（元）
（3）设购买a件运动外套使用方案一，则购买100−a件运动外套使用方案二，
购买a件卫衣使用方案一，购买300−a件卫衣使用方案二，
设总费用为w元，
则w=300a+0.8300100−a+100300−a=−20a+48000(0≤a≤100)，
∵−20<0，费用w随着a的增大而减小．
∴当a=100时，w取的最小值46000，即总费用最小，
∴最省钱的方案：按照方案一购买100件运动外套再按照方案二购买200件卫衣．
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
(1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共60套，共需资金156万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
(2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共60套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤15），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【答案】(1)A种多媒体20套，B种多媒体40套；
(2)购进A种多媒体10套时能获得最大利润，最大利润是23万元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设该教育科技公司计划购进A种多媒体x套，B种多媒体y套，利用总价=单价×数量，结合“该教育科技公司计划购进两种多媒体共60套，共需资金156万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设把购进的两种多媒体全部售出后获得的总利润为w万元，利用总利润=每台的销售利润×销售数量（购进数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设该教育科技公司计划购进A种多媒体x套，B种多媒体y套，
根据题意得：x+y=603x+2.4y=156，
解得：x=20y=40．
答：该教育科技公司计划购进A种多媒体20套，B种多媒体40套；
（2）设把购进的两种多媒体全部售出后获得的总利润为w万元，
根据题意得：w=(3.3−3)m+(2.8−2.4)(60−m)，
即w=−0.1m+24，
∵−0.1<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵10≤m≤15，
∴当m=10时，w取得最大值，最大值=−0.1×10+24=23．
答：当m取10套时能获得最大利润，最大利润是23万元．
【变式3】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）列二元一次方程组解应用题．2023年12月18日甘肃发生6.2级地震，辽宁省应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表：
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车a辆．求货车所需总费用w与a之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，要使所需总费用最低，该如何安排拉货？最低总费用是多少？
【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨
(2)w=50a+2250
(3)要使所需总费用最低，安排5辆乙种货车拉货，最低总费用是2250元
【分析】本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
（1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系；
（3）根据（1）中的函数关系式和a的取值范围，利用一次函数的性质，可以求得w的最小值．
【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨，
由表格可得：3m+4n=274m+5n=35，
解得m=5n=3．
答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨．
（2）解：设甲种货车a辆，则乙种货车5−a辆，
由题意可得：w=100a×5+1505−a×3=50a+2250，
即货车所需总费用y与x之间的函数关系是w=50a+2250；
（3）解：∵w=50a+2250，
∴w随a的增大而增大，
∵0≤a≤5，
∴当a=0时，y取得最小值，此时w=2250，
答：要使所需总费用最低，安排5辆乙种货车拉货，最低总费用是2250元．
【变式4】（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出y1、y2关于x的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
【答案】(1)y1=100x(0≤x≤8)，y2=−160x+800 (0≤x≤5)
(2)2513 h或5513 h
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，正确求出两函数解析式是解题关键．
（1）直接运用待定系数法就可以求出y1、y2关于x的函数图像关系式即可；
（2）分为两种情况：在相遇前，y2−y1=300；当两车相遇后，y1−y2=300，然后求解即可．
【详解】（1）解：设y1=kx，将点(8,800)代入，
可得800=8k，解得k=100，
∴y1=100x(0≤x≤8)；
设y2=mx+n，将点(0,800)，(5,0)代入，
可得800=n0=5m+n，解得m=−160n=800，
∴y2=−160x+800 (0≤x≤5)；
（2）①两车相遇前，可有y2−y1=300，
即−160x+800−100x=300
解得x=2513；
②两车相遇后，可有y1−y2=300，
即100x−−160x+800=300，
解得x=5513．
答：两车行驶2513 h或5513 h时两车相距300千米．
【变式5】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）我边防局接到情报，如图1，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶．图2中，l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离ynmile与追赶时间xmin之间的关系．
(1)预计快艇B在距离海岸多少nmile能追赶上可疑船只A？
(2)为了对可疑船只A实施有效检查，边防局同时派出快艇C协助快艇B追赶，快艇C与快艇B的出发地相同，且快艇C可比快艇B提前1nmile追赶上A，则快艇C的速度为多少nmile/min？
【答案】(1)快艇B在距离海岸11 nmile能追赶上可疑船只A．
(2)快艇C的速度为35nmile/min．
【分析】（1）本题考查的是实际问题与一次函数，设直线l1的解析式为y=kx+1，直线l2的解析式为y=ax+5，把函数图象中的已知坐标代入解析式求解．然后通过l1与l2的解析式，列方程求解即可．
（2）本题通过快艇C与可疑船只A离海岸距离相同，利用l2求出可疑船只A所用的时间，再利用速度=路程÷时间求解即可．
【详解】（1）解：设直线l1的解析式为y=kx+1，
当x=10，y=6时，有10k+1=6，解得k=12，
直线l1的解析式为y=12x+1，
设直线l2的解析式为y=ax+5，
当x=10，y=8时，有10a+5=8，解得a=310，
直线l2的解析式为y=310x+5，
当快艇B追赶上可疑船只A时，
有12x+1=310x+5，解得x=20，
把x=20代入y=12x+1中，有y=12×20+1=11，
所以快艇B在距离海岸11 nmile能追赶上可疑船只A．
（2）解：∵快艇C可比快艇B提前1nmile追赶上A，
∴此时快艇C与可疑船只A距离海岸11−1=10（nmile），
即当y=10时，有310x+5=10，解得x=503，
∴VC=10÷503=35nmile/min
【变式6】（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=−34x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=34x+6交于点P．点C为直线y=34x+6与x轴的交点．
(1)求点P的坐标．
(2)点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，PC于点M，点N，设点Q的横坐标为m，
①求线段MN的长（用含m的代数式表示）；
②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，直接写出m的值；
③直接写出用含m的代数式表示△PMN的面积．
【答案】(1)点P的坐标为4，9
(2)①MN=32m−6②m=0或8③S=34m2−6m+12
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，三角形面积．
（1）联立解析式，构成方程组，解方程组即可求解；
（2）①点Q的横坐标为m，由MN∥y轴，得点Q，M，N三点横坐标都为m，即可求解；②先表示出Q，M，N三点坐标，分两种情况第一种情形：点N是QM的中点时，第二种情形：点M是QN的中点时，根据中点坐标公式即可求解；③先表示出点P到直线MQ的距离为m−4，然后利用三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）∵直线y=−34x+12与直线y=34x+6交于点P，
∴联立方程组y=−34x+12y=34x+6，
解得x=4y=9，
∴点P的坐标为4，9；
（2）解：①点Q的横坐标为m，
∵MN∥y轴，
∴点Q，M，N三点横坐标都为m，
∴点M坐标为m,−34m+12，点N坐标为m,34m+6，
∴MN=34m+6+34m−12=32m−6；
②当y=0时，−34x+12=0，解得x=16，则A16,0
34x+6=0，解得：x=−8，则C−8,0，
当x=m时，Qm，0，
∴点M坐标为m,−34m+12，点N坐标为m,34m+6，
∴QM=−34m+12=34m−12，QN=34m+6，
由①知MN=32m−6，
第一种情形：点N是QM的中点时，MN=QN，
∴32m−6=34m+6，
解得：m=0或16（舍去）；
第二种情形：点M是QN的中点时，MN=QM，
∴32m−6=34m−12，
解得：m=8或−8（舍去）；
综上，m=0或8；
③∵点Q的横坐标为m，点P的坐标为4,9，
∴点P到直线MQ的距离为m−4，
由①知MN=32m−6，
当m≥4时，m−4≥0，32m−6≥0；当m<4时，m−4<0，32m−6<0；
∴△PMN的面积S=12×32m−6×m−4=34m2−6m+12=34m2−6m+12．
【变式7】（2023上·山东东营·七年级统考期末）如图，直线y=−3x+6交x轴和y轴于点A和点B，点C0,−3在y轴上，连接AC．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点P是直线AB上一点，若△BCP的面积为18，求点P的坐标；
【答案】(1)点A坐标为2,0，点B坐标为0,6
(2)点P的坐标为4,−6或(−4,18)
【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．
1根据坐标轴上的点的坐标特征即可解决问题．
2由△BCP的面积为18可求出点P的横坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）将y=0代入y=−3x+6得，
−3x+6=0，
解得x=2，
∴点A坐标为2,0．
将x=0代入y=−3x+6得，
y=6，
∴点B坐标为0,6．
（2）由B0,6，C0,−3得，
BC=6−(−3)=9，
又∵△BCP的面积为18，
则12×9×|xP|=18，
解得xP=±4，
当xP=4时，
yP=−3×4+6=−6；
当xP=−4时，
yP=−3×(−4)+6=18；
∴点P的坐标为4,−6或(−4,18)．
【变式8】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）【发现并提出问题】
手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择．
套餐A：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是0.1元；
套餐B：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是0.15元．
小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？
【分析并建立模型】
小刚设采用套餐A的费用为yA（元），采用套餐B的费用为yB（元），通话时间为x（分钟），并分析得出yA（元）与x（分钟），yB（元）与x（分钟）之间都是一次函数关系．
【解决问题】
(1)请直接写出yA（元）与x（分），yB（元）)与x（分）之间的关系式．
(2)当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？
(3)小刚的父母都选用了套餐B，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表，
根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由．
【答案】(1)yA=0.1x+15，yB=0.15x．
(2)当通话时间为300分钟时，两种套餐费用相同．
(3)根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选B套餐不省钱，小刚母亲选B套餐省钱．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式．
（1）根据A套餐每月的话费为月租加上通话费，B套餐每月的话费为通话费，列出关系式即可．
（2）根据两种套餐费用相同，列出关于x的方程，求解即可．
（3）根据关系式，列出当B套餐每月的话费低于A套餐每月的话费时的不等式，解出通话时间小于300分钟时，B套餐更省钱，再结合小刚的父母的消费情况，列式计算其通话时间进行比较，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，yA=0.1x+15，yB=0.15x．
（2）解：因为两种套餐费用相同，有0.1x+15=0.15x，解得x=300，
所以当通话时间为300分钟时，两种套餐费用相同．
（3）解：当B套餐每月的话费低于A套餐每月的话费时，
有0.15x<0.1x+15，解得x<300，即如果通话时间小于300分钟时，选B套餐更省钱．
小刚父亲：当yB=72时，有0.15x=72，解得x=480，
∵小刚父亲每月最低通话时间为480分钟，即通话时间大于300分钟，
∴选B套餐不省钱．
小刚母亲：当yB=42时，有0.15x=42，解得x=280，
∵小刚母亲每月最高通话时间为280分钟，即通话时间小于300分钟，
∴选B套餐省钱．
综上所述，根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选B套餐不省钱，小刚母亲选B套餐省钱．
【变式9】（2022上·广东深圳·八年级统考期末）学校饮用水安全问题事关重大，直接影响到广大青少年的身体健康．为了全力保障校园饮水安全，让学生喝上放心水、健康水，星月学校在教学楼每个楼层都安装了饮水机．为了解饮水机的使用情况，小亮所在综合实践小组进行了调查研究，他们发现：饮水机的容量是25L，共有三个放水管，且每个水管出水的速度相同：三个水管同时打开时，饮水机的存水量（升）与放水时间（分）的关系如下表所示．
(1)当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为________L．
(2)某天课间休息时，同学们依次用饮水机接水．假设前后两人接水的间隔时间忽略不计，且水不发生泼洒，每个同学所接的水量相同．刚开始时，只打开了其中两个放水管，过了一会儿，来接水的同学越来越多，三个放水管全部打开．饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系如下图所示．
①求饮水机中的存水量y（L）与放水时间xminx≥3的函数关系式；
②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，则前25个同学接完水共需多少时间？
【答案】(1)当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为2.5L
(2)①饮水机中的存水量yL与放水时间xminx≥3的函数关系式为y=−2.5x+27.5；②前25个同学接完水共需6min．
【分析】本题考查一次函数的实际应用，有理数的运算的应用．
（1）根据表格求出3分钟的放水量，再除以时间，即可；
（2）①饮水机中的存水量yL与放水时间xminx≥3的函数关系式为y=kx+bk≠0，将3,20、5,15代入求解即可；
②由已知可得出：每名同学放水用的时间，从而得出：前25个同学接完水共需多少时间．
读懂题意，从图表中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】（1）∵三个放水管每个水管出水的速度相同，
由已知表格数据知：三个水管同时打开时，3分钟放水25−17.5=7.5（升），
∴当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为7.5÷3=2.5L；
（2）①设饮水机中的存水量yL与放水时间xminx≥3的函数关系式为y=kx+bk≠0，把3,20、5,15代入，得3k+b=205k+b=15，
解得：k=−2.5b=27.5，
∴饮水机中的存水量yL与放水时间xminx≥3的函数关系式为y=−2.5x+27.5；
②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，那么每名同学放水用时3×2÷10=0.6min，
∴则前25个同学接完水共需3+0.6×25−103=6min．
考点11：一次函数的性质
典例11：（2023上·山东济南·八年级校考阶段练习）对于一次函数y=kx+k−1，下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象一定经过点−1,−1
B．当k<0时，y随x的增大而增大
C．当k<0时，函数图象一定不经过第二象限
D．当0【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系．
由y=kx+k−1=k(x+1)−1可得抛物线经过定点(−1,−1)，当k＜0时，y随x增大而减小，当0【详解】解：∵y=kx+k−1=k(x+1)−1，
∴x=−1时，y=−1，
∴直线经过点(−1,−1)，选项A正确．
∵k<0时，k−1<0，直线经过第二，三、四象限，y随x增大而减小，
∴选项B错误，选项C错误，
当0∴选项D错误．
故选：A．
【变式1】（2023上·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考阶段练习）对于函数y=3x−3，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像过点1,0B．y值随着x值增大而增大
C．当y>0时，x>2 D．它的图像不经过第二象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．根据一次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：A、当x=1时，y=3×1−3=0，∴函数图像过点1,0，故此选项正确，不符合题意；
B、∵ k=3>0，∴ y值随着x值增大而增大，故此选项正确，不符合题意；
C、当y>0时，3x−3>0，解得：x>1，故此选项错误，符合题意；
D、∵ k=3>0，b=−3<0，∴函数图像不经过第二象限，故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考阶段练习）下列关于一次函数y=−2x+2的说法中，错误的是（ ）
A．图象与x轴的交点坐标为1,0B．y的值随着x的值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限D．当x>0时，y>2
【答案】D
【分析】根据一次函数y=−2x+2中，y=0时，x=1，得到图象与x轴的交点为1,0；根据−2<0，得到y的值随着x的值的增大而减小； 根据−2<0，2>0，得到函数图象经过第一、二、四象限；根据当x>0时，得到−2x<0，−2x+2<2，y<2．逐项判断即可．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】A．图象与x轴的交点坐标为1,0，
∵y=−2x+2中，y=0时，x=1，
∴一次函数y=−2x+2的图象与x轴的交点坐标为1,0，此选项正确，故选项A不符合题意；
B． y的值随着x的值的增大而减小，
∵y=−2x+2中，−2<0，
∴y的值随着x的值的增大而减小，此选项正确，故选项B不符合题意；
C．图象经过第一、二、四象限，
∵y=−2x+2中，−2<0，2>0，
∴一次函数y=−2x+2的图象经过第一、二、四象限，此选项正确，故选项C不符合题意；
D．当x>0时，y>2，
∵y=−2x+2中，当x>0时，−2x<0，
∴−2x+2<2，即y<2，
∴一次函数y=−2x+2，当x>0时，y>2，此选项错误，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式3】（2022上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期末）将直线y=x向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限B．与x轴交于2,0
C．与y轴交于0,2D．y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图像与几何变换，解题关键是根据变换规律（左加右减，上加下减）得出新直线方程，然后根据一次函数的性质进行分析即可．
【详解】解：解：将直线y=x向上平移2个单位长度后得到直线y=x+2，
A．直线y=x+2经过第一、二、三象限，故此选项不符合题意；
B．直线y=x+2与x轴交于−2,0，故此选项不符合题意；
C．直线y=x+2与y轴交于0,2，故此选项符合题意；
D．直线y=x+2，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意．
故选：C．
k，b符号
k＞0
k<0
b＞0
b＜0
b=0
b>0
b<0
b=0
大致
图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
5
3
1
−1
−3
…
游泳次数
10
15
20
…
采用方式一付费（元）
250
325
__
…
采用方式二付费（元）
200
__
400
…
A
B
进价（万元/套）
3
2.4
售价（万元/套）
3.3
2.8
甲种货车/辆
乙种货车/辆
总量/吨
第一次
3
4
27
第二次
4
5
35
9月话费（元）
10月话费（元）
11月话费（元）
小刚父亲
72
75
78
小刚母亲
38
42
28
放水时间（分）
0
3
8
…
直饮水机的存水量（升）
25
17.5
5
…