数学湘教版（2019）3.1 函数导学案

这是一份数学湘教版（2019）3.1 函数导学案，共9页。

教材要点
要点一 函数最大(小)值
设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．
(1)如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点；
(2)如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值M＝f(a)，称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点．
状元随笔 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.
要点二 增函数与减函数的定义
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1＜x2；
(3)属于同一个单调区间．
要点三 单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间I叫作y＝f(x)的________．
状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪0，+∞上单调递减．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)≤1恒成立，则f(x)的最大值是1.( )
(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( )
(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪0，+∞.( )
(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上在x＝b处有最小值f(b)．( )
2．函数y＝－2x2＋3x的单调递减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0)
C．−∞，34 D．34，+∞
3．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是( )
A．fx1−fx2x1−x2＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)
D．f(x1)＞f(x2)
4．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．

题型1 利用图象求函数的单调区间
例1 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式；
(2)画出函数的图象；
(3)根据图象写出它的单调区间．
方法归纳
(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间．
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
跟踪训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
A．(－3，1)∪1，4
B．(－5，3)∪−1，1
C．(－3，－1)，(1，4)
D．(－5，－3)，(－1，1)
(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是__________，递减区间是__________________．
题型2 函数的单调性判断与证明
例2 用定义证明函数f(x)＝x＋kx(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝xx2+4，判断并用定义证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
题型3 函数单调性的应用
角度1 比较大小
例3 已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数 ，则( )
A．f34＞f(a2－a＋1) B．f34＜f(a2－a＋1)
C．f34≥f(a2－a＋1) D．f34≤f(a2－a＋1)
状元随笔 利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
角度2 解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取值范围是( )
A．m＞0 B．0＜m＜32
C．－1＜m＜3 D．－12＜m＜32
状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内．
角度3 利用函数的单调性求参数的取值范围
例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2mx+1在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪0，1 B.−1，0∪0，1
C．(0，＋∞) D．(0，1]
方法归纳
“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别
单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
角度4 求函数的最值
例6 已知函数f(x)＝2x−1(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
方法归纳
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系式正确的是( )
A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1)
C．f(2)＜f(1)＜f(－1) D．f(1)＜f(－1)＜f(2)
(2)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪3，+∞
(3)已知函数f(x)＝|2x－a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．
(4)已知函数f(x)＝32x−1，求函数f(x)在[1，5]上的最值．
易错辨析 忽视函数的定义
例7 已知函数f(x)＝−x2−ax−5x≤1，axx＞1，是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A．－3≤a＜0 B．a≤－2
C．a＜0 D．－3≤a≤－2
解析：函数f(x)＝−x2−ax−5x≤1，axx＞1，是R上的增函数，则f(x)＝－x2－ax－5(x≤1)单调递增，故它的对称轴－a2≥1，即a≤－2，此时f(x)＝ax(x＞1)也单调递增，所以a＜0，要保证在R上是增函数．还需在x＝1处满足－12－a×1－5≤a1，即a≥－3.综上所述，－3≤a≤－2.
答案：D
易错警示
课堂十分钟
1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]∪4，5上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
2．函数y＝1x−1的单调减区间是( )
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪1，+∞
C{x∈R|x≠1} D．R
3．函数y＝2x+1在[2，3]上的最小值为( )
A．1 B．13
C．23 D．12
4．设关于x的函数y＝(k－2)x＋1是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．
5．已知f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点二
f(x1)f(x2) 增函数 减函数
要点三
单调性 单调区间
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是34，+∞.
答案：D
3．解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．故选AB.
答案：AB
4．解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(－2，－1)是最低点，
∴ymax＝2，ymin＝－1.
答案：－1，2
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝x2−4x+3，x≥0，x2+4x+3，xf(x2)，此时f(x)单调递减．
当00，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝32x−1在区间12，+∞上是单调递减的，所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝32x−1在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，
即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝13.
答案：(1)C (2)C (3)6 (4)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“∪”连接．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
答案：A
3．解析：∵函数y＝2x+1在[2，3]上单调递减，
∴当x＝3时，y＝2x+1有最小值12.
故选D.
答案：D
4．解析：f(x)为R上的增函数，则k－2>0，k>2.
答案：(2，＋∞)
5．解析：∵f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，
且f(x－2)