高中数学3.1 函数学案设计

这是一份高中数学3.1 函数学案设计，共8页。

教材要点
要点一 幂函数的概念
一般来说，当x为自变量而α为非零实数时， 函数________叫做(α次)幂函数．
要点二 幂运算的基本不等式
对任意的正数r和两正数a>b，有arbr＝(ab)r >1，即ar＞br.
对任意的负数r和两正数a>b，有arbr＝(ab)r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9))) eq \s\up6(\f(6,7))
(2)若(3－2m) eq \s\up6(\f(1,2)) ＞(m＋1) eq \s\up6(\f(1,2)) ，则实数m的取值范围为________．
eq \a\vs4\al(易错辨析) 忽视幂函数的图象特点致误例5 若函数f(x)＝(m2＋3m＋1)·xm2+m−1是幂函数，且其图象过原点，则m＝________．
解析：因为函数f(x)＝(m2＋3m＋1)·xm2+m−1是幂函数，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或m＝－3.当m＝0时，f(x)＝x－1，其图象不过原点，应舍去；当m＝－3时，f(x)＝x5，其图象过原点．
答案：－3
易错警示
课堂十分钟
1．设α∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，\f(1,2)，－1)) ，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为( )
A．－1，3 B．－1，1
C．1，3 D．－1，1，3
2．在同一坐标系中，函数f(x)＝ax＋ eq \f(1,a) 与g(x)＝ax2的图象可能是( )
3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜a＜c B．a＜c＜b
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
4．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8))) ＝________．
5．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求f(x)的解析式．
参考答案与解析
新知初探·课前预习
要点一
y＝xα
要点三
{x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 偶函数 奇函数 奇函数 (－∞，0) (0，＋∞) (0，＋∞) (0，0)，(1，1) (1，1)
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：函数y＝1x4＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．故选B.
答案：B
3．解析：当α＝－1时，f(x)＝x－1＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，因此A，B错误；当x＝1时，f(1)＝1，因此C正确，D错误．故选ABD.
答案：ABD
4．解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，
∵幂函数y＝f(x)的图象过点(3，3)，
∴3＝3α，解得α＝12，
∴f(x)＝x，∴f(9)＝9＝3.
答案：3
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A不符合幂函数的特点，C中系数不是1，BD是幂函数．
故选BD.
(2)由幂函数的定义可知
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))
解得m＝－3或1，n＝ eq \f(3,2) .
答案：(1)BD (2)见解析
跟踪训练1 解析：因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m>0，)) 所以m＝1.
故选A.
(2)设f(x)＝xα(α为常数)，所以 eq \f(1,9) ＝3α，α＝－2，
所以f(4)＝4－2＝ eq \f(1,16) .
答案：(1)A (2) eq \f(1,16)
例2 解析：(1)由幂函数的图象过点(0，0)和(1，1)，故排除A、D；因为y＝xα中，0