新高考数学二轮复习分层训练专题15 数列的求和方法和不等式问题（2份打包，原卷版+解析版）

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单选题
1．（2021·北京海淀·统考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该数列的前六项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据已知条件,分别求出前六项,计算求和即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
所以数列的前六项和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选: SKIPIF 1 < 0
2．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据数列奇偶交替的性质相加求和即可.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．（2022秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，做差求 SKIPIF 1 < 0 ，再检验 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，代入求 SKIPIF 1 < 0 ，裂项法求和计算结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
4．（2022秋·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2021B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据题意整理得 SKIPIF 1 < 0 ，结合等差数列通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消 SKIPIF 1 < 0 运算处理．
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故选：B．
5．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用累加法求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，……， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6．（2022·广东广州·校联考三模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由已知可得出 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用裂项相消法可求出.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是一个首项为3，公差为1的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列有可能成立的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 为递增的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 为递增的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 可判断AC；若 SKIPIF 1 < 0 为递增的等差数列，利用累乘法可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用裂项相消法可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，可判断BD.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故AC错误；
若 SKIPIF 1 < 0 为递增的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，D错误.
故选：B.
8．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 SKIPIF 1 < 0 ，第2关收税金为剩余金的 SKIPIF 1 < 0 ，第3关收税金为剩余金的 SKIPIF 1 < 0 ，第4关收税金为剩余金的 SKIPIF 1 < 0 ，第5关收税金为剩余金的 SKIPIF 1 < 0 ，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为 SKIPIF 1 < 0 斤，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．7C．13D．26
【答案】C
【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，代入函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意知：这个人原来持金为 SKIPIF 1 < 0 斤，
第1关收税金为： SKIPIF 1 < 0 斤；第2关收税金为 SKIPIF 1 < 0 斤；
第3关收税金为 SKIPIF 1 < 0 斤，
以此类推可得的，第4关收税金为 SKIPIF 1 < 0 斤，第5关收税金为 SKIPIF 1 < 0 斤，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
二、多选题
9．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减
B．若存在无数个自然数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值不存在
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】A选项，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，A正确；
B选项，可举出反例；
C选项，由 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可证得数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以最小值不存在；
D选项，对 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，采用裂项相消进行求和，结合数列的项的正负性和单调性求出其取值范围.
【详解】A选项， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
综上： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，A正确；
B选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在无数个自然数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
故B错误；
C选项，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以最小值不存在，C正确；
D选项， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】由数列通项公式研究数列的性质，要对数列的通项公式进行变形，转化为熟悉的知识点进行处理，本题D选项，要将 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，采用裂项相消进行求和，结合数列的项的正负性和单调性求出其取值范围.
10．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等差数列
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数解为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断A；由A知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可判断B；因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，求解判断即可；根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，求和得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据题意求解判断即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原不等式为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 成立，故C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数解为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】给出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的递推关系，求 SKIPIF 1 < 0 ，常用思路是：一是利用 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 SKIPIF 1 < 0 的递推关系，先求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，再求 SKIPIF 1 < 0 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】A选项直接由递推关系式即可求出 SKIPIF 1 < 0 即可；C选项由 SKIPIF 1 < 0 即可判断；B选项由 SKIPIF 1 < 0 即可判断；D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
由偶数项均为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD.
12．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A．对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不可能为常数数列
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为递减数列
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】根据递推公式、基本不等式，结合不等式放缩法、错位相减法逐一判断即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 为常数数列，故A错误；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得等号成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
依次有 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾，故 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为递减数列，故B正确；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由A，B知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当n＝2时， SKIPIF 1 < 0 ，此时等号成立，故C正确；
对于D，由题有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
（提示： SKIPIF 1 < 0 ），故D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：利用放缩法是解题的关键.
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则其前 SKIPIF 1 < 0 项和为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用分组求和法求得正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据递推关系得出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再利用裂项相消法即可求解.
【详解】由题意可知，因为正项数列 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）,
当 SKIPIF 1 < 0 时，此式也满足 SKIPIF 1 < 0 ，故正项数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ，则
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022秋·福建福州·高三福建省福州格致中学校考阶段练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题设 SKIPIF 1 < 0 ，讨论n的奇偶性求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题设， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 且n ≥ 2，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，点O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据已知条件及斜率公式，结合裂项相消法即可求解.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设m为整数，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求m的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)7
【分析】（1）由数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合等比数列的通项可得解；
（2）利用错位相减法求出 SKIPIF 1 < 0 ，结合范围即可得解.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 不满足上式，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以符合题设条件的m的最小值为7．
18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足对任意m， SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据条件证得数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，再由已知求得数列 SKIPIF 1 < 0 的公差、 SKIPIF 1 < 0 的公比，写出通项公式即可；
（2）使用错位相减求和.
【详解】（1）因为对任意m， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是公差 SKIPIF 1 < 0 的等差数列， SKIPIF 1 < 0 .
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2023·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，利用累乘法即可求得 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
（2）由（1）结论求得 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 进行放缩并裂项，即可得结论.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
20．（2023·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入已知式子可得 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，再由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
（2）由裂项相消求和可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 的单调性可求得其范围.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，令n=1，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以a1=1．
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也适合上式，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为bn＞0，所以 SKIPIF 1 < 0 随着n的增大而增大，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
【提能力】
一、单选题
21．（2020·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 （常数）， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】当 SKIPIF 1 < 0 时，类比写出 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减整理得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.；再运用错位相减法求出 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 的性质，确定 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ①
当 SKIPIF 1 < 0 时，类比写出 SKIPIF 1 < 0 ②
由①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ③
SKIPIF 1 < 0 ④
③-④得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （常数）， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
故选C.
【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.
1、已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系式，求数列的通项公式的方法如下：
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，用 SKIPIF 1 < 0 替换 SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 得到一个新的关系，利用 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 便可求出当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）对 SKIPIF 1 < 0 时的结果进行检验，看是否符合 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两段来写．
2、错位相减法：若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，那么这个数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和即可用此法来求．
数列前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，两式错位相减并整理即得.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ,数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，再求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，从而可求 SKIPIF 1 < 0 ，利用参变分离可求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
而令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 恒成立等价于 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选D.
【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新数列，通过讨论新数列的最值来求参数的取值范围.
23．（2022·河南·统考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前40项和 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由已知，根据题意由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，从而计算 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 递推可得： SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，从而计算 SKIPIF 1 < 0 ，将两组和合并即可完成求解.
【详解】由已知，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
② SKIPIF 1 < 0 ①得； SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 递推可得： SKIPIF 1 < 0 ③，
③ SKIPIF 1 < 0 ②得； SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】本题首先可根据 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，再然后根据错位相减法求出 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据题意得出对任意 SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，根据 SKIPIF 1 < 0 即可得出结果.
【详解】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
对任意 SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即对任意 SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查根据数列不等式恒成立求参数的取值范围，考查数列求和，常见的数列求和方法有等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是难题.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 也为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．12B．32C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，对q分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况进行讨论即可.
【详解】解：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不可能为等比数列；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
若数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，必有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是（1）要分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况进行讨论；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，利用等比数列前n项和公式及分组求和法求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后结合等比数列通项公式即可求解.
二、多选题
26．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，则下列说法正确的有（ ）
A．n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为20
【答案】AC
【分析】对选项A，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B，检验当 SKIPIF 1 < 0 时，所给表达式不满足；对选项C，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据 SKIPIF 1 < 0 ，可直接求得；对选项D， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【详解】根据递推关系可知，n为奇数时， SKIPIF 1 < 0
n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，故A对；
SKIPIF 1 < 0
根据奇数项构成等差数列
可得： SKIPIF 1 < 0
而又： SKIPIF 1 < 0
则有： SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故C对；
根据 SKIPIF 1 < 0 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据 SKIPIF 1 < 0 特点可知：
SKIPIF 1 < 0 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错
故选：AC
27．（2022·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是递减数列B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】根据数列单调性的判断方法，累加法，累乘法以及裂项求和法，结合已知条件，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A： SKIPIF 1 < 0 ，又当 SKIPIF 1 < 0 时，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故该数列递增数列，A错误；
对B： SKIPIF 1 < 0 ，
根据A知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对C： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 （当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时取得等号），故 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对D：由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的单调性，累加法，累乘法以及裂项求和法，处理问题的关键是能够根据常见的地推关系，选择适当的方法求解，属困难题.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BC
【分析】计算出 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 表示，分类讨论即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 的奇数项和偶数项分别为递增的，并且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以t只能是1，2，3，
若t=1，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，无解,m 不存在；
若t=2，则， SKIPIF 1 < 0 ，
若t=3，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故t=2或3；
故选：BC.
29．（2021·湖北武汉·武汉市黄陂区第一中学校考模拟预测）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为“ SKIPIF 1 < 0 数列”.则以下结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 数列”
B．若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且公比 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 数列”
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 数列”
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 数列
【答案】BC
【解析】写出等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和结合“ SKIPIF 1 < 0 数列”的定义判断A；写出等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和结合“ SKIPIF 1 < 0 数列”的定义判断B；利用裂项相消法求和判断C；当 SKIPIF 1 < 0 无限增大时， SKIPIF 1 < 0 也无限增大判断D．
【详解】在A中，若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，公差 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 无限增大时， SKIPIF 1 < 0 也无限增大，所以数列 SKIPIF 1 < 0 不是“ SKIPIF 1 < 0 数列”，故A错误.
在B中，因为 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且公比 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 数列”，故B正确.
在C中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以
SKIPIF 1 < 0 .所以数列 SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 数列”，故C正确.
在D中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 无限增大时， SKIPIF 1 < 0 也无限增大，所以数列 SKIPIF 1 < 0 不是“ SKIPIF 1 < 0 数列”，故D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ； （3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
三、填空题
30．（2022·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先通过数学归纳法证明出 SKIPIF 1 < 0 ，然后代入式子中，利用裂项相消法进行求和计算.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
……
SKIPIF 1 < 0 .
下面用数学归纳法进行证明：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足题意；
假设当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
31．（2023·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 前40项和为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题设中的递推关系可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用分组求和可求 SKIPIF 1 < 0 前40项和，
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 前40项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
32．（2021秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先变形等式为 SKIPIF 1 < 0 ，利用累乘法，求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，以及数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，代入 SKIPIF 1 < 0 后，利用错位相减法求和.
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
累乘得 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时成立，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】方法技巧
常见数列的裂项方法
注意：利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.
33．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有极值，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为不大于 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】615
【分析】根据给定条件探求出 SKIPIF 1 < 0 ，再借助 SKIPIF 1 < 0 的意义分析 SKIPIF 1 < 0 的前100项的各个值，再求和作答.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 ，求导得： SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有极值，则存在 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，数列 SKIPIF 1 < 0 的前100项中有1个0，3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，13个6，15个7，17个8，19个9，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：615
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
四、解答题
34．（2023·山西临汾·统考一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 的递推公式，得 SKIPIF 1 < 0 的递推公式，证明 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，得数列的通项公式；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，裂项求和，证明不等式.
【详解】（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为3的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
35．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)见解析
【分析】（1）求出 SKIPIF 1 < 0 ，讨论其符号后可得 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，先讨论 SKIPIF 1 < 0 时题设中的不等式不成立，再就 SKIPIF 1 < 0 结合放缩法讨论 SKIPIF 1 < 0 符号，最后就 SKIPIF 1 < 0 结合放缩法讨论 SKIPIF 1 < 0 的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，从而可得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为连续不间断函数，
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，与题设矛盾.
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
下证：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 成立.
由上述不等式有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 总成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
（3）取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
36．（2022·天津·统考高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而由并项求和可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合错位相减法可得解.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 公差为d， SKIPIF 1 < 0 公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 所以要证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 显然成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
作差得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
37．（2020·天津·统考高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅲ）对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 SKIPIF 1 < 0 前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值，据此进一步计算数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q.
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得d=1.
从而 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，
又q≠0，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得q=2，
从而 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅲ)当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，
当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的正整数n，有 SKIPIF 1 < 0 ，
和 SKIPIF 1 < 0 ①
由①得 SKIPIF 1 < 0 ②
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
从而得： SKIPIF 1 < 0 .
因此， SKIPIF 1 < 0 .
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
38．（2019·天津·高考真题）设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列.已知 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅰ）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 .
（i）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（ii）求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 （Ⅱ）（i） SKIPIF 1 < 0 （ii） SKIPIF 1 < 0
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 .
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
(Ⅱ)(i) SKIPIF 1 < 0 .
所以，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
(ii) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
数列（ SKIPIF 1 < 0 为正整数）
裂项方法
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为非零常数）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为非零常数）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0