新高考数学二轮复习分层训练专题23 圆锥曲线的综合问题（定值 最值 范围 ）（2份打包，原卷版+解析版）

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单选题
1．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点 SKIPIF 1 < 0 任 SKIPIF 1 < 0 铀上，过点 SKIPIF 1 < 0 的且线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】A
【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在x轴的正半轴上，设 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
显然直线 SKIPIF 1 < 0 不垂直于y轴，设直线PQ的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
于是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率最大，必有 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．（2023·河南郑州·统考一模）过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点F作直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义结合已知计算即可．
【详解】抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0
由抛物线的定义可得， SKIPIF 1 < 0
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P为椭圆上一动点， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为M， SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为N，当 SKIPIF 1 < 0 最大时，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】确定 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当M，N，P三点共线时 SKIPIF 1 < 0 的值最大，计算 SKIPIF 1 < 0 ，根据余弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，计算面积即可.
【详解】由椭圆的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接PM，PN，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以当M，N，P三点共线时 SKIPIF 1 < 0 的值最大，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
4．（2023·江西上饶·统考一模）双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】由已知求出 SKIPIF 1 < 0 的值，找出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由等面积法即可求出内切圆的半径.
【详解】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以过 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 中，解出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由等面积法得：
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是C的左、右焦点，经过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于C的一条渐近线的直线l与C交于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为64，则C的实轴长为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】由离心率得到双曲线的渐近线方程，联立方程由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 中计算可得结果.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意知，不妨设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线C的实轴长为8.
故选：B.
6．（2023·陕西安康·统考二模）设抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过弦AB的中点P作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为Q，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 .由抛物线定义及梯形中位线定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，后利用基本不等式可得答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因为点P为弦AB的中点，根据梯形中位线定理可得，P到抛物线C的准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以在 SKIPIF 1 < 0 AFB中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.所以 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
7．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于M、N两点，若P（0，m）满足 SKIPIF 1 < 0 ，则m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】写出直线MN的方程，与椭圆方程联立，写出 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去y，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：将坐标的数量积，用坐标表示，即将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理式，再将其整体代入即可得到关于m的不等式.
8．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作两条互相垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 分别与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物线焦点弦长公式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式可取得最小值.
【详解】由抛物线方程得： SKIPIF 1 < 0 ；
由题意知：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号），
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
二、多选题
9．（2023·安徽·统考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 B．点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切D． SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行
【答案】BCD
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线得 SKIPIF 1 < 0 ，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与抛物线方程即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断B，利用导数求出抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程，令 SKIPIF 1 < 0 ，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率，则可判断D.
【详解】对A，根据中点公式得 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误，
对B， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将其代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或0（舍去），此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，故B正确；
对C， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故抛物线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
故切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线，故C正确；
对D，抛物线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
而直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，
所以 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行.
故选：BCD.
10．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 外一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两条不同的切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .已知当点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动时，恒有 SKIPIF 1 < 0 .则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若矩形 SKIPIF 1 < 0 的四条边均与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为14
C．若点 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，则原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离恒为1
D．若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且其斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上运动
【答案】BC
【分析】根据点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动时，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，设过 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程后利用 SKIPIF 1 < 0 ，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，确定方程的两根为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 的值，从而判断A；讨论直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率求得各情况下 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得矩形 SKIPIF 1 < 0 ，结合不等式求得最值来判断B；根据椭圆上一点的切线方程结论，确定切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程，结合点 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，可得切点弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程，即可求得原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离来判断C；设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程后利用 SKIPIF 1 < 0 ，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，确定方程的两根为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 所满足的方程，即可判断D.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 恰好平行于 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入圆 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 不平行于 SKIPIF 1 < 0 轴时，设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
且此方程的两根为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，若矩形 SKIPIF 1 < 0 的四条边均与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切，
①当 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
②当 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
③当 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0时，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以两平行线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 代替 SKIPIF 1 < 0 ，可得两平行线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以矩形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 ，
根据基本不等式 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以矩形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为14，故B正确；
下证：任一椭圆 SKIPIF 1 < 0 在其上面的点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 处的切线方程均可写为 SKIPIF 1 < 0
设椭圆在点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则切线方程为整理得 SKIPIF 1 < 0 .
对于椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若点 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又两切线均过点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标都适合方程 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 得直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
且此方程的两根为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且其斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上运动，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是确定直线与椭圆相切时，切线斜率之间的关系需要联立切线与椭圆方程得判别式为零，则得到关于斜率的一元二次方程，由韦达定理即可得切线斜率之积的关系，即可结合轨迹方程可得相关结论；对于直线与椭圆相切的切线方程问题，利用直线与椭圆相切，得切点坐标与直线斜率与截距的关系，可得椭圆上一点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 处的切线方程均可写为 SKIPIF 1 < 0 ；对于切点弦问题，根据上述切线方程及两切线的交点，由直线方程特点，即可得切点弦方程.
11．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆上一点P与焦点 SKIPIF 1 < 0 所形成的三角形面积最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C无公共点
C．若A，B为椭圆C上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
D．若过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】根据离心率可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；联立直线与椭圆方程，根据判别式大于0可知B不正确；根据题意求出 SKIPIF 1 < 0 可知C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切点弦的方程，可知D不正确.
【详解】设椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C有公共点，故B不正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，设为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在或者为0，则 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的顶点（一个为长轴的顶点，一个为短轴的顶点），则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
终上所述： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则点H所在轨迹为圆，且圆的半径 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确.
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，切线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在切线上， SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故D不正确.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：C选项中，求出 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 是解题关键，D选项中，利用导数的几何意义求出切线方程是解题关键.
12．（2023·安徽淮北·统考一模）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，直线l过点 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于A，B两点，下列命题正确的有（ ）
A．若A点横坐标为8，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为6
C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则以线段AB为直径的圆的面积是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】对A选项将点的横坐标代入，求出点A的坐标，进而求出直线方程，联立直线及抛物线方程，由弦长 SKIPIF 1 < 0 即可求出弦长；对B选项作图可知，过点A作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时 SKIPIF 1 < 0 取最小值，即可求得最小值；对C选项根据题意，得出原点O在AB上的投影的轨迹，联立方程由判别式即可判断公共点的个数；对D选项设出AB直线方程，联立直线与抛物线方程，由结合 SKIPIF 1 < 0 得出直线方程，再由弦长公式计算出线段AB的长度即可判断
【详解】对于A,易得 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，
若A点横坐标为8，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，根据抛物线的对称性可得两种情况计算出的 SKIPIF 1 < 0 相同，再此取 SKIPIF 1 < 0 计算.
所以l的直线方程是 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线与 SKIPIF 1 < 0 相交，联立方程得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B,过点A作准线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时 SKIPIF 1 < 0 取最小值，此时最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C,设原点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根据几何性质及圆的定义可知点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，故C正确；
对于D,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以以线段AB为直径的圆的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023·福建福州·统考二模）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，则l的方程为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 点为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，设 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求出A点坐标，代入椭圆方程解出点的坐标即可得解.
【详解】如图，
由条件得 SKIPIF 1 < 0 点为线段 SKIPIF 1 < 0 中点，设 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 坐标分别代入 SKIPIF 1 < 0 中，
得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，
故直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14．（2023·贵州贵阳·统考一模）抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线l过圆心M且与抛物线E交于A，B与圆M交于C，D.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，据此联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由弦长公式即可得解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线l过圆心M且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
显然，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为0时，不符合题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消元得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点可知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##7.5
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的斜率解得 SKIPIF 1 < 0 ，再将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【详解】由抛物线的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得n＝3，
将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
16．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）点A，B是抛物线C： SKIPIF 1 < 0 上的两点，F是抛物线C的焦点，若 SKIPIF 1 < 0 ，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由抛物线几何性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由余弦定理和基本不等式可得.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
易得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
17．（2023·广东广州·统考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，以C的短轴为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切.
(1)求C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点），△APQ的面积为 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？并说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)是定值， SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解方程组作答.
（2）由给定的面积关系可得直线PQ平分 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断作答.
【详解】（1）由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
由以C的短轴为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相切得： SKIPIF 1 < 0 ，联立解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以C的方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 为定值，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 互为相反数，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
且又因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 不在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，且 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
18．（2023·山东泰安·统考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .已知当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求证：点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点的定椭圆上.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的离心率及当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程，列方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，从而得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，则设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程可得坐标关系，可得 SKIPIF 1 < 0 的表达式，由平行线分线段成比例可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合椭圆的定义即可证得 SKIPIF 1 < 0 为定值，从而得结论.
【详解】（1）由题知， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C上，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，且点A在x轴上方
∴设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
∴ SKIPIF 1 < 0
同理 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
又点B在椭圆C上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
同理： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点P在以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点的定椭圆上.
【提能力】
一、单选题
19．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且斜率大于零的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】由已知设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切，列方程求 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程，利用设而不求法结合弦长公式求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切，所以 SKIPIF 1 < 0 只有一组解，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个根，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
方程 SKIPIF 1 < 0 的判别式 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
20．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，A，B是抛物线C上两点，记直线OA，OB的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线AB与x轴的交点为P，直线OA、OB与抛物线C的准线分别交于点M，N，则△PMN的面积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设出A、B的坐标，由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 的值，再分别求出点M、点N的坐标，求得 SKIPIF 1 < 0 的式子，研究 SKIPIF 1 < 0 恒过x轴上的定点可得点P的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 与x轴交点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为8+1=9.
方法1： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△PMN的面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
方法2： SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当m=0时取得最小值.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△PMN的面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
21．（2023·广西梧州·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上的动点，过 SKIPIF 1 < 0 作两渐近线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相切，则下列结论正确的有（ ）个．
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 为定值；
③双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ；
④当点 SKIPIF 1 < 0 异于顶点时，△ SKIPIF 1 < 0 的内切圆的圆心总在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由双曲线渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径是1，应用点线距离公式列方程求 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，由点线距离公式写出 SKIPIF 1 < 0 ，直接用离心率定义求双曲线离心率，根据圆切线性质及双曲线定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而确定内切圆的圆心的位置.
【详解】由题意，双曲线渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径是1，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），①错误．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为常数，②正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，③正确；
设△ SKIPIF 1 < 0 的内切圆与三边切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图，
由圆的切线性质知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此内心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 上，④正确；
故选：C
22．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点为P、Q，点D在双曲线上且位于第一象限，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由双曲线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在三角形 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
故选：D
23．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由离心率的范围可知曲线为椭圆，根据离心率与 SKIPIF 1 < 0 的关系得到 SKIPIF 1 < 0 的范围，然后利用斜率公式表示出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出其范围．
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线C是椭圆．
因椭圆C的焦点在x轴上，则 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
24．（2022·广东广州·统考一模）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题意画出图，由已知求出 SKIPIF 1 < 0 的值，找出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，由 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.
【详解】由题意如图所示：
由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以过 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 中，解出 SKIPIF 1 < 0 ，
由题知 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的半径相等，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心 SKIPIF 1 < 0
的连线垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，
设为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由等面积法得：
SKIPIF 1 < 0
由双曲线的定义可知： SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
所以 SKIPIF 1 < 0 一定在 SKIPIF 1 < 0 上，即 SKIPIF 1 < 0 轴上，令圆 SKIPIF 1 < 0 半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由等面积法得：
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
25．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 斜率取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，那么直线 SKIPIF 1 < 0 斜率取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 表达推导可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据直线 SKIPIF 1 < 0 斜率取值范围求解即可.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
26．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】直线l方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据相切得到 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到答案.
【详解】直线l的斜率存在，设为k，直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，得直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
由直线l与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去y，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
二、多选题
27．（2023·山东临沂·统考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，一束平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的光线 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 射入，经过 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 反射后，再经过 SKIPIF 1 < 0 上另一点 SKIPIF 1 < 0 反射后，沿直线 SKIPIF 1 < 0 射出，经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则（）
A． SKIPIF 1 < 0
B．延长 SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线
C． SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】根据题设和抛物线和性质得到点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立直线 SKIPIF 1 < 0 和抛物线 SKIPIF 1 < 0 得到点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，即可判断选项A和C，又结合直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 得到点 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断B选项，若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，转化为直线 SKIPIF 1 < 0 斜率 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的关系式即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题意知，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图：
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以A选项正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以C选项错误；
又知直线 SKIPIF 1 < 0 轴，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线，所以B选项正确；
设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以D选项错误；
故选：AB.
28．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ．设直线l的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有可能为直角
B． SKIPIF 1 < 0
C．Q为抛物线C上一个动点， SKIPIF 1 < 0 为定点， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，再逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意，点 SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去x得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直角，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，显然点E在抛物线C内， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当点Q是直线EF与抛物线C的交点时取等号，C错误；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ABD
29．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P为椭圆上第一象限内任意一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 成立B．存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 成立
C．存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 成立D．存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 成立
【答案】ABD
【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.
【详解】由椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，由椭圆的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ，又因为点P在第一象限内，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，故选项A正确；
对于B，设点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 成立，故选项B正确；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 不成立，所以不存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，故选项C错误；
对于D，由选项 SKIPIF 1 < 0 的分析可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，故选项D正确，
故选：ABD.
30．（2023·山东济宁·统考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的公共焦点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的离心率，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的一个公共点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】根据共焦点得到 SKIPIF 1 < 0 ，A错误，计算 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，B正确，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入计算得到C错误，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
对选项B： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对选项C：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，若最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，不成立，错误；
对选项D：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，若最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，成立，正确；
故选：BD
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键.
三、填空题
31．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知拋物线 SKIPIF 1 < 0 ，过焦点的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据准线方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，也即求得抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，结合抛物线的性质求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【详解】由题意知，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上.
由抛物线性质可知 SKIPIF 1 < 0 为切点，所以圆心纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
32．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】2
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的长.
【详解】解：如图，由题可知， SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
又以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2.
33．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设F为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##1.25
【分析】设出直线方程，与双曲线的方程联立，韦达定理表示出A与P的关系，根据三点B，P，Q 共 线 ，求得Q点坐标的横坐标表示出t ,然后运用设参数m法化简 SKIPIF 1 < 0 ,最后根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 整理得: SKIPIF 1 < 0 ;
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
过F作直线PA的垂线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于Q，
因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线 SKIPIF 1 < 0 与BP的交点，
Q是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点
所以得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，即m=2即时， 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】方法点睛：（1）联立方程，根据韦达定理表示出坐标关系式；按照题目中给出的关系，构建关系式，表示出所求变量；
（2）在计算推理的过程中运用整体转化，化简函数式，从而得到二次函数或者不等式，求得最值；
本题的解题的关键是，表示出Q点的交点坐标，找到与t有关的解析式.
34．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴、 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意求得 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，以及 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，利用三角形的面积可得出 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数法求出函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值，即可得出 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解方程 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
四、解答题
35．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， 过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， 交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， 求证: SKIPIF 1 < 0 为定值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，设出椭圆半焦距并求出弦长，进而求出a，b即可作答.
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合向量的坐标表示推理计算作答.
【详解】（1）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为c，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
由离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 消去y整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的内部，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 必有两个交点，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
36．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知双曲线E： SKIPIF 1 < 0 与直线l： SKIPIF 1 < 0 相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立消去k，得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 的范围得出 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可得出答案；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则 SKIPIF 1 < 0 ，结合弦长公式列式得 SKIPIF 1 < 0 ，即可化简代入得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可解出答案.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线l与双曲线E的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
消去y，得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
由韦达定理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 消去k，得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
所以，点M的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）双曲线E的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
37．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，直线l： SKIPIF 1 < 0 ，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 定值，并求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）设出点的坐标，运用数量积运算可得结果.
（2）设直线AB的方程，求出点M的坐标，联立直线AB与轨迹C的方程后由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由已知向量关系式可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的值与 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【详解】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
故动点P的轨迹C的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
联立直线AB与轨迹C的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理知， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 为定值0．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）的一元二次方程，必要时计算 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
38．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设经过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据已知条件可得出 SKIPIF 1 < 0 的值，将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）分析可知直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程联立，列出韦达定理，写出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，可求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】（1）解：因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，则 SKIPIF 1 < 0 不存在，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，不合乎题意，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
易知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .