新疆石河子第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

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1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
2．下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.
【详解】对于A，是的不充分不必要条件，A不是；
对于B，是的一个必要不充分条件，B是；
对于C，是的一个充分不必要条件，C不是；
对于D，是的一个充分不必要条件，D不是.
故选：B
3．若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论.
【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误；
对B：当，时，由不能推出，所以B错误；
对C：当时，由不能推出，所以C错误；
对D：由，又，所以，所以D正确.
故选：D
4. 函数在区间的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
5．若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得.
【详解】由可得，
因在上单调递增，故在上恒成立，
即在上恒成立，
而函数在上单调递减，则，
故，即a的取值范围是.
故选：A.
6．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C 【详解】因为幂函数是上的偶函数，则，解得或，当时，
，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得.故选：C．
7．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时的比值即可求解.
【详解】由题意可得，当时，，
当时，，
所以
，
所以的增长率约为.
故选：D公众号：高中试卷君
8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知奇函数的定义域为，若，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．D．的一个周期为
【答案】ACD
【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确；
又，即，则函数关于直线对称，B选项错误；
由可知，
即，函数的一个周期为，C选项正确，D选项正确；
故选：ACD.
10. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
11．已知，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为3D．
11．BD【详解】因为，对于A，因为，当且仅当时，等号成立，
但，可得，则，可得，可知不为的最大值，故A错误；
对于B，因为，当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为，故B正确；对于C，因为，则，即，则，当且仅当
，即，时，等号成立，这与题干不符，故3不为的最小值，故C错误；
对于D，由题意可知：，，则，构建函数，，则，在内恒成立，可知在内单调递减，则，所以，故D正确；故选：BD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 ，函数的零点是 （用a表示）.
【答案】
【分析】根据题设条件可知抛物线与轴相切，从而可得的关系，进一步解一元二次方程即可求解函数零点.
【详解】解析因为函数有零点，但不能用二分法求出，
所以函数的图象与x轴相切，所以，所以，
令，解得.
故答案为：，.
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
14．已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是 .
【答案】6
【分析】先对不等式等价变换为，令得，构造函数，从而，又，利用不等式性质即可求解范围.
【详解】因为，所以，
则不等式等价于，
等价于，令，则，
从而，令，由对勾函数的性质知，
因为，即，所以，
令，则，解得，
所以，当且仅当即时取等号，
故的最大值是6.
故答案为：6
【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的值域及不等式的性质，解题的关键是对不等式等价变形，利用换元法结合对勾函数性质求解函数范围，最后利用不等式性质求解即可.公众号：高中试卷君
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知不等式的解集为.
(1)求的值，
(2)若，，，求的最小值.
【答案】(1)，·
(2)9·
【分析】（1）利用指数函数单调性解不等式即可.
（2）结合“1”的代换，利用基本不等式求得，然后利用不等式性质求解即可.
【详解】（1）由及函数在定义域上单调递减，
得，解得，因此，，·
（2）由已知可得，
又因为且，则，
当且仅当时，等号成立，故.
16（15分）．已知函数.
(1)作出函数的大致图像，并简要说明理由；
(2)讨论函数的单调性.
【详解】（1）
（2）由已知可得函数，.
①当时， 当时，，时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
②当时，当时，，
或时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增；
④当时，当时，，或时，；
则在上单调递减，在上单调递增.
17.（15分） 设函数，直线是曲线在点处的切线．
（1）当时，求在点处的切线方程.
（2）求证：不经过点.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明见解析 【解析】
【小问1详解】
，
切线方程为：，即：。
【小问2详解】
，切线的斜率为，
则切线方程为，
将代入则，
即，则，，
令，
假设过，则在存在零点.
，在上单调递增，，
在无零点，与假设矛盾，故直线不过.
【点睛】
关键点点睛：本题第三问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.
18. （17分）已知函数
（1）若，且，求最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出后根据可求的最小值；
（2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得.
【小问1详解】
时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
【小问2详解】
的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
【小问3详解】
因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
19.给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元
理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5元理想数集，求证：；
【解析】（1）设的随影数集分别为，
则，
所以集合是理想数集，集合不是理想数集.
（2）不妨设集合且，即.
为理想数集，，则，且，使得.
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
综上所述：.