新高考数学二轮提升练专题12 空间几何体的折叠与多面体的问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1、【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
2、（2019•新课标Ⅲ，理16文16）学生到工厂劳动实践，利用 SKIPIF 1 < 0 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体 SKIPIF 1 < 0 ，挖去四棱锥 SKIPIF 1 < 0 后所得的几何体，其中 SKIPIF 1 < 0 为长方体的中心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别为所在棱的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 打印所用原料密度为 SKIPIF 1 < 0 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】118．8
【解析】该模型为长方体 SKIPIF 1 < 0 ，挖去四棱锥 SKIPIF 1 < 0 后所得的几何体，其中 SKIPIF 1 < 0 为长方体的中心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别为所在棱的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该模型体积为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 打印所用原料密度为 SKIPIF 1 < 0 ，不考虑打印损耗， SKIPIF 1 < 0 制作该模型所需原料的质量为： SKIPIF 1 < 0 ．
3、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， SKIPIF 1 < 0 ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4、（2020江苏9）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，内孔半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则此六角螺帽毛坯的体积是 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，正六棱柱的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，内孔的体积为正六棱
柱的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
5、【2021年新高考1卷】（多选题）在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的周长为定值
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
易知，点 SKIPIF 1 < 0 在矩形 SKIPIF 1 < 0 内部（含边界）．
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即此时 SKIPIF 1 < 0 线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 周长不是定值，故A错误；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故此时 SKIPIF 1 < 0 点轨迹为线段 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 点轨迹为线段 SKIPIF 1 < 0 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 均满足，故C错误；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 点轨迹为线段 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，故D正确．
故选：BD．
6、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以 SKIPIF 1 < 0 为球心， SKIPIF 1 < 0 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】如图：
取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 60°，直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的棱长均为2，所以△ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又四棱柱 SKIPIF 1 < 0 为直四棱柱，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 侧面 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为侧面 SKIPIF 1 < 0 与球面的交线上的点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以侧面 SKIPIF 1 < 0 与球面的交线上的点到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以侧面 SKIPIF 1 < 0 与球面的交线是扇形 SKIPIF 1 < 0 的弧 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以根据弧长公式可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．
【答案】 共26个面. 棱长为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有 SKIPIF 1 < 0 个面．
如图，设该半正多面体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交正方体棱于 SKIPIF 1 < 0 ，由半正多面体对称性可知， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即该半正多面体棱长为 SKIPIF 1 < 0 ．
题组一 空间几何体的折叠问题
1-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）如图，一张长､宽分别为 SKIPIF 1 < 0 的矩形纸， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得 SKIPIF 1 < 0 四点重合为一点 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到一个多面体，则（ ）
A．在该多面体中， SKIPIF 1 < 0
B．该多面体是三棱锥
C．在该多面体中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．该多面体的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】由于长、宽分别为 SKIPIF 1 < 0 ，1，
SKIPIF 1 < 0 分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，
使得 SKIPIF 1 < 0 四点重合为一点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，从而得到一个多面体 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该多面体是以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的三棱锥，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确.
故选：BCD
1-2、（2022·江苏扬州·高三期末）在边长为6的正三角形ABC中M，N分别为边AB，AC上的点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，把△AMN沿着MN翻折至A′MN位置，则下列说法中正确的有（ ）
A．在翻折过程中，在边A′N上存在点P，满足CP∥平面A′BM
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCNM
C．若 SKIPIF 1 < 0 且二面角A′－MN－B的大小为120°，则四棱锥A′－BCNM的外接球的表面积为61π
D．在翻折过程中，四棱锥A′－BCNM体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于选项A，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则无论点P在A′N上什么位置，都存在CP与BQ相交，折叠后为梯形BCQP，
则CP不与平面A′BM平行，故选项A错误；
对于选项B，设 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，
又因为MN⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，
SKIPIF 1 < 0 ，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故选项B正确；
对于选项C，设 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
若 SKIPIF 1 < 0 且二面角A′－MN－B的大小为120°，则△AMN为正三角形，
∠BMN＝120°，∠C＝60°，则BCNM四点共圆，圆心可设为点G，其半径设为r，
DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以点G即为点D，所以r＝3，
二面角A′－MN－B的平面角即为∠A′ED＝120°，过点A′作A′H⊥DE，垂足为点H，
EH＝ SKIPIF 1 < 0 ，DH＝ SKIPIF 1 < 0 ，A′H＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设外接球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得R2＝ SKIPIF 1 < 0 ，
所以外接球的表面积为S＝4πR2＝61π，故选项C正确；
对于选项D，设 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 是四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高.
S△AMN＝ SKIPIF 1 < 0 6λ6λ SKIPIF 1 < 0 ＝9 SKIPIF 1 < 0 λ2，
S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 66 SKIPIF 1 < 0 ＝9 SKIPIF 1 < 0 ，
所以S四边形BCNM＝9 SKIPIF 1 < 0 （1－λ2），则VA′－BCNM＝ SKIPIF 1 < 0 9 SKIPIF 1 < 0 （1－λ2）h≤3 SKIPIF 1 < 0 （1－λ2）A′E
＝3 SKIPIF 1 < 0 （1－λ2）3 SKIPIF 1 < 0 λ＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），
可设f（λ）＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），
则 SKIPIF 1 < 0 ＝27（－3λ2＋1），令 SKIPIF 1 < 0 ＝0，
解得λ＝ SKIPIF 1 < 0 ，则函数f（λ）在（0， SKIPIF 1 < 0 ）上单调递增，在（ SKIPIF 1 < 0 ，1）上单调递减，
所以f（λ）max＝f（ SKIPIF 1 < 0 ）＝6 SKIPIF 1 < 0 ，
则四棱锥A′－BCN体积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确.
故选：BCD
1-3、（2021·江苏苏州市·高三期末）已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，．将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点.下列结论中正确的是（ ）

A．B．点到平面的距离为
C．平面D．四面体的外接球表面积为
【答案】BD
【解析】因为，，
所以为等腰直角三角形，过C做，交AB于F，如图所示：
所以，即AE=BF，又，，
所以，则，
对于A：因为，，平面BCDE，
所以平面BCDE，平面BCDE，
所以，
若，且平面ADE，
则平面ADE，
所以DE
与已知矛盾，所以BC与AD不垂直，故A错误；
对于B：连接MC，如图所示，
在中，DE=DC=1，所以，又，EB=2，
所以，所以，
又因为，平面AEC，
所以平面AEC，平面AEC，
所以，即为直角三角形，
在中，，所以，
因为是的中点，
所以的面积为面积的一半，所以，
因为，
所以DE即为两平行线CD、EB间的距离，
因为，设点E到平面的距离为h，
则，即，
所以，所以点到平面的距离为，故B正确；
对于C：因为，平面ADC，平面ADC，所以平面ADC，
若平面，且平面AEB，
所以平面ACD平面AEB，与已知矛盾，故C错误.
对于D：因为，所以的外接圆圆心为EB的中点，
又因为，所以的外接圆圆心为AB的中点M，
根据球的几何性质可得：四面体的外接球心为M，
又E为球上一点，在中，
所以外接球半径,
所以四面体的外接球表面积，故D正确.
故选：BD
题组二 几何体的多边形问题
2-1、（2020·山东·模拟预测）足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有______.个正六边形的面，若正六边形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则足球的直径为______.cm(结果保留整数)(参考数据 SKIPIF 1 < 0

【答案】 20 22
【解析】因为足球是由正五边形与正六边形构成，
所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，
每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，
而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论.
设正五边形为 SKIPIF 1 < 0 块，正六边形为 SKIPIF 1 < 0 块，有题知：
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以足球有 SKIPIF 1 < 0 个正六边形的面.
每个正六边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
每个正五边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
球的表面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以足球的直径为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
2-2、（2021·全国高三专题练习（文））碳70是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（ ）．
A．12B．25C．30D．36
【答案】B
【解析】根据题意，顶点数就是碳原子数即为70，每个碳原子被3条棱长共用，
故棱长数，
由欧拉公式可得面数=2+棱长数-顶点数，
设正五边形x个，正六边形y个，
则，，解得，，
故正六边形个数为25个，即六元环的个数为25个，
故选：B
2-3、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】根据题意，该几何体的表面积分成两部分，一部分是6个完全相同的正方形，另一部分是8个完全相同的等边三角形
6个完全相同的正方形的面积之和为： SKIPIF 1 < 0
8个完全相同的等边三角形的面积之和为： SKIPIF 1 < 0
故该几何体的表面积为： SKIPIF 1 < 0
故选：B
题组三 几何体的综合性问题
3-1、（2022·江苏常州·高三期末）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的定点，且 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是直角三角形
B．四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．任意点 SKIPIF 1 < 0 ，都有直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】由已知计算可得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，A对
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最小
在 SKIPIF 1 < 0 上取 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，B对
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时，平面 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 矛盾，D错.
故选:AB
3-2、（2022·广东揭阳·高三期末）如图所示，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得的截面可以是四边形､五边形或六边形
B．当点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点不重合时，平面 SKIPIF 1 < 0 截正方体所得的截面是五边形
C． SKIPIF 1 < 0 是锐角三角形
D． SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】解：如图，当点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两点不重合时，将线段 SKIPIF 1 < 0 向两端延长，分别交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，此时截面为五边形MPSNR，故B正确；
当点 SKIPIF 1 < 0 与点A或点 SKIPIF 1 < 0 重合时，截面为四边形，不可能为六边形，故A不正确；
考虑 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为钝角，所以C错误；
当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离取到最大值， SKIPIF 1 < 0 的面积取到最大值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 边上的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
面积为 SKIPIF 1 < 0 ，即最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD.
3-3、（2022·广东罗湖·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若将 SKIPIF 1 < 0 沿AC边上的中线BD折起，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCD．点E在由此得到的四面体ABCD的棱AC上运动，则下列结论正确的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．四面体ABCD的体积为 SKIPIF 1 < 0
C．存在点E使得 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 D．四面体ABCD的外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于A：取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
显然不可能，故选项A错误；
对于B：考查三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积，易知 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面 SKIPIF 1 < 0 中，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 ，
即三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
即四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
对于C：显然当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积取得最小值，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
对于D：设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的外心依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，
则四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确.
故选：BCD.
1、（2022·河北保定·高三期末）（多选题）如图， SKIPIF 1 < 0 为正方体中所在棱的中点，过 SKIPIF 1 < 0 两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】BD
【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.
故选：BD
2、（2021·辽宁高三模拟）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，其中“扭棱十二面体”就是一种“阿基米德多面体”.它是由 SKIPIF 1 < 0 个正三角形和 SKIPIF 1 < 0 个正五边形组成的，若多面体的顶点数、棱数和面数满足：顶点数 SKIPIF 1 < 0 棱数 SKIPIF 1 < 0 面数 SKIPIF 1 < 0 ，则“扭棱十二面体”的顶点数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为扭棱十二面体是由 SKIPIF 1 < 0 个正三角形和 SKIPIF 1 < 0 个正五边形组成的，
所以面数为 SKIPIF 1 < 0 ，棱数为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为多面体的顶点数、棱数和面数满足：顶点数 SKIPIF 1 < 0 棱数 SKIPIF 1 < 0 面数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以扭棱十二面体的顶点数为： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
3、（2022·江苏如东·高三期末）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，AC1⊥平面α，当平面α过点B1时，平面α截此正方体所得截面多边形的面积为_________；当平面α过线段BC中点时，平面α截此正方体所得截面多边形的周长为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】如下图所示，由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可证， SKIPIF 1 < 0 ，由线面垂直判定可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即平面α截此正方体所得截面就是平面 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 .
分别取 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 ，容易得出 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于一点 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 共面， SKIPIF 1 < 0 共面，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 共面，容易证明 SKIPIF 1 < 0 ，由线面垂直判定可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即平面α截此正方体所得截面就是平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面α截此正方体所得截面多边形的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
4、（2022·广东·铁一中学高三期末）（多选题）如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点(不含端点)，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积是定值
C．异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0
D．二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】解：对于A，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
对于B，设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积不是定值，所以B错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
对于D，如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可求得平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确，
故选：ACD
5、（2022·湖南常德·高三期末）（多选题）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，P，Q分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，M为线段BD上的动点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
D．M为BD的中点时，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为60°
【答案】BC
【解析】由正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，故A错误；
由正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由题可知M到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为定值d=2，三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 为定值，所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，故C正确；
如图建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设平面PQM的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量可取 SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：BC.
6、（2022·湖北武昌·高三期末）（多选题）已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为 SKIPIF 1 < 0 的菱形，B，C分别为AE，FD的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则在该四面体中（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．BE与平面DCE所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
C．四面体ABCD的内切球半径为 SKIPIF 1 < 0
D．四面体ABCD的外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】由题意得，展开图拼成的几何体如下图所示，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
取AB中点M，CD中点N，MN中点O，连MN、OA，过O作 SKIPIF 1 < 0 于H，
则OH是内切球的半径，OA是外接球的半径.
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
对于A： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面ABN，而 SKIPIF 1 < 0 平面ABN ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：由于 SKIPIF 1 < 0 平面ACD，故平面ABN SKIPIF 1 < 0 平面ACD，故 SKIPIF 1 < 0 是BE与平面DCE所成角，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D： SKIPIF 1 < 0
所以外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.故选：ACD
7、（2022·湖南郴州·高三期末）（多选题）如图，点 SKIPIF 1 < 0 是棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 的表面上一个动点，则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上运动时，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积不变
B．当 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上运动时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C．当直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为45°时，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，当 SKIPIF 1 < 0 在底面 SKIPIF 1 < 0 上运动，且满足 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 长度的最小值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】A. 当 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上运动时，点 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离不变， SKIPIF 1 < 0 不变，
故四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积不变，故A正确；
B. 建立如图所示空间直角坐标系：

设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C.因为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
若点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 内，因为 SKIPIF 1 < 0 最大，不成立；
在平面 SKIPIF 1 < 0 内，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面 SKIPIF 1 < 0 内，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面 SKIPIF 1 < 0 时，如图所示：
，
作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的四分之一圆，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹总长度为长度为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
D.建立如图所示空间直角坐标系：

设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故D错误；
故选：AC.
8、（2022·湖北襄阳·高三期末）（多选题）在棱长为 SKIPIF 1 < 0 正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则下列判断正确的是（ ）
A．无论点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的什么位置，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值 SKIPIF 1 < 0
B．无论点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的什么位置，都有 SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异面
D．若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
对于A选项，因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，即为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ，A错；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无解，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不可能平行，
若 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异面，C对；
对于D选项，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，此时 SKIPIF 1 < 0 取最大值，
且 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：BCD.