新疆部分学校2024届高三下学期4月（二模）大联考数学试卷(含答案)

这是一份新疆部分学校2024届高三下学期4月（二模）大联考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知抛物线,点在抛物线C上,则( )
A.1或2B.2C.2或D.
3．已知非零向量,的夹角为,且,,则( )
A.B.C.D.
4．若数据,,,的平均数为,方差为,则数据,,,,的方差为( )
A.B.C.D.
5．已知等差数列的前n项和为,若,则( )
A.B.C.D.
6．已知函数的部分图象如图所示,图象的一个最高点为M,图象与x轴的一个交点为,且点M,N之间的距离为5,则( )
A.B.C.D.2
二、多项选择题
7．设,为复数,则下列命题正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则与互为共轭复数是的充要条件
D.若,,则
8．如图,在平行四边形中,,且,为的中线,将沿BF折起,使点C到点E的位置,连接AE,DE,CE,且,则( )
A.平面B.AE与平面所成角的正切值是
C.BC与DE所成的角为D.点到平面的距离为
9．设函数,则( )
A.在上单调递减B.在上的最大值为
C.方程只有一个实根D.,都有成立
三、填空题
10．过双曲线的右焦点F向双曲线C的一条渐近线作垂线,垂足为D,线段FD与双曲线C交于点E,过点E向另一条渐近线作垂线,垂足为G,若,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
11．已知函数满足且,当时,,则函数在区间上的零点个数为( )
A.0B.1C.5D.10
12．已知圆锥的底面周长为,其侧面积与半径为的球的表面积相等,则该圆锥的体积为_____________.
13．的展开式中x项的系数是___________________.（用数字作答）
四、双空题
14．已知函数满足其导函数为偶函数,,,在如下三个函数：①;②;③中,共有6个参数a,b,c,d,k,m.请在集合中,取出合适的数赋予上面6个参数.使其满足题目要求,则a,b,c,d,k,m的值分别是_________________（按对应的参数顺序写）;此时,在函数③中,的极小值是______________.
五、解答题
15．已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)当时,恒成立,求实数a的最大值.
16．目前不少网络媒体都引入了虚拟主播,某视频平台引入虚拟主播A,在第1天的直播中有超过100万次的观看.
(1)已知小李第1天观看了虚拟主播A的直播,若小李前一天观看了虚拟主播A的直播,则当天观看虚拟主播A的直播的概率为,若前一天没有观看虚拟主播A的直播,则当天观看虚拟主播A的直播的概率为,求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播A的直播的概率;
(2)若未来10天内虚拟主播A的直播每天有超过100万次观看的概率均为,记这10天中每天有超过100万次观看的天数为X.
①判断k为何值时,最大;
②记,求.
17．如图,三棱锥的所有棱长都是,E为的中点,且A为FG的中点.
(1)求证：平面平面;
(2)若,平面与平面夹角的余弦值为,求FG的长.
18．已知直线l与平面所成的角为,动点P在平面内,如果点P到直线l的距离总是,则点P的轨迹为椭圆C,如图所示.以该椭圆的中心为坐标原点,长轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A,B分别为椭圆C的左、右顶点,动点Q在直线上,直线QA交椭圆C于另一点M,直线QB交椭圆C于另一点N,探究：直线MN是否经过一定点？若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
19．我们把满足下列条件的数列称为数列：
①数列的每一项都是正偶数;
②存在正奇数m,使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数.
(1)若a,b,c是公差为2的等差数列,求证：a,b,c不是数列;
(2)若数列满足对任意正整数p,q,恒有,且,判断数列是否是数列,并证明你的结论;
(3)已知各项均为正数的数列共有100项,且对任意,恒有,若数列为数列,求满足条件的所有两位数k值的和.
参考答案
1．答案：B
解析：由,得或,所以,
由,得,
因为,所以,或,或,
所以,
所以,
故选：B.
2．答案：C
解析：因为点在抛物线C上,所以,
整理得,解得或.
故选：C.
3．答案：A
解析：由,得;
由,得,
所以,
所以,
因为,所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：因为数据,,,的平均数为,方差为,所以,,
所以数据,,,,的平均数为,方差为.
故选：C.
5．答案：A
解析：因为,所以,所以.
因为,所以.
另解析：设等差数列的公差为d,
由,得,
所以,即,得,
所以,
因为,
,
,
,
所以
故选：A.
6．答案：D
解析：函数的最大值为4.设的最小正周期为T,
依题意,得,解得,
所以,解得,所以,
又点在函数的图象上,所以,
结合图象,知,解得,所以,
所以.
故选：D.
7．答案：ACD
解析：对于A,,故A正确;
对于B,虚数不能比较大小,当时,不满足题意,故B错误;
对于C,若,则,充分性成立.若,
则,即.又,所以,必要性成立.
综上,当时,与互为共轭复数是的充要条件,故C正确;
对于D,由,,知在复平面内,与对应的向量的夹角为,所以,故D正确.
故选：ACD.
8．答案：AB
解析：因为,且,所以,.
又为的中线,所以,.
因为,所以.由题意,知,所以.
又,且,平面,所以平面,故A正确;
因为,,,所以平面.
又,所以平面.所以与平面所成的角为.
在中,,.所以,故B正确;
因为,所以或其补角即为与所成的角,连接,在中,,,,
所以由余弦定理,得.
在中,由勾股定理,得.
所以在中,,.
由余弦定理的推论,得,所以,
所以与所成的角为,故C错误;
因为,且,所以.又,
所以.
因为点到平面的距离为,所以由等体积法,得点C到平面的距离为,故D错误.
故选：AB.
9．答案：BCD
解析：由题可得,令,则,
当时,,所以,在上单调递减.
又,所以当时,,即,
当时,,即,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以在上,.
当时,,
所以在上的最大值为,故A错误,B正确;
,即,
由图象知,与的图象只有一个交点,故C正确;

令,则,
当时,,单调递增,
当时,,当时,,
所以在上先增后减,
又,,所以成立,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：A
解析：由题意,知双曲线C的渐近线方程为.
设双曲线C的半焦距为c,则右焦点到渐近线的距离.
设点,则,即.
又,
所以,
解得.
故选：A.
11．答案：B
解析：由题意,知4为函数的一个周期且函数的图象关于直线对称.
当时,由函数的解析式,两出函数的大致图象如图所示.
当时,函数的图象与函数的图象有且仅有一个交点;
当时,总有.而函数在区间上单调递增且,,
所以函数的图象与函数的图象在区间上没有交点.
综上,函数在区间上的零点个数为1.
故选：B.
12．答案：
解析：设该圆锥的底面半径为r,母线长为l,则,解得.
因为半径为的球的表面积为,即,解得,
则圆锥的高.
所以该圆锥的体积.
故答案为：.
13．答案：-27
解析：因为展开式的通项为,,
展开式的通项为,,
所以,
令,因为,,
所以时,可配凑出x项,
此时x项的系数为.
故答案为：-27.
14．答案：,1,,0,,-2;
解析：对于①,因为,所以,显然为偶函数,
因为,所以.又,所以.
对于②,因为,所以.
因为为偶函数,所以,显然.又,所以.
对于③,因为,所以,
易知为偶函数.又,所以.
又,所以.
所以a,b,c,d,k,m的值分别为,1,,0,,-2.
此时,③中,.
方法一：由,得,
令,画出两函数的图象,如图所示,
由图可知当时,,
所以当时,,则在单调递增,
当或时,,在和单调递减,
所以函数的极小值为.
方法二：令,则,令,得.
令,则,
所以在R上单调递减,即在R上单调递减,
所以当时,,则在单调递增,即在单调递增,
当时,,则在单调递煘,即在单调递煘,
所以.又,
所以当时,,则在单调递增,
当或时,,在和单调递减,
所以函数的极小值为.
故答案为：,1,,0,,-2;
15．答案：(1)单调递增区间为,单调递减区间为
(2)
解析：(1)当时,,
求导,得.
令,解得（舍去）或,
当时,,即在单调递增;
当时,,即在单调递减,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)当时,恒成立,
即当时,恒成立,
令,则,
令,,则,
所以当时,,当时,,
所以当时,单调递减,当时,单调递增,
所以的最小值为,
所以,这表明恒成立,
这意味着在时单调递增,
所以的最小值为.
16．答案：(1)
(2)①;②
解析：(1)由已知小李第2天和第3天都没有观看虚拟主播A直播的概率为,
所以小李第2天和第3天至少有一天观看虚拟主播A直播的概率为.
(2)①由已知X服从二项分布,所以,
由,
当时,,所以,即,
当时,,所以,即,
综上,当时,最大.
②因为,所以或,
当时,,
,
当时,,
,
.
17．答案：(1)证明见解析
(2)8
解析：(1)连结,
因为,,且点E是的中点,

所以,,,且,平面,
所以平面,
因为,所以B,E,G,A,F共面,
所以平面和平面是同一平面,
所以平面,且平面,
所以平面平面;
(2)由(1)可知,平面,且平面,
所以平面平面,且平面平面,
设点A是底面上的射影为O,点O在上,
因为三棱锥的棱长都是,所以,,
以点O为坐标原点,过点O作与平行的直线为x轴,,所在直线为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设,,
则,,,,,,,
所以,,,,
设平面的法向量为,
则,即,
令,得,,
所以平面的法向量为,
设平面的法向量为,
则,即,令,则,,
所以平面的法向量为,
设平面与平面的夹角为,
则,
整理为,解得：或(舍去),
所以的长度为8.
18．答案：(1)
(2)直线经过x轴上一定点T,定点的坐标为
解析：(1)在空间中,到直线l的距离为的点的轨迹是以直线l为轴,底面半径为的圆柱形曲面,平面截该圆柱形曲面形成椭圆,
设椭圆C的方程为,
由题意知,椭圆C的短半轴长为,
由直线l与平面所成的角为,知椭圆C的长半轴长为,
所以椭圆C的方程为;
(2)由图形的对称性,知若直线经过顶点,则定点必在x轴上,
假设直线经过x轴上一定点,
当直线的倾斜角不为0时,设直线的方程为,
由,得,
设,,
则,,
直线的方程为,直线的方程为,
由题意知,直线与直线相交于点Q,且点Q在直线上,
所以,即,
所以,
所以,
所以,
由,得,
代入,得,
即,（*）
当时,（*）式恒成立,所以,
当直线的倾斜角为0时,经检验,也过点,
所以直线经过x轴上一定点T,定点T的坐标为.
19．答案：(1)证明见解析;
(2)数列是数列;证明见解析.
(3)1546.
解析：(1)若a,b,c是 数列, 则a,b,c都是正偶数,
设 ,则
若, 则,a除以 3 为, 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
若, 则,b除以 3 为, 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
若,则,c除以 3 为, 是正偶数, 与题中条件 (2) 矛盾,
所以a,b,c不是 数列.
(2)在 中, 令 ,得 ,
所以数列是首项为8,公比为8的等比数列,所以,
因为是正偶数,所以数列的每一项都满足题中条件(1),
因为,
能被 7 整除,
所以除以7的余数为1 ,即数列的每一项被7除余1 ,一定不是正整数,
所以一定不是正偶数, 即数列的每一项都满足题中条件(2),
所以数列是数列.
(3)因为
,
所以 ①,
②,
①-②得 .
因为, 所以 ③,
④,
③-④得 .
因为, 所以.
在 中,
分别令,得 ,,,
所以数列是首项为,公差为k的等差数列,
所以.
若数列是数列,
则k是正偶数,,,,,除以111所得的商都不是正偶数,
因为, 且,,
所以当k为3或 37的正偶数倍时, 数列不是数列,
所以满足条件的所有两位数k值的和为
.