新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.8　函数的图象（含解析）

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这是一份新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.8　函数的图象（含解析），共16页。

知识梳理
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,0y＝f(ax)．
②y＝f(x)eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d5(0y＝af(x)．
(3)对称变换
①y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．
②y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．
③y＝f(x)eq \(――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)eq \(――――――→,\s\up7(关于y＝x对称))
y＝lgax(a>0且a≠1)．
(4)翻折变换
①y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\d5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.
②y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\d5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．
常用结论
1．函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
2．函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．( × )
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．( × )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( × )
教材改编题
1．下列图象是函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的图象的是( )
答案 C
解析其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．
2．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案 e－x＋1
解析 f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.
3.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2答案 1
解析由图象可知不等式－2故x＋t∈(0,3)，
即不等式的解集为(－t，3－t)，
依题意可得t＝1.
题型一作函数的图象
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
解 (1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．
(2)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分)．
(3)y＝x2－|x|－2＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－2，x≥0，,x2＋x－2，x<0，))函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示．
教师备选
作出下列函数的图象：
(1)y＝2－|x|；
(2)y＝sin|x|.
解 (1)先作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x图象中x≥0的部分，再作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象，如图①实线部分．
图① 图②
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.
思维升华图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
跟踪训练1 作出下列函数的图象：
(1)y＝eq \f(2x－1,x－1)；
(2)y＝|x2－4x＋3|.
解 (1)y＝eq \f(2x－1,x－1)＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示．
(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示．
题型二函数图象的识别
例2 (1)(2022·百师联盟联考)函数f(x)＝eq \f(x·cs x,e|x|)的图象大致为( )
答案 D
解析由题意知，f(x)的定义域为R，
f(－x)＝eq \f(－x·cs－x,e|－x|)
＝eq \f(－x·cs x,e|x|)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数，排除C；
f(1)＝eq \f(cs 1,e)>0，排除A；
f(2)＝eq \f(2cs 2,e2)<0，排除B.
(2)(2022·泉州模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1－1，x≤1，,lg2x，x>1，))则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )
答案 B
解析函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1－1，x≤1，,lg2x，x>1，))
所以y＝g(x)＝f(1－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e－x－1，x≥0，,lg21－x，x<0，))
所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，
故选项A，C错误；
当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，
故选项D错误，选项B正确．
教师备选
(2022·长春模拟)函数f(x)＝cs πx＋ln|2x|的大致图象是( )
答案 C
解析因为f(x)＝cs πx＋ln|2x|(x≠0)，
所以f(－x)＝cs(－πx)＋ln|－2x|＝cs πx＋ln|2x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项A；
f(1)＝cs π＋ln 2＝－1＋ln 2<0，故排除选项B；
f(2)＝cs 2π＋ln 4＝1＋2ln 2>0，故排除选项D.
思维升华识别函数的图象的主要方法有：(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝eq \f(3x－3－x,x4)的大致图象为( )
答案 B
解析易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝eq \f(3－x－3x,－x4)＝－eq \f(3x－3－x,x4)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，
f(1)＝3－eq \f(1,3)＝eq \f(8,3)>0，排除D，
当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合．
(2)如图可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝2x－x2－1
B．y＝eq \f(2xsin x,4x＋1)
C．y＝(x2－2x)ex
D．y＝eq \f(x,ln x)
答案 C
解析函数的定义域为R，排除D；
当x<0时，y>0，A中，x＝－1时，
y＝2－1－1－1＝－eq \f(3,2)<0，排除A；
B中，当sin x＝0时，y＝0，
∴y＝eq \f(2x·sin x,4x＋1)有无数个零点，排除B.
题型三函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例3 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析将函数f(x)＝x|x|－2x
去掉绝对值，得
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))
画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
命题点2 函数图象在不等式中的应用
例4 若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝lgax的图象的下方，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,2]
解析如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝lgax的图象．
由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝lgax的图象的下方，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,lga2≥1，))解得1命题点3 求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－x，x≤0，,lg2x－x，x>0，))若方程f(x)＝－2x＋a有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，1]
解析方程f(x)＝－2x＋a有两个不同的实数根，即方程f(x)＋x＝－x＋a有两个不同的根，等价于函数y＝f(x)＋x与函数y＝－x＋a的图象有两个不同的交点．
因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－x，x≤0，,lg2x－x，x>0，))
所以y＝f(x)＋x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,lg2x，x>0，))
作出函数y＝f(x)＋x与y＝－x＋a的大致图象如图所示．
数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)＋2x－a有两个不同的零点．
教师备选
已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________________．
答案 (－2，－1)∪(1,2)
解析 ∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，
由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图．
当x∈(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，
当x∈(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)时，
f(x)<0，
∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1,2)．
思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当01.
(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．
答案 (－1,0)∪(1，eq \r(2)]
解析由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，eq \r(2)]．
课时精练
1．函数f(x)＝eq \f(sin 3x,ln|x|)的图象大致是( )
答案 A
解析根据题意，函数f(x)＝eq \f(sin 3x,ln|x|)，
其定义域为{x|x≠0且x≠±1}，
有f(－x)＝－eq \f(sin 3x,ln|x|)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，排除B，D，
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(sin \f(π,2),ln \f(π,6))<0，所以排除C.
2．为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C
解析 ∵y＝lg eq \f(x＋3,10)＝lg(x＋3)－1，
∴y＝lg xeq \(――――――――――→,\s\up7(向左平移3个单位长度 ))
y＝lg(x＋3)eq \(――――――――――→,\s\up7(向下平移1个单位长度 ))
y＝lg(x＋3)－1.
3．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝(4x－4－x)|x|
B．f(x)＝(4x－4－x)lg2|x|
C．f(x)＝eq \f(4x＋4－x,|x|)
D．f(x)＝(4x＋4－x)lg2|x|
答案 D
解析由图知，f(x)为偶函数，故排除A，B；
对于C，f(x)>0不符合图象，故排除C；
对于D，f(－x)＝(4x＋4－x)lg2|x|＝f(x)为偶函数，且在区间(0,1)上，f(x)<0，符合题意．
4．(2022·沈阳质检)若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x<－1，,lnx＋a，x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(5,4) C．－1 D．－2
答案 C
解析 ∵f(－1)＝0，∴ln(－1＋a)＝0，
∴－1＋a＝1，∴a＝2，
又y＝ax＋b过点(－1,3)，
∴2×(－1)＋b＝3，∴b＝5，
∴f(－3)＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.
5．(2022·长沙质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为( )
图① 图②
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)
C．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)
答案 B
解析观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|)．
6．下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
答案 B
解析方法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．
方法二由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数f(x)＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A，C，D.
7．(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
答案 AC
解析 f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．
8．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－3x，x≥0，,－e－x＋1，x<0，))方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(3,2)对称
B．函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增
C．当m∈(1,2)时，方程有2个不同的实数根
D．当m∈(－1,0)时，方程有3个不同的实数根
答案 BC
解析对于选项A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e，
显然函数f(x)的图象不关于直线x＝eq \f(3,2)对称；
对于选项B，f(x)＝x2－3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增，
作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图，
对于选项C，当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图形可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2个不同的实数根；
对于选项D，当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图形可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4个不同的实数根．
9．已知函数y＝f(－x)的图象过点(4,2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________．
答案 (－4,2)
解析 y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，
故y＝f(x)的图象一定过点(－4,2)．
10．若函数f(x)＝eq \f(ax－2,x－1)的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.
答案 1
解析 f(x)＝eq \f(ax－a＋a－2,x－1)＝a＋eq \f(a－2,x－1)，
关于点(1，a)对称，故a＝1.
11．(2022·青岛模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－1，x≥0，,x2－2x－1，x<0，))则对任意x1，x2∈R，若x2>0>x1>－x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是________．
答案 f(x1)解析作出函数f(x)的图象(图略)，
由图知f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∵0>x1>－x2，
∴f(x1)12．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq \f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
13．若函数f(x)＝(emx－n)2的大致图象如图所示，则( )
A．m>0,00，n>1
C．m<0,01
答案 B
解析令f(x)＝0，得emx＝n，即mx＝ln n，
解得x＝eq \f(1,m)ln n，
由图象知x＝eq \f(1,m)ln n>0，
当m>0时，n>1，当m<0时，0当m<0时，易知y＝emx是减函数，
当x→＋∞时，y→0，f(x)→n2，故排除C.
14．(2022·济南模拟)若平面直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,\f(2,ex)，x≥0，))则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
解析作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝eq \f(2,ex)(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．
15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21－x，x≥1，,2x－1，x<1，))若f(2x－2)≥f(x2－x＋2)，则实数x的取值范围是( )
A．[－2，－1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案 D
解析作出f(x)的图象，如图所示，
由图知f(x)的图象关于直线x＝1对称且在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴|2x－2－1|≤|x2－x＋2－1|，
即|2x－3|≤|x2－x＋1|＝x2－x＋1，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3≤x2－x＋1，,2x－3≥－x2＋x－1，))
解得x≥1或x≤－2.
16．(多选)(2022·滨州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是( )
A．函数y＝f(x)是奇函数
B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函数y＝f(x)的值域为[0,2eq \r(2)]
D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增
答案 BCD
解析由题意得，当－4≤x＜－2时，点B的轨迹为以(－2,0)为圆心，2为半径的eq \f(1,4)圆；
当－2≤x＜2时，点B的轨迹为以原点为圆心，2eq \r(2)为半径的eq \f(1,4)圆；
当2≤x＜4时，点B的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的eq \f(1,4)圆，如图所示．
以后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误；
因为f(x)的周期为8，所以f(x＋8)＝f(x)，
即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；
由图象可知，f(x)的值域为[0,2eq \r(2)]，
故C正确；
由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)在[6,8]的图象和在[－2,0]的图象相同，故D正确．