广东省大湾区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份广东省大湾区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、座位号和考号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 甲地的平均海拔为，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，
∴乙地的平均海拔为．
故选：B．
2. 第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为，该数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：，
故选：D．
3. 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
答案：B
解析：由数轴可得：，
∴，
∴
，
故选B．
4. 如图，a，b是两条平行线，三角板的直角顶点在直线b上，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D. 与三角板形状有关
答案：A
解析：如图，
∵，，
∴，
∴，
故选A
5. 若，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
答案：B
解析：∵
∴和是同类项
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6. 掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：分析：根据题意和题目中的数据可以求得点数为奇数的概率．
详由题意可得，
点数为奇数的概率是：，
故选C．
7. 若一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：一元一次不等式组的解集为，
所以，，
解得，，
故选：D
8. 如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点G，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵四边形为菱形，
∴，
又∵为平行四边形，
∴，
∴，
故选A．
9. 如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（ ）
A. 2B. C. 4D.
答案：C
解析：如图，连接，交于，
∵菱形，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，，
作点关于直线的对称点，连接，
∴，
∵点为边上中点，则点也为边的中点，
∴当点、、在一条直线上时，有最小值，
连接交于，
∴当重合时，为最小值，
∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴的最小值是，
故选：C．
10. 若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，，则的费马点到，，三点的距离之和为（ ）
A B. C. D.
答案：A
解析：过作于点，过分别作，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴点是的费马点，
∵，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
即的费马点到，，三点的距离之和为，
故选：．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知，，则______．
答案：1
解析：
；
当，时，原式．
故答案为：1．
12. 若a，b是一元二次方程的两个根，则______．
答案：4
解析：∵a，b是一元二次方程两个根，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
13. 如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，若点刚好落在边上的点处，则_____．
答案：##0.6
解析：∵四边形是矩形，
∴，，，
由翻折性质可知，，，，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，已知抛物线过，两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，当时，______．
答案：
解析：过点D作轴交y轴于点M，过点D作轴交x轴于点N，如图
∵抛物线过，两点
∴
解得
∴
∴，
又∵，
∴
∵轴，轴
∴
∴
∴
∴
解得
∵抛物线图象开口向下
∴
故答案为：．
15. 如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为，则眼梢到鼻翼的距离为______．（，结果保留两位小数）
答案：3.24
解析：如图，
由题意可得：，，，
∴，而，，
∴，
∴，
经检验符合题意；
∴眼梢到鼻翼的距离约为，
故答案为
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分
16. （1）计算：；
（2）已知，，求的值．
答案：（1）；（2）36
解析：（1）
．
（2），且，
．
．
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出时x的取值范围．
答案：（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）或
【小问1详解】
依题意，点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的解析式为．
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
，两点均在一次函数的图象上，
解得
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
【小问2详解】
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为或，
∴当，即当时x的取值范围为或．
18. （1）求边长为的等边三角形的面积；
（2）小明将一根长为的绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形．问：如何剪才能够使得这两个等边三角形的面积和最小？最小面积和为多少？
答案：（1）；（2）将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，最小面积和为
解析：（1）如图，在等边三角形中，过点A作于点H，则．
由勾股定理可得．
等边三角形的面积为．
（2）设第一段绳子的长为，则第二段绳子的长为，其中．
由（1）可知，第一个等边三角形的面积为，
第二个等边三角形的面积为，
两个三角形的面积和为
．
当时，取等号．
当，即将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，最小面积和为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分，
19. 如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：设（1）中的平分线交于点，若的面积为，，求点到的距离．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
的角平分线下图所示．
【小问2详解】
如图，过点作于点，
为角平分线上的点，，，
，
，
，，即，
．
20. 某校为了解九年级学生对急救知识的掌握情况，从全年级1000名学生中随机抽取部分学生进行测试，所得成绩分为以下四种等级：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格），将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
已知扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为，根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）如果全年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该年级获得A等级的学生人数；
（3）为分析学生对急救知识掌握情况欠缺的原因，该校决定从D等级的学生中随机抽取两名进行调查，若D等级中有2名男生，其余均为女生，求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
答案：（1）见解析 （2）200
（3）
【小问1详解】
随机抽取的人数为（人），
D等级人数为（人），补全条形统计图如图所示．
．
【小问2详解】
该年级获得A等级的学生人数为（人）．
【小问3详解】
D等级的人数为4，
D等级中女生有2人．
设这4人分别为a，b，c，d，其中a，b为男生，c，d为女生，随机抽取两名学生，共有以下6种等可能的情况：，，，，，．
其中抽到一男一女的情况共有4种，即，，，．
（抽取的两名学生恰好是一男一女）．
21. 如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E．
（1）若的周长为12，求的长；
（2）若，求的度数．
答案：（1）6 （2）
【小问1详解】
由切线长定理可知，，，．
则的周长．
．
【小问2详解】
如图，连接，，，
则，．
．
在四边形中，，，
即，
．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如1图，在锐角三角形中，，，的对边分别为a，b，c．
（1）用b，c，表示的面积S；
（2）求证：；
（3）如2图，若，，且于点D，，求．
答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
【小问1详解】
如图1，过点C作于点E，
在中，，
．
【小问2详解】
证明：由（1）知，的面积，
同理，，
．
同时除以，得．
即．
【小问3详解】
，设，则，即，．
如图，在中，，
．
由勾股定理可得，
即，解得．
在中，，，
由勾股定理可得，
即，解得．
，．
由（2）得：，
．
23. 如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．以点B为圆心，为半径作圆，P是上的一个动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到．当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值．
答案：（1）
（2）24
【小问1详解】
如图，
当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形，且，
矩形为正方形．
．
．
，
，
将，分别代入，
得解得
抛物线解析式为．
【小问2详解】
如图，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
在和中，，．
，
．
．
．
点Q在以点D为圆心，半径为的圆上运动．
连接，过点D作交的延长线于点H．
∵，
∴当时，，
∴，
，
∴，
，．
．
在等腰直角三角形中，．
点Q到直线的距离最大值为．
面积的最大值为．