广东省广州市增城区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份广东省广州市增城区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了考试时不可使用计算器等内容，欢迎下载使用。

2024年增城区初中毕业生学业综合测试试题（一）
九年级数学
（本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用于2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修改带．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5．考试时不可使用计算器．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 在实数，，，中，无理数是（ ）
A. B. C. D. 3.14
【答案】B
解析：解：在实数，，，中，无理数是，
故选：B．
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解： A，B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
3. 已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
解析：解：将数24400000米用科学记数法表示是米．
故选：C．
4. 某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是,
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
6. 如图，在中，为的中点，连接，交于点，则等于（ ）
A. 1︰3B. 2︰3C. 2︰5D. 1︰2
【答案】D
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AF：CF=AE：BC，
∵点E为AD的中点，
∴AE=AD=BC，
∴AF：CF=1：2；
故选D．
7. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：依题意得，
即
解得
故选：B．
8. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A. 30B. 35°C. 40°D. 50°
【答案】C
解析：解：∵，，
∴，
又∵C、为对应点，点A为旋转中心，
∴，即为等腰三角形，
∴．
故选：C．
9. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长，与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（ ）．
A. B. 13C. D. 14
【答案】C
解析：解：如图，连接，
∵是的直径，
∴
∵的半径为5，，则
∴
∴
∵是过点的切线，则
∵
∴
∴
∴，即
∴
故选：C．
10. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）．
A. 或4B. 或C. 或4D. 或4
【答案】D
解析：解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故选：D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 分解因式：_______．
【答案】
解析：解：，
故答案为：．
12. 已知点，在直线上，且，则_______·（填“”“”或“”）
【答案】
解析：解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
13. 某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为，则可列方程为______．
【答案】
解析：解：设该公司营业额的月平均增长率为，根据题意得，，
故答案为：．
14. 抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是______．
【答案】
解析：解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
故答案为：．
15. 如图，数轴上点、表示的数分别为、，化简：_______．

【答案】
解析：解：根据数轴可得，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在平行四边形中，，，，点为线段的中点．动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点．点、同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为______．
【答案】
解析：解：如图所示，连接，延长交于点，设交于点
∵在平行四边形中，，，，点为线段的中点．
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴是等边三角形，
∵动点从点开始沿边以的速度运动至点，动点从点开始沿边以的速度运动至点
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴，过点O，
∴点是的外心，
∴，
∵点关于直线的对称点，
∴，
∴当点点运动到点时，点运动到点，此时与重合，则与点重合，则的运动轨迹为
∴点运动路径长为
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程组： ．
【答案】．
解析：解：
上下两方程相加，得，解得．
把代入中，得．
．
18. 如图，已知，平分，
求证：．
【答案】见解析
解析：证明：平分，
，
在和中
，
．
19. 春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：
（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ．
（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．
【答案】（1），，
（2）
【小问1解析】
解：这10位游客1天内使用共享电动车的次数的中位数是，众数是2，平均数是
故答案为：，，．
【小问2解析】
估计这些游客在春节期间每天使用共享电动车的总次数为（次）
20 已知．
（1）化简；
（2）若，是方程的两个根，求的值．
【答案】（1）
（2）
【小问1解析】
解：
；
【小问2解析】
解：∵，是方程的两个根，
∴
∴
21. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元
（2）购买吊兰的数量最多为17盆
【小问1解析】
解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：当时，则，
∴是原方程的解，
∴，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；
【小问2解析】
解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
22. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数，在第一象限的图象经过正方形的顶点．
（1）求点的坐标和反比例函数的解析式：
（2）若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为；
（2）存在，或或
【小问1解析】
解：如图所示，过点作轴于点，
则，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
点的坐标为，
将点的坐标为代入，
得，
∴反比例函数的关系式为；
【小问2解析】
解：如图所示，过点作轴于点，
同（1）可得，
∴
∴
设直线的解析式为，则
解得：，
∵点为直线上的一动点（不与点重合），点在轴
设，，又，
①当为对角线时，
解得：， 则
当为对角线时，
解得：， 则
当为对角线时，
解得：，则
综上所述：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，或或．
23. 如图，在中，是钝角．
（1）尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出，使其过、两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，若，，．
①求证：是的切线；
②求弦的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【小问1解析】
解：点D如图所示：
【小问2解析】
①证明：如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
又是半径，
∴是的切线；
②如图，

∵，，
∴，
∴，
∵直径，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 （是常数），顶点为．
（1）用含的式子表示抛物线的对称轴；
（2）已知点，当点不在轴上时，点关于轴的对称点为点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，连接，得到矩形．
①当时，点到边所在直线的距离等于点到轴的距离，求的值；
②当时，抛物线的一部分经过矩形的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标随着的增大而减小，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①或；；②或
【小问1解析】
解：
∴抛物线的对称轴为直线，
【小问2解析】
解：①
∴
到轴的距离为
点到边所在直线的距离
∵
∴，即
当时，
解得或（舍去）
当时，
解得或（舍去）
则或；；
②由题意可得：
当时，
当点分别在对称轴的左侧时，如下图：
此时需要满足的条件为：，解得
当点分别在对称轴的右侧时，如下图：
此时需要满足的条件为：，解得
综上：或
25. 如图，在等腰直角三角形中，，点在边的延长线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点．
（1）求的长；
（2）连接，请猜想与的数量和位置关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若点为中点，连接，，求的最小值．
【答案】（1）
（2），，证明见解析
（3）
【小问1解析】
解：∵在等腰直角三角形中，，
∴，
【小问2解析】
结论：，
证明：如图所示，连接，，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
又∵
∴三点共线，
∵为的中点．
∴，
∴
∵
∴四点共圆，
∵，
∴，
【小问3解析】
如图所示，过点作于点
∴
∴四点共圆，
∴
∴，
∴点在射线上运动，
∵
∴
作点关于的对称点，连接，当点在上时，，此时取的最小值，
∵是等腰直角三角形，是的中点，
∴，，
∴
在中，
即的最小值为．使用次数
人数