新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题3-1 利用导数解决切线（公切线）问题（2份打包，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc23412" PAGEREF _Tc23412 \h 1
\l "_Tc15308" 题型一：“在”型求切线 PAGEREF _Tc15308 \h 1
\l "_Tc32473" 题型二：“过”型求切线 PAGEREF _Tc32473 \h 5
\l "_Tc15585" 题型三：已知切线条数求参数 PAGEREF _Tc15585 \h 9
\l "_Tc4849" 题型四：判断切线条数 PAGEREF _Tc4849 \h 13
\l "_Tc12091" 题型五：公切线问题 PAGEREF _Tc12091 \h 16
\l "_Tc21020" 题型六：距离最小值 PAGEREF _Tc21020 \h 19
\l "_Tc18603" 题型七：等价转化为距离 PAGEREF _Tc18603 \h 23
\l "_Tc13332" PAGEREF _Tc13332 \h 27
题型一：“在”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以切点为 SKIPIF 1 < 0 ，切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：C
例题2．（2022·四川·雅安中学高二期中（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上满足 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】∵函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上满足 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 替换 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【提分秘籍】
已知 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程步骤：①求 SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】已知 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
则x＞0时， SKIPIF 1 < 0 ，
曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 ，即(1，0)处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ﹒
故选：C．
2．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过坐标原点，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过坐标原点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以所求切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
3．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点（3，－6）处的切线方程为（ ）
A．y＝9x＋21B．y＝－9x＋19C．y＝9x＋19D．y＝－9x＋21
【答案】D
【详解】解：因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点（3，－6）处的切线方程为y＋6＝－9（x－3），
即y＝－9x＋21.
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求切线方程为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
题型二：“过”型求切线
【典型例题】
例题1．（2022·全国·高二课时练习）过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，则切线方程为
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设切点为（m，m3-3m）， SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得切线斜率k＝3m2-3，
由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m2-3)（x﹣m），
代入点 SKIPIF 1 < 0 可得﹣6﹣m3+3m＝(3m2-3)（2﹣m），
解得m＝0或m＝3，
当m=0时，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当m=3时，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选A．
例题2．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期末（文））已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为______________.
【答案】0或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入点 SKIPIF 1 < 0 的坐标有 SKIPIF 1 < 0 ，
整理为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：0或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
函数 SKIPIF 1 < 0 图象过点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程：①设切线坐标 SKIPIF 1 < 0 ，②求出切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，③代入 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得切线方程．
【变式演练】
1．（2022·山西太原·高三阶段练习）若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
将点 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切点横坐标之和为 SKIPIF 1 < 0
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，则切线方程为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵切线过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴−ex0＝ex0(e−x0)，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 .
故选C.．
3．（2022·河南省淮阳中学高三阶段练习（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入并整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
4．（2022·陕西安康·高三期末（理））曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意可得点 SKIPIF 1 < 0 不在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴所求切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为点 SKIPIF 1 < 0 是切点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有唯一解 SKIPIF 1 < 0 ，
则所求切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型三：已知切线条数求参数
【典型例题】
例题1．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 可以作出三条直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数的几何意义求得切线斜率，由直线过 SKIPIF 1 < 0 得关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，此方程有3个不等的实根，方程转化为 SKIPIF 1 < 0 ，是三次方程，它有3个解，则其极大值与极小值异号，由此可得 SKIPIF 1 < 0 的范围．
【详解】设切点坐标 SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 切线过点 SKIPIF 1 < 0 切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵过点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 的三条切线， SKIPIF 1 < 0 方程 SKIPIF 1 < 0 有3个解．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 图象与 SKIPIF 1 < 0 轴有3个交点， SKIPIF 1 < 0 的极大值与极小值异号， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或2，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 是极大值， SKIPIF 1 < 0 是极小值，
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
例题2．（2022·全国·益阳平高学校高二期末）若过点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 三条切线，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点 SKIPIF 1 < 0 ，转化为方程有3个根，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数可知函数的极值，根据题意列出不等式组求解即可.
【详解】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，故切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在切线上，所以代入切线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
则关于t的方程有三个不同的实数根，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数，
且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以只需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故选：A
【提分秘籍】
过点 SKIPIF 1 < 0 可做函数 SKIPIF 1 < 0 的一条（或两条或三条）切线问题步骤：
①设切点 SKIPIF 1 < 0 ，求斜率 SKIPIF 1 < 0 ②求切线 SKIPIF 1 < 0 ③将点 SKIPIF 1 < 0 代入切线 SKIPIF 1 < 0 方程中得 SKIPIF 1 < 0 ④则问题转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 就有几个解⑤转化为交点问题或极值问题求解.
【变式演练】
1．（2022·浙江大学附属中学高三期中）若过 SKIPIF 1 < 0 可做 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
把点 SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，
化为： SKIPIF 1 < 0 ，则此方程有大于0的两个实数根．
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
2．（2022·辽宁·高二期末）若过点 SKIPIF 1 < 0 可以作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，因此切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，函数定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，不合题意；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，结合图像知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3．（2022·河南·马店第一高级中学高二期中（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 的三条切线，则实数m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极大小值 SKIPIF 1 < 0 ，
因为过点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 的三条切线，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 有3个解，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
题型四：判断切线条数
【典型例题】
例题1．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，则可作切线的最多条数是______．
【答案】3
【详解】∵点 SKIPIF 1 < 0 不在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，∴点 SKIPIF 1 < 0 不是切点，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故切线有3条.
故答案为：3.
【提分秘籍】
过点 SKIPIF 1 < 0 可做函数 SKIPIF 1 < 0 的几条切线问题步骤：
①设切点 SKIPIF 1 < 0 ，求斜率 SKIPIF 1 < 0 ②求切线 SKIPIF 1 < 0 ③将点 SKIPIF 1 < 0 代入切线 SKIPIF 1 < 0 方程中得 SKIPIF 1 < 0 ④解出 SKIPIF 1 < 0 即可判断切线为几条.
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测（理））过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，当 SKIPIF 1 < 0 时，切线的条数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
又切线过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，可得 SKIPIF 1 < 0 图象如下图所示，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的交点，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的解， SKIPIF 1 < 0 切线的条数为 SKIPIF 1 < 0 条.
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则过点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在切点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在切线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以过点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线的条数为2.
故选：C．
题型五：公切线问题
【典型例题】
例题1．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 的图象相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由点 SKIPIF 1 < 0 、点 SKIPIF 1 < 0 在切线上，得切线方程，进而即得.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 的图象相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 在切线上，得切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
由点 SKIPIF 1 < 0 在切线上，得切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
例题2．（2022·浙江金华·高三阶段练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值是___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别相切于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数求出曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程，以及曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程，可得出关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解出这两个量的值，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别相切于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的公切线问题：
①设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切的切点为 SKIPIF 1 < 0 则，求出切线方程 SKIPIF 1 < 0
②设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切的切点为 SKIPIF 1 < 0 则，求出切线方程 SKIPIF 1 < 0
③联立两切线求解.
【变式演练】
1．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）为曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的公切线，则l的纵截距 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C．eD． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设l与 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 .
同理，设l与 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
因 SKIPIF 1 < 0 ，所以l为 SKIPIF 1 < 0 时不成立.故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若直线l： SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的公切线（其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数， SKIPIF 1 < 0 ），则实数b=___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 .同理，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 由①式两边同时取对数得： SKIPIF 1 < 0 ，将③代入②中可得： SKIPIF 1 < 0 ，进而解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
题型六：距离最小值
【典型例题】
例题1．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期中）若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 图象上的动点（其中 SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数），则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．17
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设与 SKIPIF 1 < 0 平行且与 SKIPIF 1 < 0 相切的直线与 SKIPIF 1 < 0 切于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
【提分秘籍】
本例中设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设与 SKIPIF 1 < 0 平行且与 SKIPIF 1 < 0 相切的直线与 SKIPIF 1 < 0 切于 SKIPIF 1 < 0 ，由导数的几何意义可求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值转化为点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离
【变式演练】
1．（2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）已知点P在函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上，点Q是在直线 SKIPIF 1 < 0 上，记 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．M有最小值 SKIPIF 1 < 0 B．当M取最小值时，点Q的横坐标是 SKIPIF 1 < 0
C．M有最小值 SKIPIF 1 < 0 D．当M取最小值时，点Q的横坐标是 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】将 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当M最小时，点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以M的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
过点P且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点Q的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故选D
2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）直线 SKIPIF 1 < 0 分别与曲线 SKIPIF 1 < 0 ， 直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， 则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题，设 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 最小即 SKIPIF 1 < 0 最小，即为当过点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行时最小，
由曲线 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
可求得点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最小值为 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
3．（2022·全国·高二专题练习）点A是曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则点A到直线 SKIPIF 1 < 0 的最小距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为： SKIPIF 1 < 0
对 SKIPIF 1 < 0 求导可得： SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 舍去）
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则此时该点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0
故选：A
4．（2022·四川省宜宾市第四中学校高三阶段练习（文））已知点 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的点，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】当与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线与 SKIPIF 1 < 0 的图象相切时，切点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以切点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离即为 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
题型七：等价转化为距离
【典型例题】
例题1．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的距离的平方；
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值即为 SKIPIF 1 < 0 上的点与 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的平方的最小值；
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行的曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 且切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 上的点与 SKIPIF 1 < 0 上的点的最短距离为点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离，
即最短距离 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【提分秘籍】
在本例中根据几何意义可知 SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的距离的平方，根据点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，可将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 上的点与 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的平方的最小值的求解；利用导数可求得与 SKIPIF 1 < 0 平行的曲线的切线及切点，可知所求最小值即为切点到直线 SKIPIF 1 < 0 距离平方的最小值，利用点到直线距离公式可求得结果.
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c，d满足： SKIPIF 1 < 0 ，其中e是自然对数的底数，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【详解】因为实数a，b，c，d满足： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
所以 SKIPIF 1 < 0 的几何意义就是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任一点到 SKIPIF 1 < 0 上的任一点的距离的平方.
由几何意义可知，当 SKIPIF 1 < 0 的某一条切线与 SKIPIF 1 < 0 平行时，两平行线间距离最小.
设 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与 SKIPIF 1 < 0 平行，则有：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，即切点为 SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 就是两曲线间距离的最小值，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 可以转化为： SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象上的点， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 .
当与直线 SKIPIF 1 < 0 平行且与 SKIPIF 1 < 0 的图象相切时，切点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，（舍去），又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离即为 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值即为曲线 SKIPIF 1 < 0 的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最小值的平方，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行的切线相切于 SKIPIF 1 < 0 ，
则所求距离的最小值为点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的平方，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 表示曲线 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 距离.
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以切点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
切点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
5．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．9B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值转化为： SKIPIF 1 < 0 上的点与 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的平方的最小值，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 平行的直线的斜率为1，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍 SKIPIF 1 < 0 ，可得切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
切点到直线 SKIPIF 1 < 0 之间的距离的平方，即为 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
一、单选题
1．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
2．（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在 SKIPIF 1 < 0 处的切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则函数在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入切线方程可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 既是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，又是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．0或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，设切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
则曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，化简得， SKIPIF 1 < 0 ，
曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，化简得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 e或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 e，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的取值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
4．（2022·河南南阳·高三期中（理））若函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：B
5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设公切线与 SKIPIF 1 < 0 的图象切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 的图象切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数a的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
6．（2022·江苏南通·高三期中）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．无法确定
【答案】A
【详解】解：由已知得，曲线的切线过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，曲线为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 在曲线上的切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
切线： SKIPIF 1 < 0 ，又切线过 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理取 SKIPIF 1 < 0 ，曲线为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 在曲线上的切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
切线： SKIPIF 1 < 0 ，又切线过 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
7．（2022·山西太原·高三期中）若曲线 SKIPIF 1 < 0 和y＝x2＋mx＋1有公切线，则实数m＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．－1
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
曲线 SKIPIF 1 < 0 与切线相切于 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ①
因为切线与y＝x2＋mx＋1②相切，
联立①②：x2＋mx＋1= SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
8．（2022·江西赣州·高三阶段练习（理））已知曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的两条公切线所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互为反函数，故图像关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于 SKIPIF 1 < 0 两点，且两条切线交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
如图，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或-3（舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 ，易求得曲线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为2的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故曲线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为2的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的斜率为2的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故曲线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为2的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故A，B，D错误.
故选：C.
9．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条公切线，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 满足的关系式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】记 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,记 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 是公切线，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
10．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．e
【答案】B
【详解】解：设与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，且与 SKIPIF 1 < 0 相切的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
设与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，且与 SKIPIF 1 < 0 相切的直线为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 最小，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
11．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线上的一个动点， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
12．（2022·广西河池·高二阶段练习（理））平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】C
【详解】根据条件得到 SKIPIF 1 < 0 表示的是曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点的距离的平方.
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
∴曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 .
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
二、多选题
13．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线有且仅有1条，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值为（ ）
A．－5B．－3C．－1D．1
【答案】AC
【详解】由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，则切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
切线有且仅有 SKIPIF 1 < 0 条，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：AC.
三、填空题
14．（2022·浙江杭州·高三期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 的三条切线，则 SKIPIF 1 < 0 的范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入切线方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的解，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取极小值，极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取极大值，极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，因为过点 SKIPIF 1 < 0 可作曲线 SKIPIF 1 < 0 的三条切线，所以方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的解， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图像有三个不同的交点， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线重合，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】0
【详解】解：由切点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由切点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题知：两条直线是同一条直线，
则： SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：0．
16．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的切线，则这条切线的斜率为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【详解】设曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即这条切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .