新高考数学二轮复习 题型归纳演练专题3-5 利用导函数解决恒（能）成立问题（2份打包，原卷版+解析版）

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\l "_Tc10388" 题型一：分离变量+最值法 PAGEREF _Tc10388 \h 1
\l "_Tc21693" 题型二：分类讨论法 PAGEREF _Tc21693 \h 9
\l "_Tc30149" 题型三：同构法 PAGEREF _Tc30149 \h 16
\l "_Tc2773" 题型四：最值定位法解决双参不等式问题 PAGEREF _Tc2773 \h 23
\l "_Tc26906" PAGEREF _Tc26906 \h 32
\l "_Tc9243" 一、单选题 PAGEREF _Tc9243 \h 32
\l "_Tc10012" 二、多选题 PAGEREF _Tc10012 \h 38
\l "_Tc8636" 三、解答题 PAGEREF _Tc8636 \h 41
题型一：分离变量+最值法
【典例分析】
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，在 SKIPIF 1 < 0 递增
所以 SKIPIF 1 < 0
由对任意的实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：A
例题2．（2022·全国·高三阶段练习（文））设 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的连续函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数，且 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立.则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递減.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故所求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范固为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:A.
例题3．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解:由题知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 只需 SKIPIF 1 < 0 即可,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
记 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ;
（2）由题知, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 只需 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
记 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 只需 SKIPIF 1 < 0 即可,
综上: SKIPIF 1 < 0 .
【提分秘籍】
①若 SKIPIF 1 < 0 )对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则只需 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则只需 SKIPIF 1 < 0 ．
③ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 能成立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 能成立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式演练】
1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题意可得：
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的递减区间是 SKIPIF 1 < 0 ，递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 取得极小值，也是最小值，
SKIPIF 1 < 0 ，
不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意实数x都成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
3．（多选）（2022·海南·模拟预测）若 SKIPIF 1 < 0 时，关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值可以为（ ）
（附： SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】由题意知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：BD.
4．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）若不等式 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数）对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求导得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，
因此当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
5．（2022·浙江宁波·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在定理知，存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
（2）若在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 内至少存在一个实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率: SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
故曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
所求切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为单调增函数，
此时， SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，不符合题意，
②当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的变化如下：
此时， SKIPIF 1 < 0 ，解得：
SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，不符合题意，
③当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上为单调减函数
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上：实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
题型二：分类讨论法
【典例分析】
例题1．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为0，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
( SKIPIF 1 < 0 )若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 单调递增,无最小值,不合题意.
( SKIPIF 1 < 0 )若 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 单调递减
当 SKIPIF 1 < 0 单调递增
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
（2）令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,所以 SKIPIF 1 < 0
( SKIPIF 1 < 0 )若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,符合题意
( SKIPIF 1 < 0 )若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 单调递减,即 SKIPIF 1 < 0
所以此时存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ,不合题意
综合 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个零点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3)3
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得x＝1，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值也是最小值，
要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个零点，只需满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，转化为对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，显然成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵x＞0，∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得0＜x＜1，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴当x＝1时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值也是最小值，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，此时m（x）＜0，
由②得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在定理得存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极大值也是最大值，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，实数k的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数k的最大值为3．
【提分秘籍】
①首先可以把含参不等式整理成适当形式如 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 等；
②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值；
③得出结论.
【变式演练】
1．（2023·陕西西安·高三期末（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的取值范围．
【答案】(1)递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）易知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴此时 SKIPIF 1 < 0 ，
②当 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴此时 SKIPIF 1 < 0
③当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
∴此时 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
要使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值点 SKIPIF 1 < 0
综上，实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求正实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
（1）
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
由题意可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0
（2）
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立
当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不恒成立
综上，正实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间；
（2）若存在 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .即不存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以不存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
题型三：同构法
【典例分析】
例题1．（2022·河北·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒大于0，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调增区间为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）要使 SKIPIF 1 < 0 有意义，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 恒大于0，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
例题2．（2022·贵州·高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）不等式 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，显然此函数在定义域内是增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是
相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．
②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，有时也需要对两边同时加、乘某式等.
③ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为常见同构式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为常见同构式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【变式演练】
1．（多选）（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的可能的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
对 SKIPIF 1 < 0 两边取对数，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
对于AB，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故AB错误；
对于CD，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故CD正确.
故选：CD.
2．（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故k的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
综上 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以只需要 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 时恒成立即可，
两边取对数，有 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
题型四：最值定位法解决双参不等式问题
【典例分析】
例题1．（2022·湖南省临澧县第一中学高二阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 若对 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立,则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】C
【详解】 由题意，对于 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
可转化为对于 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
又由二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，且对称轴的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （不符合题意，舍去）；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，此时函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，（符合题意），
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若对任意 SKIPIF 1 < 0 都存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】对任意 SKIPIF 1 < 0 都存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以得到 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此将问题转化为
存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例题3．（2022·江西·南昌十中高二阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 处的切线互相平行，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(3)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)答案见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
(1)
解： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
解：函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
此时函数 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 不恒为零，
此时函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无减区间；
④当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
此时函数 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无减区间；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
(3)
解：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
由（2）知：①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【提分秘籍】
最值定位法解决双参不等式问题
（1） SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（4） SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【变式演练】
1．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .若对 SKIPIF 1 < 0 ，都 SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】对 SKIPIF 1 < 0 ，都 SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立，
等价于 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
记 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为1.
故选：C.
一般地，已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 成立，故 SKIPIF 1 < 0 ；
（5）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 值域的子集．
2．（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若任意 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ；
根据题意可知存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 能成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则要使 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 能成立，只需使 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0
存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，只需 SKIPIF 1 < 0 即可
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
4．（2022·全国·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意知： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 恒成立，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
一、单选题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
当 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ， 故 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
2．（2022·广东·红岭中学高二期中）若关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为不等式 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，显然成立，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若∃ SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】依题意可得不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有解，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足：存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的“友导”函数．已知函数 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的“友导”函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
构建 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
故选：D．
5．（2022·广东·高三开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．eB． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，于是得 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，求导得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数a的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6．（2022·安徽滁州·高二期末）已知当 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
7．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立，等价为 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
8．（2022·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，都 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，都 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、多选题
9．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为减函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
故选：ABC
10．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的可能取值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】ABC
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
所以 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得实数 SKIPIF 1 < 0 的所有可能取值1，2，3，
故选：ABC.
11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式 SKIPIF 1 < 0 成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】ACD
【详解】解：由题意， SKIPIF 1 < 0 不等于 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单词递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：ACD.
三、解答题
12．（2022·全国·高三专题练习）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为0
求b;若存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ;（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
由题设知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
（ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的充要条件为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（ⅱ）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
所以，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的充要条件为 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以不合题意.
（ⅲ）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
综上，a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(Ⅰ) 设函数 SKIPIF 1 < 0 ，讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（Ⅱ）求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
【详解】(Ⅰ)由题得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
②当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
③当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
（Ⅱ）要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，故原不等式成立．
14．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）已知f（x）＝ SKIPIF 1 < 0 ．
（1）曲线 SKIPIF 1 < 0 在点（1，f（1））处的切线斜率为0，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x2在（1，＋ SKIPIF 1 < 0 ）恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求导可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，[
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 的最大值为，最小值为；（2）.
【详解】：（1）因为函数f（x）=﹣lnx，
所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，
因为x∈[1，3]，
当1＜x＜2时 f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，
∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）=﹣ln2；
又f（1）=，f（3）=，
∵ln3＞1∴
∴f（1）＞f（3），
∴x=1时 f（x）的最大值为，
x=2时函数取得最小值为﹣ln2．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x），
故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，
只要4﹣At＞对任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立
记 g（t）=At，t∈[0，2]
∴，解得A，
∴实数A的取值范围是（﹣∞，）．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
递减
极小值
递增