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山西省太原市实验中学校2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份山西省太原市实验中学校2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含山西省太原市实验中学校2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题原卷版docx、山西省太原市实验中学校2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
客观题部分
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 如图，中，、是边上的点，，在边上，，交、于、，则等于（ ）
A B. C. D.
2. 已知是的内接正三角形，的面积等于，是半圆的内接正方形，面积等于，的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线与直线x=1，x=2，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 在等边所在平面内有一点，使得都是等腰三角形，则具有该性质的点有（ ）
A. 1个B. 7个C. 10个D. 无数个
5. 设，则的整数部分等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的1小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四边形的对角线相交于，，，则这个四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共15分）
9. 若对任意实数不等式都成立，那么、的取值范围为__________.
10. 设，则的最大值与最小值之差为__________.
11. 对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如，那么______．
12. 一次函数与图象如图，则的解是______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，过点作的平行线交双曲线于点，连接并延长与轴交于点，则的值为______．
主观题部分
三、解答题（共61分）
14. 第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级中各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：，B：，
C：，D：，
E：，F：，
并绘制了七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩的扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩中D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求n，a的值；
（2）求八年级测试成绩的中位数；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会的关注程度高，请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．
15. 为了深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，某校组织开展“战役有我，青春同行”防控疫情知识竞赛活动，经过层层筛选后剩下甲、乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为的球有个，甲、乙两名同学需从6个球中随机摸取3个球，所取球的标号之和多者获胜.
（Ⅰ）求甲所取球的标号之和为7的概率；
（Ⅱ）求甲获胜的概率.
16. 如图，AB，CD为圆的直径，C为圆O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，，点E是弧BD的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求的度数；
（2）若，求圆O直径的长．
17. 我们把能被13整除的数称为“超越数”，已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位的4倍，如果和是13的倍数，则原数一定是“超越数”.如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复上述过程，直到清晰判断为止.如：1131：，所以1131是“超越数”；又如：3292；，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”.
（1）请判断42356是否为“超越数”
（2）若（为整数），化简除以13的商（，用含字母的代数式表示）.
18. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商店每天有最大销售利润为多少元？
19. 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有根.现将它们堆放在一起.
（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢?
（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多根)，且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
20. 如图，已知和相交于、两点，过点作的切线交点，过点作两圆的割线分别交、于、，与相交于点，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当与为等圆时，且时，求与的面积的比值.
21. 如图，抛物线交x轴于点和B，交y轴于点，顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E在第一象限内对称轴右侧抛物线上，四边形的面积为，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
客观题部分
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 如图，中，、是边上的点，，在边上，，交、于、，则等于（ ）
A B. C. D.
2. 已知是的内接正三角形，的面积等于，是半圆的内接正方形，面积等于，的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线与直线x=1，x=2，，围成的正方形有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 在等边所在平面内有一点，使得都是等腰三角形，则具有该性质的点有（ ）
A. 1个B. 7个C. 10个D. 无数个
5. 设，则的整数部分等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知关于的方程的两根分别是，且满足，则实数的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的1小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，四边形的对角线相交于，，，则这个四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共15分）
9. 若对任意实数不等式都成立，那么、的取值范围为__________.
10. 设，则的最大值与最小值之差为__________.
11. 对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如，那么______．
12. 一次函数与图象如图，则的解是______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，过点作的平行线交双曲线于点，连接并延长与轴交于点，则的值为______．
主观题部分
三、解答题（共61分）
14. 第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级中各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：，B：，
C：，D：，
E：，F：，
并绘制了七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩的扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩中D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88．请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求n，a的值；
（2）求八年级测试成绩的中位数；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会的关注程度高，请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．
15. 为了深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，某校组织开展“战役有我，青春同行”防控疫情知识竞赛活动，经过层层筛选后剩下甲、乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为的球有个，甲、乙两名同学需从6个球中随机摸取3个球，所取球的标号之和多者获胜.
（Ⅰ）求甲所取球的标号之和为7的概率；
（Ⅱ）求甲获胜的概率.
16. 如图，AB，CD为圆的直径，C为圆O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，，点E是弧BD的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求的度数；
（2）若，求圆O直径的长．
17. 我们把能被13整除的数称为“超越数”，已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位的4倍，如果和是13的倍数，则原数一定是“超越数”.如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复上述过程，直到清晰判断为止.如：1131：，所以1131是“超越数”；又如：3292；，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”.
（1）请判断42356是否为“超越数”
（2）若（为整数），化简除以13的商（，用含字母的代数式表示）.
18. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商店每天有最大销售利润为多少元？
19. 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有根.现将它们堆放在一起.
（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢?
（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多根)，且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
20. 如图，已知和相交于、两点，过点作的切线交点，过点作两圆的割线分别交、于、，与相交于点，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当与为等圆时，且时，求与的面积的比值.
21. 如图，抛物线交x轴于点和B，交y轴于点，顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E在第一象限内对称轴右侧抛物线上，四边形的面积为，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使以E，F，G，H为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
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