新高考数学二轮复习对点题型第3讲平面向量的线性运算（2份打包，原卷版+教师版）

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2022新高考一卷第三题
在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】
【解法一】(向量回路)：如图，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【解法二】 (特殊化建系)：取C为直角，并以C为原点，CA、CB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设A(3a,0),B(0,3b)，由BD=2DA知D为靠近A的三等分点，从而D(2a,b)，∴ SKIPIF 1 < 0 。
【试题评价】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
试题亮点
（1）试题考查考生对平面向量基础知识的理解与掌握，
试题解法多样，既可以利用平面向量的线性运算按部就班地推演得到答案，也可以利用三角形的几何性质直观地看出问题的答案.
（2）试题虽较为简单，但设计精巧，为不同思维水平的考生提供了发挥的空间.
（3）试题给定了两个基向量 CA，CD，由此可以唯一确定其他向量的代数表示.在高中数学教学中，教师可以引导学生研究此类问题.这种代数表示的系数实际上是仿射坐标系中的坐标，如试题中 CB=-2CA+3CD表示了 CB相对于坐标原点为C.在基向量为CA和CD的坐标系中，CB的坐标分别是-2和3.教师在指导学生研究此题时，还可以引导学生考虑其他基向量下 CB的坐标表示或者其他向量的坐标表示，以此提高学生对平面向量基本定理深刻且全面的理解．试题在考查三角形和平面向量必备知识的同时，意在引导高中数学教学对平面向量基本定理的深刻理解与把握，引导学生要对向量几何有深刻的理解和把握.
知识要点整理
一.平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
反思感悟 平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
二、两向量的夹角与垂直
1．夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
2．垂直：如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.
三、 向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考 若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?
答案 在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
四、 投影向量
1．如图，设a，b是两个非零向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(——→))，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，eq \(A1B1,\s\up6(——→))叫做向量a在向量b上的投影向量．
2．如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
五、 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则
(1)a·e＝e·a＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
三年真题
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】先求得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．P为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆上运动，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D

3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．6
【答案】C
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：C
4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】C
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴9 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
故选：C.
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在边AB上， SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为点D在边AB上， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
6．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】如图所示， SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，，所以成立，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴不是 SKIPIF 1 < 0 的充分条件，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴成立，
∴是 SKIPIF 1 < 0 的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
7．（多选）已知O为坐标原点，过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 及抛物线方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，联立抛物线求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 判断B选项；由抛物线的定义求出 SKIPIF 1 < 0 即可判断C选项；由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，则 SKIPIF 1 < 0 点横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，由斜率为 SKIPIF 1 < 0 可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立抛物线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD.
8．（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】A： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
B： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不一定相等，错误；
C：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
D：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故一般来说 SKIPIF 1 < 0 故错误；
故选：AC
9．设点P在单位圆的内接正八边形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】以圆心为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ,于是 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .记向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影分别为x，y， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为z，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影分别为x，y，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由 SKIPIF 1 < 0 可得，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
15．若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
17．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解方程可得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、双空题
18．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是AC中点， SKIPIF 1 < 0 ，试用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 为___________，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】方法一：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
19．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， SKIPIF 1 < 0 且交AB于点E． SKIPIF 1 < 0 且交AC于点F,则 SKIPIF 1 < 0 的值为____________； SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________．
【答案】 1 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边长为1的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：1； SKIPIF 1 < 0 .
20．已知向量 SKIPIF 1 < 0 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
SKIPIF 1 < 0 ________； SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】 0 3
【详解】以 SKIPIF 1 < 0 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：0；3.
三年模拟
一、单选题
1．已知圆 SKIPIF 1 < 0 的弦AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AB交y轴于点M，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．4B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题设可得 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
根据圆的性质可知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
2．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3．设 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则满足条件的k的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以k的取值可以是2.
故选：B.
4．若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】C
【详解】向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
5．已知O是 SKIPIF 1 < 0 内一点， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向共线， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
二、填空题
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平面向量线性运算与模的坐标表示即可求得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】3
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式即可求出结果.
【详解】因为向量 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：3
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点D、E是线段BC上两个动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】8
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 三点重合，与已知矛盾，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号；
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为8．
故答案为：8．
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 均在圆心为原点，半径为2的圆上.
①当 SKIPIF 1 < 0 为直径时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在直径 SKIPIF 1 < 0 上的投影，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 不为直径时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
数形结合可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由题知， SKIPIF 1 < 0 三点共圆，圆心为坐标原点，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
数形结合可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ，任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ，三角形 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆，圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据圆的几何性质可知， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的数量投影的最小值是______.
【答案】2
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的数量投影为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 最小时，数量投影取得最小值.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值6.
所以， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的数量投影的最小值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2.
15．在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的数量投影是-2,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解:由题知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的数量投影是-2,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
记 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
若求 SKIPIF 1 < 0 的最小值即求 SKIPIF 1 < 0 的最小值,
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 最小,
如图所示:
SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为: SKIPIF 1 < 0
16．设向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】3
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：3
17．在空间直角坐标系中，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的坐标为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再根据投影向量的定义可得答案.
【详解】依题意： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
三、解答题
18．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 边上的中线 SKIPIF 1 < 0 的长.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理及 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1） SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上的中线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 边上的中线 SKIPIF 1 < 0 的长为： SKIPIF 1 < 0 .