新高考数学二轮复习对点题型第16讲椭圆（2份打包，原卷版+教师版）

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2022新高考一卷第16题
已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是 13 ．
考查目标
直线、椭圆及相关几何量的计算是中学数学的必备知识.试题巧妙地将直线与椭圆的位置关系及有关度量的计算结合在一起，设计的问题既体现了基础性又具有挑战性.试题对考生的化归与转化、逻辑推理等方面的能力提出了较高的要求，有效地考查了考生的理性思维、数学探索等方面的数学学科素养，考查了考生的运算求解、逻辑思维等方面的关键能力.
试题亮点
试题对解析几何知识综合应用的考查做了很好的设计. 从试题的简单情景中应用椭圆的定义去分析问题、解决问题，可以体现考生思维的灵活性.试题具有较好的创新性与开放性，有诸多亮点. 试题的题设条件简洁，问题深入，既体现了数学之美，又体现了逻辑推理的重要性.考生在判断出△AF，F，为正三角形后进一步选择解题路径，这对考生准确灵活运用所学知识解决问题的能力、运用数形结合以及化归与转化等数学思想方法提出了较高要求．试题有效考查了考生的运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力，以及理性思维、数学应用、数学探索等数学科素养.试题具有较好的开放性，给不同思维层次的考生提供了发挥的空间.考生可以采用不同的解题路径和方法.比如，考生可以利用对称性解决。
知识要点整理
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝ (常数)且2a |F1F2|.
知识点二 椭圆的标准方程
知识点三 椭圆的简单几何性质
知识点四 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
三年真题
一、单选题
1．已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3B．6C．8D．12
二、多选题
2．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 SKIPIF 1 < 0
C．若mn0，则C是两条直线
三、填空题
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，B是圆 SKIPIF 1 < 0 （F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为___________.
4．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，C的上顶点为A，两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线与C交于D，E两点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是________________．

四、解答题
5．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程：
（2）点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足．证明：存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
7．已知椭圆C1： SKIPIF 1 < 0 (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= SKIPIF 1 < 0 |AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
8．已知椭圆C1： SKIPIF 1 < 0 (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|= SKIPIF 1 < 0 |AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
三年模拟
1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，P是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点，当 SKIPIF 1 < 0 时，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率等于______.
2．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球 SKIPIF 1 < 0 ，球 SKIPIF 1 < 0 的半径分别为4和2，球心距离 SKIPIF 1 < 0 ，截面分别与球 SKIPIF 1 < 0 ，球 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，A为 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，直线l经过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 交于B，C两点；若l垂直平分线段 SKIPIF 1 < 0 ，则△ABC的周长是___________.
4．如图所示，平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的上､下顶点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 不在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为___________.
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P在椭圆上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延长线交椭圆于点Q，若椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ___________.
6．己知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 和上顶点B，若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为___________.
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且 SKIPIF 1 < 0 的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有共同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，它们的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 是它们的一个公共点.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
9．已知 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C的一个交点为M，若 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为______.
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上且在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上．线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长为_____．
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，经过点F的直线l的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，且直线l交该椭圆于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆的离心率为______________.
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，且 SKIPIF 1 < 0 .则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 __________.
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上、下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆C上异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的点，直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，写出一个满足 SKIPIF 1 < 0 的椭圆C的方程是________________．
16．如图，己知是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点，M，N为椭圆上两点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为___________.
17．若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是______．（填序号）
①椭圆C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ； ②存在点A使得 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； ④ SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为12．
18．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ，点M的运动轨迹为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 上的点P向 SKIPIF 1 < 0 作切线，则切线长的最大值为______．
19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
20．用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．已知某圆锥的轴截面是正三角形，平面 SKIPIF 1 < 0 与该圆锥的底而所成的锐二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 截该圆锥所得椭圆的离心率为_________．
21．已知F是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的右焦点，A为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的下顶点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）与椭圆 SKIPIF 1 < 0 共焦点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线平行， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
22．已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___．
23．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，P在椭圆上运动，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___．
24．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右两焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的点，则使得 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形的点 SKIPIF 1 < 0 的个数为_________.
25．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
26．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点.若 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于_________.
28．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点， SKIPIF 1 < 0 与y轴交于点B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为______．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ>0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ