新高考数学二轮复习强化讲与练专题16 立体几何线面位置关系及空间角的计算（练）（2份打包，原卷版+解析版）

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【对点演练】
一、单选题
1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 中，P是 SKIPIF 1 < 0 的中点，给出下列结论：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
其中正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
不存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以①错误.
SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ,故可设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，②正确.
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，③正确.
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不垂直，所以④错误.
故正确的个数为 SKIPIF 1 < 0 个.
故选：B
2．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当点 SKIPIF 1 < 0 移动至 SKIPIF 1 < 0 中点时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角最大且为 SKIPIF 1 < 0
B．无论点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上怎么移动，都有 SKIPIF 1 < 0
C．当点 SKIPIF 1 < 0 移动至 SKIPIF 1 < 0 中点时，才有 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于一点，记为点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
D．无论点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上怎么移动，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角可能是 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】对于A，利用四面体的等体积法求解直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值，从而判断正误；对于B，证明正方体 SKIPIF 1 < 0 的体对角线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断正误；对于C，根据四点共面，利用梯形几何性质求解 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断正误；对于D，根据动点 SKIPIF 1 < 0 的位置，求解异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值取值范围来判断正误.
【详解】解：对于A，设正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，如图，连接 SKIPIF 1 < 0

在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，面对角线 SKIPIF 1 < 0 ，
故四面体 SKIPIF 1 < 0 为正四面体，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，则当点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点时，线段 SKIPIF 1 < 0 的长度最短，且为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值 SKIPIF 1 < 0 最大，且为 SKIPIF 1 < 0 ，选项A错误；
对于B，如图，连接 SKIPIF 1 < 0
在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以总有 SKIPIF 1 < 0 ，选项B正确；
对于C，如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
当F为 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 四点共面， SKIPIF 1 < 0 为梯形 SKIPIF 1 < 0 的对角线，故其交于一点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，选项C错误；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，该角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不在该范围内，
故无论点F在 SKIPIF 1 < 0 上怎么移动，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角都不可能是 SKIPIF 1 < 0 ，选项D错误.
故选：B.
二、多选题
3．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（含端点），则下列说法正确的有（ ）
A．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
B．若直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．不存在点 SKIPIF 1 < 0 使平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．存在点 SKIPIF 1 < 0 使直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【分析】选项A连接 SKIPIF 1 < 0 ，设正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，说明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可说明点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的高度为定值， SKIPIF 1 < 0 为定值，利用等体积法即可说明，选项B建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可，选项C，当 SKIPIF 1 < 0 处于 SKIPIF 1 < 0 处时即可判断，选项D借助选项B中的相关结论，假设存在点 SKIPIF 1 < 0 使直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，根据假设条件，表示出线面角，列出等式，推出结论即可.
【详解】选项A，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：设正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以直线 SKIPIF 1 < 0 上的所有点到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离都相等都等于正方体的棱长 SKIPIF 1 < 0 为定值，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的高度为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为定值，
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，
故A正确，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 SKIPIF 1 < 0 ，设正方体的棱长为1，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B选项正确，
当 SKIPIF 1 < 0 处于 SKIPIF 1 < 0 点时，平面 SKIPIF 1 < 0 即为平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而在正方体中平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故存在点， SKIPIF 1 < 0 使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故C错误，
由B选项知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
由线面角的性质有：
SKIPIF 1 < 0 ，
假设存在点 SKIPIF 1 < 0 使直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，无实数解，
所以不存在点 SKIPIF 1 < 0 使直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故D选项不正确，
故选：AB.
4．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面
【答案】ABD
【分析】把正四面体 SKIPIF 1 < 0 放到正方体里，对于A项根据线面平行的判定定理证明
对于B项，从正方体的角度上看易得
对于D项，证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形可验证
对于C项，反证法证明，矛盾点是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角.
【详解】把正四面体 SKIPIF 1 < 0 放到正方体里，画图为：
对于A项， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确
对于B项，从正方体的角度上看易得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.
对于D项， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面，所以D正确.
对于C项，若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，所以C不正确.
故选：ABD
5．（2022秋·江苏南京·高三南京航空航天大学附属高级中学校考阶段练习）已知正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面边为1，侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
则（ ）
A．任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B．存在 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交
C．平面 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 交线长为定值 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球表面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【分析】对于A，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断；
对于B，根据异面直线的定义可得；
对于C，根据题意找出交线，然后求出交线长即可；
对于D，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积.
【详解】解：对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异面，故不相交，故错误；
对于C，延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 点，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 交线为 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确对；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，外接圆是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆，
圆心设为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故错误.
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
三、填空题
6．（2023秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）如图，在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内运动（不与 SKIPIF 1 < 0 重合），且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，推导出 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，然后以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，利用空间向量法可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方向分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
7．（2021秋·吉林辽源·高三校联考期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，E、F分别为AB、PC的中点．
(1)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 平面PAD；
(2)求点B到平面EFC的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可得解；（2）利用等体积转化法即可求解.
【详解】（1）证明：取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形AEFG为平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面PAD， SKIPIF 1 < 0 平面PAD，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 底面ABCD， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴点F到平面BCE的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点B到平面EFC的距离是 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点M是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 推出 SKIPIF 1 < 0 ，根据余弦定理计算推出 SKIPIF 1 < 0 ，根据线面垂直的判定定理得到 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点N，连 SKIPIF 1 < 0 ，根据线面平行的性质定理推出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角形相似可求出结果.
【详解】（1）证明：由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）连 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点N，连 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
在梯形 SKIPIF 1 < 0 中，根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）如图，在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E是棱 SKIPIF 1 < 0 上的一点（与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不重合）.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据线面垂直的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，进而证得线线垂直；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 .以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系.设 SKIPIF 1 < 0 ，写出各点的坐标，得到平面 SKIPIF 1 < 0 以及平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，根据已知可得 SKIPIF 1 < 0 .然后用向量求出结果即可.
【详解】（1）证明：如图1，连结 SKIPIF 1 < 0 .
由已知可得， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
由已知可得， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为x轴，y轴，z轴，如图2建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
10．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是凸四边形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由题意可证得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由线面垂直的判定定理可证得 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，再由面面垂直的判定定理即可证明；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为x，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.
【详解】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，由题设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是凸四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
从而有 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为x，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，故面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0
设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
记平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 .
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2023秋·广东深圳·高三统考期末） 正四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是侧棱 SKIPIF 1 < 0 上（端点除外）的一点，若异面直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中，作出 SKIPIF 1 < 0 对应的角，再比较三者间的的大小关系即可解决.
【详解】正四面体 SKIPIF 1 < 0 中，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，可得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设正四面体边长为1， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
综上： SKIPIF 1 < 0
故选：C
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
二、多选题
2．（2023·安徽淮南·统考一模）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为矩形，侧面 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
D．该四棱锥外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、线面角定义、异面直线所成角的定义、球的几何性质逐一判断即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为侧面 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 为矩形可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此选项A正确；
由 SKIPIF 1 < 0 为矩形可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角（或其补角），
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为侧面 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项C不正确；
设该四棱锥外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，矩形 SKIPIF 1 < 0 的中心为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设该四棱锥外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该四棱锥外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，因此选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用线面垂直的判定定理和球的几何性质是解题的关键.
3．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 中，顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，B，C到 SKIPIF 1 < 0 的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ，1，2，则（ ）
A．BC∥平面 SKIPIF 1 < 0
B．平面A1AC⊥平面 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角比直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角小
D．正方体的棱长为2 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.
【详解】对A，因为B，C到 SKIPIF 1 < 0 的距离分别为1，2，显然不相等，
所以BC不可能与平面 SKIPIF 1 < 0 平行，因此选项A不正确；
对B，设 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 ， C到 SKIPIF 1 < 0 的距离为2，
所以O到 SKIPIF 1 < 0 的距离分别为1，而B到 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此有 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此选项B正确；
对C，设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正方形，点 SKIPIF 1 < 0 ，B到 SKIPIF 1 < 0 的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ，1，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
设正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此选项C正确；
对D，因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的射影 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），
因此选项D正确，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项求解.
【详解】
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴， SKIPIF 1 < 0 为z轴，建立空间直角坐标系，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时取最大值= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ， 正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面PAC的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行，错误；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形就是 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
故选：ABD.
5．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，当 SKIPIF 1 < 0 变化时，下列说法正确的是（ ）
A．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
B．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．点 SKIPIF 1 < 0 在某个球面上运动
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 即为二面角 SKIPIF 1 < 0 ，求出线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的长度，假设 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可判断A，假设 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，推出矛盾，即可判断B，由 SKIPIF 1 < 0 为定值，即可判断C，结合A可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出三棱锥外接球的半径，从而求出体积，即可判断D.
【详解】解：对于A：取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故B错误；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在半径为 SKIPIF 1 < 0 的球面上，故C正确；
对于D，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心，外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD.
三、解答题
6．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点．
(1)求证：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用空间向量的坐标运算求解线面夹角.
【详解】（1）
连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，所以以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，
分别以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，如图所以示，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
7．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)利用面面垂直的性质定理可得线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求二面角.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，
由等面积法可得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ,
作与 SKIPIF 1 < 0 平行的直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建系如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PAD，点M满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设平面MPC与平面PCD的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)利用线面垂直的判定定理性质定理和面面垂直的性质定理可得 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，再证明 SKIPIF 1 < 0 平面PCM ，利用面面垂直判定定理可证明；
(2)利用空间向量的坐标运算表示平面与平面夹角的余弦值，列方程计算求解.
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PAD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面PAD且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 平面PAD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，平面PCM，
∴平面PCM．
又∵平面，∴平面平面.
（2）由（1）可知，平面，
所以作平行于的直线为轴建系如图，
∵，∴，∴，
，，，∴，，，
设平面MPC与平面PCD的一个法向量分别为，，
∴
，
∵，∴
，∵，
∴．
9．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）在三棱锥中，，平面，点是棱上的动点，点是棱上的动点，且.
(1)当时，求证：；
(2)当的长最小时，求二面角的余弦值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作，根据线面垂直的性质可知两两互相垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，易证得为等腰直角三角形，由此可得坐标，根据可证得结论；
（2）用表示坐标，将表示为关于的二次函数，由此可确定时，最小，进而得到坐标；利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）在平面内过点作，使得点与点在同侧，
平面，平面，平面，
，，则两两互相垂直.
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，；
由得：，，
为等腰直角三角形，；
同理可得：为等腰直角三角形，
当时，，，分别是中点，
，，，，
，.
（2）由（1）可得：，，，为等腰直角三角形；
，，
则；
当时，最小，分别是中点，
，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.
10．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，A，，，四点共面，且和均为等腰直角三角形，.平面平面，.
(1)求多面体体积；
(2)若点在直线上，求与平面所成角的最大值.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）多面体分成两个四棱锥和，然后由体积公式计算（注意找到棱锥的高）；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求出线面的正弦值，利用函数性质得最大值．
【详解】（1）在四边形中，∵和均为等腰直角三角形，且，
∴，∴，∵四边形为正方形，∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
∴平面，同理平面，
取中点，连接，则，，又同理可得平面，
；
（2）如图建立空间直角坐标系，
设，则，，，，∴，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，设与平面所成角为，又，
∴，
要使最大，，∴（时等号成立），
∴，即与平面所成角的最大值为．
11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）如图，已知四边形为直角梯形，其中，，现将四边形沿着旋转至，使得平面平面．
(1)证明：，，，四点共面
(2)若，点在线段上，且，求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由条件可得平面，以为坐标原点，以为基底建立空间直角坐标系，利用空间向量知识即可证明，，，四点共面；
（2） 设平面的法向量为，设平面的一个法向量，求出向量、，计算即可求得平面与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）证明：因为，
平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面．
以为坐标原点，以为基底建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，,
所以，，
所以，即，，，四点共面.
（2）因为，点在线段上，且，
所以．
设平面的法向量为，
因为，，所以，，
令，则，，所以平面的一个法向量．
设平面的一个法向量，
因为，，所以，，
令，则，，所以平面的一个法向量．
设平面与平面所成夹角为，
则，，
所以，
即平面与平面所成角的正弦值为．
12．（2023·全国·高三专题练习）如图：长为3的线段与边长为2的正方形垂直相交于其中心．
(1)若二面角的正切值为，试确定在线段的位置；
(2)在（1）的前提下，以，，，，，为顶点的几何体是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)存在，在线段上的靠近点的三分点位置
(2)存在 ，内切球心在点距离为的位置上．
【分析】（1）取线段的中点为点，连接，，．证明出为二面角的平面角.设，，，利用直角三角形建立关于的方程，解出；
（2）几何体存在内切球，设球心为，设线段的中点为点，内切球的半径为，利用几何性质计算出在点距离为的位置上．
【详解】（1）取线段的中点为点，连接，，．
由于四边形是正方形，为其中心，所以，
又面,面，所以.
而，面,面,所以面.
因为面，所以.
同理可以证出，为二面角的平面角，．
设，，，则．且
在中，，
同理在中，
由，
得：
故在线段上的靠近点的三分点位置.
（2）几何体存在内切球，令球心为.
若设线段的中点为点，内切球的半径为，由对称性可知：平面四边形的内切圆的圆心为，半径即为，
故，而，．
所以，得．
由三角形相似有：
所以．
故其内切球心在点距离为的位置上．