新高考数学二轮复习强化讲与练专题18 圆锥曲线的几何性质问题（练）（2份打包，原卷版+解析版）

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【对点演练】
一、单选题
1．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，抛物线上一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由抛物线定义知： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上不同两点，且 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】D
【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.
【详解】解：由题知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，由抛物线焦半径公式得 SKIPIF 1 < 0
故选：D．
3．（2023·高三课时练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左准线为l，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线也为l，焦点是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的一个交点为点P，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．8
【答案】B
【分析】由椭圆方程得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得椭圆的离心率，设 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上的点得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上的点得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】椭圆 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此左准线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上的点得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上的点得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设出直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得到两根之和，两根之积，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
故选：B
5．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线l交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、第二象限， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则双曲线的离心率 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C． SKIPIF 1 < 0 D．7
【答案】C
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ,由图形性质结合双曲线的定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出答案.
【详解】设题意 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：C
6．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线在第二象限的部分上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由角平分线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 及双曲线的定义，化简方程即可求双曲线的离心率.
【详解】如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可化简为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故选：B
二、多选题
7．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知非零常数a，若点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点B的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数 SKIPIF 1 < 0 ，那么下列说法中正确的有（ ）．
A．当 SKIPIF 1 < 0 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
【答案】BD
【分析】设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论即可判断.
【详解】设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆，故B正确.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD
三、填空题
8．（2023·高三课时练习）已知双曲线E： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点P在双曲线E上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =______.
【答案】9
【分析】根据双曲线的定义即可求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为双曲线E SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：9.
9．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为e，写出满足条件“直线 SKIPIF 1 < 0 与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足 SKIPIF 1 < 0 皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，所以C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
结合渐近线的特点，只需 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可满足条件“直线 SKIPIF 1 < 0 与C无公共点”
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2（满足 SKIPIF 1 < 0 皆可）
10．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意圆心 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E： SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C， SKIPIF 1 < 0 轴于点N.若四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积等于8，则E的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后得 SKIPIF 1 < 0 的方程，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，利用直角梯形的面积求出 SKIPIF 1 < 0 ，可得抛物线方程.
【详解】易知 SKIPIF 1 < 0 ，直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，四边形OCMN为直角梯形，且 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
所以MC直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，∴令 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
所以四边形OCMN的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故抛物线E的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上（ SKIPIF 1 < 0 位于第一象限），且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题知四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，其中 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据 SKIPIF 1 < 0 ，结合勾股定理与椭圆定义求解即可.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于原点对称
所以，线段 SKIPIF 1 < 0 互相平分，且相等，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆离心率为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
3.（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若 SKIPIF 1 < 0 ，且双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由已知条件和双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，应用余弦定理，化简可得 SKIPIF 1 < 0
【详解】由双曲线定义和题设条件，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
如图所示，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又由双曲线定义，得 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
应用余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
二、多选题
4．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点P在双曲线上且位于x轴上方，则下列结论正确的是（ ）
A．线段 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
B．点P到两渐近线的距离的乘积为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为5
D． SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点坐标及实轴长，再结合双曲线的范围、定义计算判断ABC；作图结合定义求出双曲线内切圆圆心纵坐标判断D作答.
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，A正确；
对于B，双曲线渐近线 SKIPIF 1 < 0 ，则点P到两渐近线的距离的乘积为：
SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，C不正确；
对于D，如图，圆C是 SKIPIF 1 < 0 的内切圆，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义及圆的切线性质得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的内切圆圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，D正确.
故选：ABD
5．（2023秋·山西太原·高三统考期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是3
B． SKIPIF 1 < 0 的最小值是2
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0
D．过点 SKIPIF 1 < 0 分别作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线，设两切线的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】过点 SKIPIF 1 < 0 分别作准线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据抛物线的定义判断A；根据 SKIPIF 1 < 0 判断B；设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而联立方程，结合韦达定理，根据 SKIPIF 1 < 0 解方程即可得判断C；根据直线与曲线的位置关系得过点 SKIPIF 1 < 0 ，分别与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而联立方程解得 SKIPIF 1 < 0 可判断D.
【详解】解：由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A选项，如图，过点 SKIPIF 1 < 0 分别作准线的垂线，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于B选项，设 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
对于C选项，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，不成立；
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于D选项，设过点 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
同理得过点 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，解方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故正确.
故选：ACD
三、填空题
6．（2023·高三课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为9，则b=______．
【答案】3
【分析】利用三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积列方程，由此求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
7．（2023·广西柳州·统考模拟预测）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于M、N两个不同的点，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意先求出双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程，然后与曲线联立，求出交点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，代入两点间距离公式即可求解.
【详解】由题意知：双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023·高三课时练习）设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点M作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点N作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，M与 SKIPIF 1 < 0 不重合，N与 SKIPIF 1 < 0 不重合，设 SKIPIF 1 < 0 ，则点T的轨迹方程是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，根据 SKIPIF 1 < 0 ，可以知道点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标和纵坐标之间的关系， SKIPIF 1 < 0 可以求出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而根据已知的条件，求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标，设出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，通过 SKIPIF 1 < 0 ，可以得到 SKIPIF 1 < 0 的坐标和 SKIPIF 1 < 0 的坐标之间的关系，再根据点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标和纵坐标之间的关系，求出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）
9．（2023秋·海南·高三统考期末）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的离心率为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如图，延长 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆交于点L，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，用余弦定理可得到 SKIPIF 1 < 0 ，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解
【详解】设椭圆的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
如图，延长 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆交于点L，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以根据对称性可知， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，若 SKIPIF 1 < 0 在抛物线C上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】9
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 ，由此建立关于 SKIPIF 1 < 0 的函数，再换元利用导数求解作答.
【详解】抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意，不妨设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线定义得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值9.
故答案为：9
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
四、解答题
11．（2023·高三课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点.
(1)求证：双曲线C上任意一点M到双曲线两条渐近线的距离之积为常数；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于x轴的直线交C于P、Q两点， SKIPIF 1 < 0 ，且C过点（1，0），求双曲线C的方程.
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线上任一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，计算点 SKIPIF 1 < 0 到两渐近线的距离之积即可得证；
（2）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程求得 SKIPIF 1 < 0 坐标得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，得双曲线方程．
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线上任一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线的两条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 到两条渐近线的距离之积为 SKIPIF 1 < 0 为常数．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线过点（1，0），则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）如图，点A是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，P在y轴上，且 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若点P的坐标为（0，1），求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为（0，t），求t的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合共线向量的性质、椭圆标准方程中 SKIPIF 1 < 0 关系进行求解即可.
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，因为过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因为P的坐标为（0，1）， SKIPIF 1 < 0 轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 （舍去），即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在该椭圆上，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，点P的坐标为（0，t），显然 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆标准方程中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以t的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .