新高考数学一轮复习第6章 第02讲 等差数列及其前n项和 (精讲）（2份打包，原卷版+教师版）

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目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：等差数列基本量的运算
题型二：等差数列的判断与证明
题型三：等差数列的性质及其应用
角度1：等差数列的性质
角度2：等差数列前n项和的性质
角度3：等差数列的最值问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示．数学语言表示为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )(或者 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 为常数．
(2)等差中项：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，且 SKIPIF 1 < 0 .
注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )(或者 SKIPIF 1 < 0 ）
②等差中项法： SKIPIF 1 < 0
2.等差数列的有关公式
(1)若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项是 SKIPIF 1 < 0 ，公差是 SKIPIF 1 < 0 ，则其通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，可推广为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 *)．
(2)等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 )．
3.等差数列的常用性质
已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为公差， SKIPIF 1 < 0 为该数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
(1)等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )．
特别地，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…仍是等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )．
(3) SKIPIF 1 < 0 也成等差数列，其首项与 SKIPIF 1 < 0 首项相同，公差为 SKIPIF 1 < 0 .
(4) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 …也成等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 .
（5）若数列 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 均为等差数列且其前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
4.等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的关系
SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 的形式．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的一次函数；当 SKIPIF 1 < 0 时，数列为递增数列；当 SKIPIF 1 < 0 时，数列为递减数列．
(2)等差数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式可变形为 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时，它是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，表示为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数)．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川成都·高一期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））下列数列不是等差数列的是（ ）
A．0，0，0，…，0，…
B．－2，－1，0，…，n－3，…
C．1，3，5，…，2n－1，…
D．0，1，3，…， SKIPIF 1 < 0 ，…
3．（2022·江苏南京·模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号” SKIPIF 1 < 0 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ）
A．10秒B．13秒C．15秒D．19秒
4．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
5．（2022·全国·高二课时练习）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么这个数列的通项公式是______．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：等差数列基本量的运算
例题1．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列的 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
例题2．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)2022是否为数列 SKIPIF 1 < 0 中的项？若是，则为第几项？
例题3．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式及其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 分别为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的第3项和第5项，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式及其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
例题4．（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
题型归类练
1．（2022·广西·高二学业考试）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，前4项为1，3，5，7，则数列 SKIPIF 1 < 0 前10项的和 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．100B．23C．21D．17
2．（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）
A．10B．14C．23D．26
3．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．10
4．（2022·吉林松原·高二阶段练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 __________．
5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺
6．（2022·全国·模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，求正整数m．
题型二：等差数列的判断与证明
例题1．（2022·全国·高二课时练习）对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列”的（ ）
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；
C．充要条件；D．既非充分又非必要条件.
例题2．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．是公差为4的等差数列B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 值为（ ）
A．22B．21
C．24D．23
例题4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
例题5．（2022·全国·高二课时练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
例题6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
例题7．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
题型三：等差数列的性质及其应用
角度1：等差数列的性质
例题1．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·江西·二模（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
例题3．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题4．（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题5．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题6．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别记为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
角度2：等差数列前n项和的性质
例题1．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题2．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例题3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）.
A．110B．120C．130D．140
例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____．
例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
角度3：等差数列的最值问题
例题1．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）已知等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 取得最大值的 SKIPIF 1 < 0 为__________．
例题2．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 的最大值为____________.
例题3．（2022·山东潍坊·高二期中）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
例题4．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 ＝___时， SKIPIF 1 < 0 最小．
例题5．（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的最大正整数的 SKIPIF 1 < 0 的值为________．
例题6．（2022·北京市第一六一中学高二期中）已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0
(1)若数列{ SKIPIF 1 < 0 }是等比数列，求 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 ：
(2)若数列{ SKIPIF 1 < 0 }是等差数列，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，并求 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时 SKIPIF 1 < 0 的值.
例题7．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 为何值时， SKIPIF 1 < 0 最大，并求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
题型归类练
1．（2022·山西运城·高二期末）若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，首项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意的自然数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下面结论错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为 SKIPIF 1 < 0 的最小值
4．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则 SKIPIF 1 < 0 中最大的项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·全国·高二课时练习）两等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
7．（2022·陕西·西安市长安区第十二中学高一阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求当 SKIPIF 1 < 0 为何值时， SKIPIF 1 < 0 取最大值.
8．（2022·广东珠海·高二期末）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.
问题：等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，________?
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 得到最小值时 SKIPIF 1 < 0 的值.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 SKIPIF 1 < 0 (单位:cm)成等差数列，对应的宽为 SKIPIF 1 < 0 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A．64B．96C．128D．160
2．（2021·北京·高考真题）已知 SKIPIF 1 < 0 是各项均为整数的递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．（2021·全国·高考真题）记 SKIPIF 1 < 0 是公差不为0的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求使 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最小值．