新高考数学二轮复习巩固练习01 平面向量（2份打包，原卷版+解析版）

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结论1：极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
SKIPIF 1 < 0
证明：不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （1）
SKIPIF 1 < 0 （2）
（1）（2）两式相加得：
SKIPIF 1 < 0
2、极化恒等式：
上面两式相减，得： SKIPIF 1 < 0 ————极化恒等式
（1）平行四边形模式： SKIPIF 1 < 0
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）三角形模式： SKIPIF 1 < 0 （M为BD的中点）
结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．
已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【证明】（坐标法）设 SKIPIF 1 < 0 ，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xy，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
结论3：三点共线的充要条件
设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是三个不共线向量，则A、B、P共线 SKIPIF 1 < 0 存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ．
特别地，当P为线段AB的中点时， SKIPIF 1 < 0 ．
结论4：等和线
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 三点共线；反之亦然．
（二）等和线
平面内一组基底 SKIPIF 1 < 0 及任一向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上或者在平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线上，则 SKIPIF 1 < 0 （定值），反之也成立，我们把直线 SKIPIF 1 < 0 以及与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的直线称为等和线．
（1）当等和线恰为直线 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当等和线在 SKIPIF 1 < 0 点和直线 SKIPIF 1 < 0 之间时， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）当直线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 和等和线之间时， SKIPIF 1 < 0 ；
（4）当等和线过 SKIPIF 1 < 0 点时， SKIPIF 1 < 0 ；
（5）若两等和线关于 SKIPIF 1 < 0 点对称，则定值 SKIPIF 1 < 0 互为相反数；
结论5：奔驰定理
【奔驰定理】若O为 SKIPIF 1 < 0 内任一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【典型例题】
例1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____．
【答案】-16
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，由极化恒等式得：
SKIPIF 1 < 0 ．
例2．正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】取AB的中点D，连结CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （也可用正弦定理求AB）
又由极化恒等式得： SKIPIF 1 < 0
因为P在圆O上，所以当P在点C处时， SKIPIF 1 < 0
当P在CO的延长线与圆O的交点处时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
例3．已知圆 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，定点 SKIPIF 1 < 0 ，A、B分别在圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】以 SKIPIF 1 < 0 为邻边作矩形 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
例4．在平面内，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，从而
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
例5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
例6．给定两个长度为1的平面向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，它们的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心的圆弧 SKIPIF 1 < 0 上变动．若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是__________．
【答案】2
【解析】（秒杀）作平行于AB的直线l，当且仅当l与圆相切时， SKIPIF 1 < 0 的取最大值2．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 三点共线可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京西城·高三统考期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．P为 SKIPIF 1 < 0 边上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，建立直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故其取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2．（2023·北京昌平·高三统考期末）已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】把 SKIPIF 1 < 0 平移到共起点，以 SKIPIF 1 < 0 的起点为原点， SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，见下图，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆，又因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 故以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值就是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
3．（2023·广西桂林·统考一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且 SKIPIF 1 < 0 ，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】B
【解析】由于M为线段BC的中点，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，化得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立， SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在半径为4的扇形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，如图，以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，以 SKIPIF 1 < 0 的垂线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立平面直角坐标系.
则由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据三角函数的定义知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
则，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，该式子有最小值为-8.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）在平面内，定点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点P，M满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 三点的距离相等，可得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，
所以 SKIPIF 1 < 0 的外心与垂心重合，所以 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中心，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，
如图所示，以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，O是 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，是 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．0B．1C．3D．5
【答案】C
【解析】过点O作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为D，E，如图，因O是 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，则D，E分别为AC， SKIPIF 1 < 0 的中点，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3.
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦， SKIPIF 1 < 0 ，若点P为⊙C上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A．[0，100]B．[－12，48]C．[－9，64]D．[－8，72]
【答案】D
【解析】取AB中点为Q，连接PQ
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵点P为⊙C上一动点，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的取值范围[－8，72].
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，D为三角形所在平面内一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （
）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】如图，设AD交BC于E，且 SKIPIF 1 < 0 ，由B,E,C三点共线可得：
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为2， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 向量的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆，记圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 过圆心 SKIPIF 1 < 0 ，且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 可取得最小值，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为2的菱形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点为原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
本题正确选项： SKIPIF 1 < 0
11．（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所在平面上的一点,满足 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】A
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且方向相同．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．选A．
12．（2023·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 的最大值为
A．3B．2 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【解析】[方法一]：特殊值法
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,故选A
[方法二]：解析法
如图所示，建立平面直角坐标系.
设 SKIPIF 1 < 0 ,
易得圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，即圆C的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是3，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值是3，故选A.
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，O为△ABC内的一点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为△ABC的重心，则 SKIPIF 1 < 0 B．若O为△ABC的内心，则 SKIPIF 1 < 0
C．若O为△ABC的外心，则 SKIPIF 1 < 0 D．若O为△ABC的垂心，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】对于A选项，重心为中线交点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B选项，内心为角平分线交点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由A选项，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C选项，外心为垂直平分线交点，即 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D选项，垂心为高线交点，设 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为边 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线，
由C选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：ACD
14．（2023·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是互不相等的非零向量，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是互相垂直的单位向量， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】对于A选项，如图，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以O，A，B，C四点在同一个圆上，故A正确；
对于B选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，由A选项知，O，A，B，C四点在同一个圆上，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则其长度为圆上弦的长度.当线段 SKIPIF 1 < 0 为该圆的直径时， SKIPIF 1 < 0 最大，且最大值等于 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C选项，由题可得A，B，C均在以 SKIPIF 1 < 0 为圆心、1为半径的圆上，
设 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 .其中 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.故C错误.
对于D选项，由C选项分析结合 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则由重要不等式有： SKIPIF 1 < 0 .
得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.故D正确.
故选：AD
15．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若O为△ABC的内心， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若O为△ABC的垂心， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】对A，由奔驰定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 不共线，故 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对B， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
对C，若O为△ABC的内心， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为内切圆半径），三边满足勾股定律，故 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对D，若O为△ABC的垂心，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
如图， SKIPIF 1 < 0 分别为垂足，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，D对故选：ACD
16．（2023·全国·高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中 SKIPIF 1 < 0 ，动点P在 SKIPIF 1 < 0 上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧 SKIPIF 1 < 0 于点Q，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】如图，作 SKIPIF 1 < 0 ,分别以 SKIPIF 1 < 0 为x,y轴建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，（负值舍去），故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选：ABD
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆О是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 可以取值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】CD
【解析】根据三角形面积公式得到 SKIPIF 1 < 0 ，可得到内切圆的半径为1；
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
可得到点的坐标为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选项CD满足.
故选：CD.
18．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内的一点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 是锐角 SKIPIF 1 < 0 内的一点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三个内角，且点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】A项： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，A正确；
B：如图，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
C项：在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理易知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
D项： SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 成立，D正确，
故选：ABD.
三、填空题
19．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为2，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，取BC中点为M，做 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 .
注意到 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .又由图可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
20．（2023·四川南充·统考一模）已知向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 ，任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，若向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
如图所示，设 SKIPIF 1 < 0 ，三角形 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆，圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据圆的几何性质可知， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
21．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知圆 SKIPIF 1 < 0 半径为 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上不重合的点， 则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 中点C，劣弧AB的中点D，
SKIPIF 1 < 0 ，
显然，P为劣弧AB的中点D时， SKIPIF 1 < 0 最小，
记 SKIPIF 1 < 0 ，由垂径定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
22．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角不等式，有
SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
23．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的最大值，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，
设 SKIPIF 1 < 0 为AB中点，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
故有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点C在以AB为直径的圆E上.
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
24．（2023·全国·高三专题练习）点M在△ABC内部，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，分别延长 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，
延长EM交DF于G，则MG＝ SKIPIF 1 < 0 EG，
过M作MH⊥DF于H，过E作EI⊥DF与I，则MH＝ SKIPIF 1 < 0 EI，
故 SKIPIF 1 < 0 ，同理可证 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3:4.