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新高考数学二轮复习巩固练习02 三角函数的范围与最值（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学二轮复习巩固练习02 三角函数的范围与最值（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习巩固练习02三角函数的范围与最值原卷版doc、新高考数学二轮复习巩固练习02三角函数的范围与最值解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
一、三角函数 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的大小及取值范围
1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即 SKIPIF 1 < 0 ；
2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即 SKIPIF 1 < 0 ；
3、任意对称轴与对称中心之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 周期加半周期的整数倍，即 SKIPIF 1 < 0 ；
4、 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
5、 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内不单调 SKIPIF 1 < 0 内至少有一条对称轴， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
6、 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有零点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
7、 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有 SKIPIF 1 < 0 个零点 SKIPIF 1 < 0 ．
二、三角形范围与最值问题
1、坐标法：把动点转为为轨迹方程
2、几何法
3、引入角度，将边转化为角的关系
4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的内切圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则边 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为（ ）
A．16B．24C．25D．36
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为4．设 SKIPIF 1 < 0 内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．设内切圆与边 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值．
故选：A．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的零点：且 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 区间上有最小值无最大值，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．11B．13C．15D．17
【答案】C
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ②
由①②，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 区间上有最小值无最大值，所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，要求 SKIPIF 1 < 0 最大，结合选项，先检验 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，由①得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，无最大值，满足题意.
故选：C
例3．（2023·高一课时练习）如图，直角 SKIPIF 1 < 0 的斜边 SKIPIF 1 < 0 长为2， SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上滑动，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的右上方．设 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ），记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别考查 SKIPIF 1 < 0 的所有运算结果，则
A． SKIPIF 1 < 0 有最小值， SKIPIF 1 < 0 有最大值B． SKIPIF 1 < 0 有最大值， SKIPIF 1 < 0 有最小值
C． SKIPIF 1 < 0 有最大值， SKIPIF 1 < 0 有最大值D． SKIPIF 1 < 0 有最小值， SKIPIF 1 < 0 有最小值
【答案】B
【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选B.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 图象上存在两条互相垂直的切线，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
由题意可知，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
只需要 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选: D.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
求导 SKIPIF 1 < 0
由反比例函数及对数函数性质知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内必有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或2，可作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 之间解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
作出图像如下图
数形结合可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由已知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ①
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ②
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，由①②可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由①②可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
例7．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 的面积为S，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故题干条件可化为 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又由正弦定理化简得：
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：C
例8．（2023·上海·高三专题练习）在钝角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角；
设 SKIPIF 1 < 0 为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）设锐角 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
因此有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：D.
例10．（2023·上海·高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O的圆，已知圆O的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形 SKIPIF 1 < 0 为亲水木平台区域（四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，A，D分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 米），亲水玻璃桥以点A为一出入口，另两出入口B，C分别在平台区域 SKIPIF 1 < 0 边界上（不含端点），且设计成 SKIPIF 1 < 0 ，另一段玻璃桥 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附： SKIPIF 1 < 0 ）
(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为 SKIPIF 1 < 0 ，宽度、连接处忽略不计）．
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
若C，P重合， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 （符合题意）时取等号，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴可以修建70米长廊．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号．
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，则玻璃桥总长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 米，
∴铺设好亲水玻璃桥，最少需 SKIPIF 1 < 0 万元．
例11．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 SKIPIF 1 < 0
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点E为线段BD的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若当 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 必取到最值，
当 SKIPIF 1 < 0 时，根据余弦函数对称性得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
或者 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 对应解为 SKIPIF 1 < 0 ，
由上分析可知
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，O是 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，是 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．0B．1C．3D．5
【答案】C
【解析】过点O作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为D，E，如图，因O是 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，则D，E分别为AC， SKIPIF 1 < 0 的中点，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．由题 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又锐角 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有三个交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有三个交点，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
即方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的实数根，
即方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的实数根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 ，
结合图象，所以 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象只有一个交点，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，要想保证函数在 SKIPIF 1 < 0 恰有三个零点，满足① SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；或要满足② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；经检验，满足题意，其他情况均不满足 SKIPIF 1 < 0 条件，
综上： SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个不同的零点；
② SKIPIF 1 < 0 的最小正周期可能是 SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．②③④
【答案】B
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有4条对称轴，即 SKIPIF 1 < 0 有4个整数 SKIPIF 1 < 0 符合，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
对于①， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个不同的零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期可能是 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
对于④， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．在 SKIPIF 1 < 0 不存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 仅有1个最大值点
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调进增
D．实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对于A, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上存在 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
由图象可知，函数在 SKIPIF 1 < 0 可能有两个最大值，故B错误;
对于选项D,令 SKIPIF 1 < 0 ，
则函数的零点为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数在y轴右侧的四个零点分别是： SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有且仅有3个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
由对选项D的分析可知， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
但 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的子集，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不是单调进增的，故C错，
故选：D.
8．（2023·上海·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
由正弦定理化简得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0 .
二、多选题
9．（2023秋·山东济南·高三统考期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形
C．若 SKIPIF 1 < 0 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，设 SKIPIF 1 < 0 边上的高分别是 SKIPIF 1 < 0 ，
则由三角形面积公式易得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BCD.
10．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
D．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有 SKIPIF 1 < 0 个极大值点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
A选项： SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确；
B选项：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确；
C选项：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，C选项错误；
D选项： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数单调递减，
当当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有 SKIPIF 1 < 0 个极大值点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，D选项正确；
故选：ABD.
11．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 ，有以下四个命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不可能是直角三角形
C．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】对于选项A：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号）.
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得点 SKIPIF 1 < 0 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数 SKIPIF 1 < 0 上，表示圆弧上一点到点 SKIPIF 1 < 0 点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形的斜边，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
对于选项C，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
对于选项D，由C可知， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
所以选项D正确，
故选：ACD
12．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理可将式子 SKIPIF 1 < 0 化为
SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入整理得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去).
所以 SKIPIF 1 < 0 .
选项A正确.
选项B：因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误.
选项C： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .故选项C错误.
选项D：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由对勾函数的性质知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值无最大值，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】4或10
【解析】∵f(x)满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是f(x)的一条对称轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，k∈Z，
∵ω＞0，∴ SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
y＝sinx图像如图：
要使 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值无最大值，则：
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
此时ω＝4或10满足条件；
区间 SKIPIF 1 < 0 的长度为： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，f(x)最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，则f(x)在 SKIPIF 1 < 0 既有最大值也有最小值，故 SKIPIF 1 < 0 不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
14．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 且对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【答案】5
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
因为于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 不单调，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 不单调，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 单调，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为5.
故答案为：5.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的零点，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值无最大值，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是_______
【答案】15
【解析】由题意知函数 SKIPIF 1 < 0 为y＝f（x）图象的对称轴，
SKIPIF 1 < 0 为f（x）的零点，∴ SKIPIF 1 < 0 • SKIPIF 1 < 0 ，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值无最大值，
∴周期T≥（ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ω≤16．
∴要求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 15+φ＝kπ，φ SKIPIF 1 < 0 ，函数为y＝f（x）＝sin（15x SKIPIF 1 < 0 ），
在区间 SKIPIF 1 < 0 上，15x SKIPIF 1 < 0 ∈[ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），此时f（x）在 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.
16．（2023·全国·高三对口高考）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，满足题意.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
17．（2023·高一课时练习）用 SKIPIF 1 < 0 表示函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间I上的最大值．若正数a满足 SKIPIF 1 < 0 ，则a的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时不成立；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ，即a的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
18．（2023·上海·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以角 SKIPIF 1 < 0 为钝角，角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以要 SKIPIF 1 < 0 取最大值，则 SKIPIF 1 < 0 取最大值， SKIPIF 1 < 0 取最小值，从而 SKIPIF 1 < 0 取最小值．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
19．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则由余弦定理， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
20．（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是________ ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为△ABC的面积为1，所 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 与点（csA，sinA）连线的斜率，
如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，
在直角△OAP中， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以斜率的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以m的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即BC的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是___
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在单位圆中分析，由题意，
SKIPIF 1 < 0 的终边要落在图中阴影部分区域
（其中 SKIPIF 1 < 0 ），
必存在某个正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 终边在OB的下面，而再加上 SKIPIF 1 < 0 ，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵对任意 SKIPIF 1 < 0 要成立，所以必存在某个正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的 SKIPIF 1 < 0 ,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了），
故存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
22．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由已知得： SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有3个零点，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
只有当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式组有解，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
23．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 都为锐角，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
24．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
综上得， SKIPIF 1 < 0
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
25．（2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考期末）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则原问题转化为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上至少有2个，至多有3个t，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 得取值范围，
作出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，
由图可知，满足条件可最短区间长度为 SKIPIF 1 < 0 ，最长区间长度为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有极值点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 没有极值点，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
27．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I（区域ACD），区域II（区域CBE）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC=θ，中植花卉总造价记为 SKIPIF 1 < 0 ，现某同学已正确求得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________；种植花卉总造价最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
结合正弦函数的性质可知， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为锐角 SKIPIF 1 < 0 的三个内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长的取值范围为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】解:因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
同理可得: SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .消去 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形,且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
由二次函数性质可得, SKIPIF 1 < 0 的周长的取值范围为: SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为: SKIPIF 1 < 0 ．
30．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则中线AD长的取值范围是_______;
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 运用正弦定理，得到
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，结合二次函数性质，得到 SKIPIF 1 < 0 ，运用向量得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，结合bc的范围，代入，得到 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0
四、解答题
31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的对称中心；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 （m， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）上恰好有10个零点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵函数 SKIPIF 1 < 0 图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
又∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上恰好有10个零点，故 SKIPIF 1 < 0
要使 SKIPIF 1 < 0 最小，须m､n恰好为 SKIPIF 1 < 0 的零点，故 SKIPIF 1 < 0 .
32．（2023·全国·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图，延长 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号号）
又由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
一、三角函数 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的大小及取值范围
1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即 SKIPIF 1 < 0 ；
2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即 SKIPIF 1 < 0 ；
3、任意对称轴与对称中心之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 周期加半周期的整数倍，即 SKIPIF 1 < 0 ；
4、 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
5、 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内不单调 SKIPIF 1 < 0 内至少有一条对称轴， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
6、 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有零点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
7、 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有 SKIPIF 1 < 0 个零点 SKIPIF 1 < 0 ．
二、三角形范围与最值问题
1、坐标法：把动点转为为轨迹方程
2、几何法
3、引入角度，将边转化为角的关系
4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的内切圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则边 SKIPIF 1 < 0 长度的最小值为（ ）
A．16B．24C．25D．36
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为4．设 SKIPIF 1 < 0 内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．设内切圆与边 SKIPIF 1 < 0 切于点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值．
故选：A．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的零点：且 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 区间上有最小值无最大值，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．11B．13C．15D．17
【答案】C
【解析】由题意， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ②
由①②，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 区间上有最小值无最大值，所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，要求 SKIPIF 1 < 0 最大，结合选项，先检验 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，由①得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值，无最大值，满足题意.
故选：C
例3．（2023·高一课时练习）如图，直角 SKIPIF 1 < 0 的斜边 SKIPIF 1 < 0 长为2， SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上滑动，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的右上方．设 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ），记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别考查 SKIPIF 1 < 0 的所有运算结果，则
A． SKIPIF 1 < 0 有最小值， SKIPIF 1 < 0 有最大值B． SKIPIF 1 < 0 有最大值， SKIPIF 1 < 0 有最小值
C． SKIPIF 1 < 0 有最大值， SKIPIF 1 < 0 有最大值D． SKIPIF 1 < 0 有最小值， SKIPIF 1 < 0 有最小值
【答案】B
【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选B.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 图象上存在两条互相垂直的切线，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
由题意可知，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
只需要 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选: D.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
求导 SKIPIF 1 < 0
由反比例函数及对数函数性质知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内必有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或2，可作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 之间解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
作出图像如下图
数形结合可得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由已知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ①
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ②
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，由①②可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由①②可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
例7．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 的面积为S，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故题干条件可化为 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又由正弦定理化简得：
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：C
例8．（2023·上海·高三专题练习）在钝角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角；
设 SKIPIF 1 < 0 为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）设锐角 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
因此有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：D.
例10．（2023·上海·高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O的圆，已知圆O的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形 SKIPIF 1 < 0 为亲水木平台区域（四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，A，D分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 米），亲水玻璃桥以点A为一出入口，另两出入口B，C分别在平台区域 SKIPIF 1 < 0 边界上（不含端点），且设计成 SKIPIF 1 < 0 ，另一段玻璃桥 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附： SKIPIF 1 < 0 ）
(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为 SKIPIF 1 < 0 ，宽度、连接处忽略不计）．
【解析】（1）由题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
若C，P重合， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 （符合题意）时取等号，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴可以修建70米长廊．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号．
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，则玻璃桥总长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 米，
∴铺设好亲水玻璃桥，最少需 SKIPIF 1 < 0 万元．
例11．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 SKIPIF 1 < 0
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点E为线段BD的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若当 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 必取到最值，
当 SKIPIF 1 < 0 时，根据余弦函数对称性得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
或者 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 对应解为 SKIPIF 1 < 0 ，
由上分析可知
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，O是 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，是 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．0B．1C．3D．5
【答案】C
【解析】过点O作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为D，E，如图，因O是 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，则D，E分别为AC， SKIPIF 1 < 0 的中点，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．由题 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又锐角 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有三个交点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有三个交点，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
即方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的实数根，
即方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的实数根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 ，
结合图象，所以 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象只有一个交点，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恰有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，要想保证函数在 SKIPIF 1 < 0 恰有三个零点，满足① SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；或要满足② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；经检验，满足题意，其他情况均不满足 SKIPIF 1 < 0 条件，
综上： SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个不同的零点；
② SKIPIF 1 < 0 的最小正周期可能是 SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．②③④
【答案】B
【解析】由函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有4条对称轴，即 SKIPIF 1 < 0 有4个整数 SKIPIF 1 < 0 符合，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
对于①， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个不同的零点；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期可能是 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
对于④， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．在 SKIPIF 1 < 0 不存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 仅有1个最大值点
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调进增
D．实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对于A, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上存在 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
由图象可知，函数在 SKIPIF 1 < 0 可能有两个最大值，故B错误;
对于选项D,令 SKIPIF 1 < 0 ，
则函数的零点为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数在y轴右侧的四个零点分别是： SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有且仅有3个零点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
由对选项D的分析可知， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
但 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的子集，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不是单调进增的，故C错，
故选：D.
8．（2023·上海·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
由正弦定理化简得
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
故选： SKIPIF 1 < 0 .
二、多选题
9．（2023秋·山东济南·高三统考期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形
C．若 SKIPIF 1 < 0 面积为1，则三条高乘积平方的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，设 SKIPIF 1 < 0 边上的高分别是 SKIPIF 1 < 0 ，
则由三角形面积公式易得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BCD.
10．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
D．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有 SKIPIF 1 < 0 个极大值点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
A选项： SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确；
B选项：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确；
C选项：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，C选项错误；
D选项： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数单调递减，
当当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有 SKIPIF 1 < 0 个极大值点，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，D选项正确；
故选：ABD.
11．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 ，有以下四个命题中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不可能是直角三角形
C．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】对于选项A：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号）.
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得点 SKIPIF 1 < 0 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数 SKIPIF 1 < 0 上，表示圆弧上一点到点 SKIPIF 1 < 0 点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形的斜边，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
对于选项C，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
对于选项D，由C可知， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
所以选项D正确，
故选：ACD
12．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理可将式子 SKIPIF 1 < 0 化为
SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入整理得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去).
所以 SKIPIF 1 < 0 .
选项A正确.
选项B：因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误.
选项C： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .故选项C错误.
选项D：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由对勾函数的性质知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值无最大值，则 SKIPIF 1 < 0 _______．
【答案】4或10
【解析】∵f(x)满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是f(x)的一条对称轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，k∈Z，
∵ω＞0，∴ SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
y＝sinx图像如图：
要使 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值无最大值，则：
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
此时ω＝4或10满足条件；
区间 SKIPIF 1 < 0 的长度为： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，f(x)最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，则f(x)在 SKIPIF 1 < 0 既有最大值也有最小值，故 SKIPIF 1 < 0 不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
14．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 且对于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______.
【答案】5
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
因为于任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 不单调，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 不单调，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 单调，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为5.
故答案为：5.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的零点，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值无最大值，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是_______
【答案】15
【解析】由题意知函数 SKIPIF 1 < 0 为y＝f（x）图象的对称轴，
SKIPIF 1 < 0 为f（x）的零点，∴ SKIPIF 1 < 0 • SKIPIF 1 < 0 ，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值无最大值，
∴周期T≥（ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ω≤16．
∴要求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 15+φ＝kπ，φ SKIPIF 1 < 0 ，函数为y＝f（x）＝sin（15x SKIPIF 1 < 0 ），
在区间 SKIPIF 1 < 0 上，15x SKIPIF 1 < 0 ∈[ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），此时f（x）在 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.
16．（2023·全国·高三对口高考）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，满足题意.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
17．（2023·高一课时练习）用 SKIPIF 1 < 0 表示函数 SKIPIF 1 < 0 在闭区间I上的最大值．若正数a满足 SKIPIF 1 < 0 ，则a的最大值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时不成立；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
④当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ，即a的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
18．（2023·上海·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以角 SKIPIF 1 < 0 为钝角，角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以要 SKIPIF 1 < 0 取最大值，则 SKIPIF 1 < 0 取最大值， SKIPIF 1 < 0 取最小值，从而 SKIPIF 1 < 0 取最小值．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
19．（2023·全国·高三专题练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则由余弦定理， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
20．（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是________ ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为△ABC的面积为1，所 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 表示点 SKIPIF 1 < 0 与点（csA，sinA）连线的斜率，
如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，
在直角△OAP中， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以斜率的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以m的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即BC的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是___
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在单位圆中分析，由题意，
SKIPIF 1 < 0 的终边要落在图中阴影部分区域
（其中 SKIPIF 1 < 0 ），
必存在某个正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 终边在OB的下面，而再加上 SKIPIF 1 < 0 ，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵对任意 SKIPIF 1 < 0 要成立，所以必存在某个正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的 SKIPIF 1 < 0 ,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了），
故存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
22．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由已知得： SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恰有3个零点，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
只有当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式组有解，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
23．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 都为锐角，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为锐角三角形 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去)
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
24．（2023·全国·高三专题练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取“=”，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
综上得， SKIPIF 1 < 0
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
25．（2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考期末）设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则原问题转化为 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上至少有2个，至多有3个t，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 得取值范围，
作出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，
由图可知，满足条件可最短区间长度为 SKIPIF 1 < 0 ，最长区间长度为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内没有极值点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 没有极值点，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
27．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I（区域ACD），区域II（区域CBE）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC=θ，中植花卉总造价记为 SKIPIF 1 < 0 ，现某同学已正确求得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________；种植花卉总造价最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
结合正弦函数的性质可知， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为锐角 SKIPIF 1 < 0 的三个内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长的取值范围为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】解:因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
同理可得: SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .消去 SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形,且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
由二次函数性质可得, SKIPIF 1 < 0 的周长的取值范围为: SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为: SKIPIF 1 < 0 ．
30．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则中线AD长的取值范围是_______;
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 运用正弦定理，得到
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，结合二次函数性质，得到 SKIPIF 1 < 0 ，运用向量得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，结合bc的范围，代入，得到 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0
四、解答题
31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的对称中心；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 （m， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）上恰好有10个零点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵函数 SKIPIF 1 < 0 图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
又∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个零点，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上恰好有10个零点，故 SKIPIF 1 < 0
要使 SKIPIF 1 < 0 最小，须m､n恰好为 SKIPIF 1 < 0 的零点，故 SKIPIF 1 < 0 .
32．（2023·全国·模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【解析】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图，延长 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号号）
又由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
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